+广东省惠州五中教育集团2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

这是一份+广东省惠州五中教育集团2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列食品标识图中，依次表示绿色饮品、绿色食品、有机食品和速冻食品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（3分）x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两个实数根，则x1+x2﹣x1x2的值为（ ）
A．4B．﹣5C．3D．1
3．（3分）二次函数y＝（x+3）2﹣4的图象的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣4）B．（3，﹣4）C．（﹣3，4）D．（3，4）
4．（3分）已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，下列四个矩形中与矩形ABCD相似的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降低的百分率为x，根据题意列出的方程是（ ）
A．2500（1+x）2＝3200B．2500（1﹣x）2＝3200
C．3200（1﹣x）2＝2500D．3200（1+x）2＝2500
6．（3分）从﹣3、1、0、﹣2这四个数中任取一个数，为负数的概率是（ ）
A．12B．34C．13D．14
7．（3分）如图，CD是⊙O的直径，点A在⊙O上．弧AC＝弧BC，∠AOC＝36°，则∠D度数为（ ）
A．9°B．18°C．36°D．45°
8．（3分）为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为10π，侧面积为75π的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（ ）
A．150°B．120°C．180°D．100°
9．（3分）如图是反比例函数y=mx的图象，下列说法正确的是（ ）
A．常数m＜﹣1
B．在每个象限内，y随x的增大而增大
C．若A（﹣1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k
D．若P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，y）也在图象上
10．（3分）如图，A，B是双曲线y=4x图象上的两点，过A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为点C，若D为OB的中点，则△ODC的面积为（ ）
A．12B．1C．2D．4
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）将一元二次方程2x2＝5x﹣3化成一般形式为 ．
12．（3分）在一个盒子中装有红、白两种颜色的球共4个，这些球除颜色外，其他都相同．小明将球搅匀后从盒子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复实验，计算摸到白球的频率．并将多次实验结果制成如表：
根据表格，结合所学的频率与概率的相关知识，从盒子中随机摸一次球，估计摸到白球的概率是 ．（精确到0.01）
13．（3分）如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′相似，且周长之比为3：4．若CD＝12．则C′D′的长为 ．
14．（3分）已知点A（x1，﹣1），B（x2，2），C（x3，3）都在反比例函数y=kx(k＜0)的图象上，用“＜”表示x1，x2，x3的大小关系是 ．
15．（3分）我们定义：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．“鹊桥”函数y＝|ax2+bx+c|的图象如图所示，则下列结论：①a＞0；②bc＞0；③-b2a=1；④若直线y＝﹣x+m与y＝|ax2+bx+c|的图象有2个公共点，则﹣1＜m＜3或m＞214，正确的有 ．（填序号）
三、解答题（本题共3小题，第16题5分，第17、18题8分，共21分）
16．（5分）解方程：2x2+7x﹣4＝0．
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（﹣4，0），将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点O，B对应点分别是E，F．
（1）在图中画出△AEF，并求出点B所经过的路径长；
（2）求△AOB扫过的面积．
18．（8分）杠杆原理在生活中应用广泛，我国早在春秋时期就有使用，相传商人范蠡观农夫从井中取水受到启发，发明了称，其中就利用了杠杆原理．（杠杆原理为：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．）
现某数学兴趣小组利用所学的函数知识对以上原理进行探究：
如图1，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（OA最大距离为80cm），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与OA的长度x（单位：cm）的五组对应值，已在平面直角坐标系中描点如图2．
（1）在图2中画出y与x的函数图象，并直接写出y关于x的函数表达式为 ，自变量x的取值范围是 ．
（2）若点O的位置不变，在不改变点O与物体的距离及物体的质量的前提下，移动弹簧秤的位置，若秤杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数y的最小值．
四、解答题（本题共3小题，每小题9分，共27分）
19．（9分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°点D在边AC上，且DE⊥AC交BC于点E．
（1）求证：△CDE∽△CBA；
（2）若AB＝6，BC＝8，E是BC中点，求DE的长．
20．（9分）酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4种溶液分别是：盐酸（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）、氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种．
（1）小明将酚酞试液随机滴人其中1瓶溶液里，结果变红的概率是多少？
（2）小明和小亮从中各选1瓶溶液滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求2瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率．
21．（9分）我们在八年级上册曾经探索：把一个直立的火柴盒放倒（如图1），通过对梯形ABCD面积的不同方法计算，来验证勾股定理．a、b、c分别是Rt△ABE和Rt△CDE的边长，易知AD=2c，这时我们把关于x的形如ax2+2cx+b=0的一元二次方程称为“勾氏方程”．
请解决下列问题：
（1）方程x2+2x+1＝0 （填“是”或“不是”）“勾氏方程”；
（2）求证：关于x的“勾氏方程”ax2+2cx+b=0必有实数根；
（3）如图2，⊙O的半径为10，AB、CD是位于圆心O异侧的两条平行弦，AB＝2m，CD＝2n，m≠n．若关于x的方程mx2+102x+n=0是“勾氏方程”，连接OD，OB，求∠BOD的度数．
五、解答题（本题共2小题，每22题13分，每23题14分，共27分）
22．（13分）正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上一动点．
（1）若点E不与点A、D重合，请直接写出∠AED的度数；
（2）如图2，若点E在BC上运动（点E不与点B、C重合），连接BE，EC，AE，试探究线段BE，EC，AE的数量关系并说明理由；
（3）如图3，若点E在AD上运动，分别取AB、CD的中点M、N，连接BE，MN，BE交MN于点F，四边形BFNC与四边形BFN'C′关于直线BE对称，连接MC′，MN'，当正方形ABCD的边长为2时，求△MC'N'面积的最小值．
23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．点D为线段BC上的一动点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，求△AOD周长的最小值；
（3）如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标．
2024-2025学年广东省惠州五中教育集团九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列食品标识图中，依次表示绿色饮品、绿色食品、有机食品和速冻食品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，此选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，此选项不符合题意；
C．是中心对称图形，但不是轴对称图形，此选项不符合题意；
D．既是轴对称图形又是中心对称图形，此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查识别轴对称图形与中心对称图形．识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．识别中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．（3分）x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两个实数根，则x1+x2﹣x1x2的值为（ ）
A．4B．﹣5C．3D．1
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据题意，由一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2＝4，x1x2＝1，代入求值即可得到答案．
【解答】解：由条件可知x1+x2＝4，x1x2＝1，
∴x1+x2﹣x1x2＝4﹣1＝3，
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．
3．（3分）二次函数y＝（x+3）2﹣4的图象的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣4）B．（3，﹣4）C．（﹣3，4）D．（3，4）
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，即可找出二次函数图象的顶点坐标．
【解答】解：二次函数解析式为y＝（x+3）2﹣4，
∵二次函数图象的顶点坐标为（﹣3，﹣4）．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数的图象性质，掌握y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是 （h，k）是解题的关键，
4．（3分）已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，下列四个矩形中与矩形ABCD相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】相似多边形的性质．
【分析】利用相似多边形对应边的比相等，即可找出结论．
【解答】解：∵42=31.5=2，
∴A选项中的矩形与矩形ABCD相似．
故选：A．
【点评】本题考查了相似多边形的性质，牢记“相似多边形对应边的比相等”是解题的关键．
5．（3分）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降低的百分率为x，根据题意列出的方程是（ ）
A．2500（1+x）2＝3200B．2500（1﹣x）2＝3200
C．3200（1﹣x）2＝2500D．3200（1+x）2＝2500
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】可根据：原售价×（1﹣降低率）2＝降低后的售价得出两次降价后的价格，然后即可列出方程．
【解答】解：依题意得：两次降价后的售价为3200（1﹣x）2＝2500，
故选：C．
【点评】本题考查降低率问题，由：原售价×（1﹣降低率）2＝降低后的售价可以列出方程．
6．（3分）从﹣3、1、0、﹣2这四个数中任取一个数，为负数的概率是（ ）
A．12B．34C．13D．14
【考点】概率公式．
【分析】直接由概率公式求解即可．
【解答】解：∵无理数有π，3，共2个，
∴从这4个数中任取一个数，取到无理数的概率是24=12，
故选：A．
【点评】本题主要考查了概率公式以及无理数，概率＝所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．
7．（3分）如图，CD是⊙O的直径，点A在⊙O上．弧AC＝弧BC，∠AOC＝36°，则∠D度数为（ ）
A．9°B．18°C．36°D．45°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【分析】在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角是圆心角的一半．据此即可解答．
【解答】解：如图，连接OB，
∵弧AC＝弧BC，∠AOC＝36°，
∴∠BOC＝36°，
∵OD＝OB，
∴∠D=12∠BOC=12×36°＝18°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角是圆心角的一半．
8．（3分）为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为10π，侧面积为75π的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（ ）
A．150°B．120°C．180°D．100°
【考点】圆锥的计算；展开图折叠成几何体；弧长的计算；扇形面积的计算．
【分析】设扇形的半径为r，扇形面积可求得半径r；再由弧长公式即可求得扇形圆心角的度数．
【解答】解：设扇形的半径为r，则12×10πr=75π，
解得：r＝15；
设扇形圆心角度数为n度，则nπ×15180=10π，
解得：n＝120，
即扇形圆心角为120°；
故选：B．
【点评】本题考查了圆锥侧面积，弧长公式等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
9．（3分）如图是反比例函数y=mx的图象，下列说法正确的是（ ）
A．常数m＜﹣1
B．在每个象限内，y随x的增大而增大
C．若A（﹣1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k
D．若P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，y）也在图象上
【考点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据反比例函数y=kx（k≠0）的性质当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小可得答案．
【解答】解：A、常数m＞0，故此选项错误；
B、在每个象限内，y随x的增大而减小，故此选项错误；
C、若A（﹣1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k．故此选项正确；
D、若P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握性质定理．
10．（3分）如图，A，B是双曲线y=4x图象上的两点，过A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为点C，若D为OB的中点，则△ODC的面积为（ ）
A．12B．1C．2D．4
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】先根据比例函数系数k的几何意义得出△OEB的面积，再根据相似三角形的性质和中点的意义可得出S△OCDS△OEB=14，进而求出△ODC的面积即可．
【解答】解：过点B作BE⊥x轴于E，
∵B是双曲线图象上的点，
∴S△OBE＝2，
∵AC⊥x轴，
∴AC平行于BE，
∴△OCD∽△OEB，
∴S△OCDS△OEB=(ODOB)2，
又∵D是OB的中点，
∴S△OCDS△OEC=14，
∴S△OCD=14×2=12，
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是关键．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）将一元二次方程2x2＝5x﹣3化成一般形式为 2x2﹣5x+3＝0 ．
【考点】一元二次方程的一般形式．
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．
【解答】解：由2x2＝5x﹣3，得2x2﹣5x+3＝0．
所以将一元二次方程2x2＝5x﹣3化成一般形式为2x2﹣5x+3＝0．
故答案为：2x2﹣5x+3＝0．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
12．（3分）在一个盒子中装有红、白两种颜色的球共4个，这些球除颜色外，其他都相同．小明将球搅匀后从盒子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复实验，计算摸到白球的频率．并将多次实验结果制成如表：
根据表格，结合所学的频率与概率的相关知识，从盒子中随机摸一次球，估计摸到白球的概率是 0.75 ．（精确到0.01）
【考点】利用频率估计概率．
【分析】根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率．
【解答】解：∵摸到白球的频率约为0.75，
∴当n很大时，估计摸到白球的概率是0.75．
故答案为：0.75．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
13．（3分）如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′相似，且周长之比为3：4．若CD＝12．则C′D′的长为 16 ．
【考点】相似多边形的性质．
【分析】根据相似多边形的性质得出CD：C′D′＝3：4，再代入数据求解即可．
【解答】解：∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′相似，且周长之比为3：4，CD＝12，
∴CD：C′D′＝3：4，即12：C′D′＝3：4，
∴C′D′=12×43=16．
故答案为：16．
【点评】本题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的边长比等于周长比是解题关键．
14．（3分）已知点A（x1，﹣1），B（x2，2），C（x3，3）都在反比例函数y=kx(k＜0)的图象上，用“＜”表示x1，x2，x3的大小关系是 x2＜x3＜x1 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据反比例函数的图象与性质即可解题．
【解答】解：由条件可知x2＜0，x3＜0，x1＞0，
∵k＜0，
∴函数图象在第二和第四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∴x2＜x3＜0，
∴x2＜x3＜x1，
故答案为：x2＜x3＜x1．
【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
15．（3分）我们定义：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．“鹊桥”函数y＝|ax2+bx+c|的图象如图所示，则下列结论：①a＞0；②bc＞0；③-b2a=1；④若直线y＝﹣x+m与y＝|ax2+bx+c|的图象有2个公共点，则﹣1＜m＜3或m＞214，正确的有 ③ ．（填序号）
【考点】抛物线与x轴的交点；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】依据题意，根据图象，可直接判断a，b，c的符号；根据二次函数和横轴的交点坐标可得对称轴；两个函数的交点可直接画出图象进行判断．
【解答】解：由图可知，a＜0或a＞0，故①错误；
由图可知，∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过（﹣1，0），（3，0），
∴对称轴是直线x=-b2a=-1+32=1．
∴b＝﹣2a．
∴当a＜0，b＞0；当a＞0，b＜0．
又由图象知，当x＝0时，y＝|c|＝c，
∴c＞0，则bc＜0或bc＞0，故②错误；
③对称轴为-1+32=1=-b2a，故③正确；
④如图，
由图示知，当﹣1≤x≤3时，该抛物线为y＝a（x+1）（x﹣3）．
将（0，3）代入并求得a＝﹣1，
则该抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）．
当m=214时，直线y＝﹣x+214．
则﹣x+214=-（x+1）（x﹣3）．
此时Δ＝0，即直线y＝﹣x+214与抛物线＝﹣（x+1）（x﹣3）（﹣1≤x≤3）只有一个交点，
∴当m＞214时，直线y＝﹣x+m与y＝|ax2+bx+c|的图象有2个公共点．
当m＝1时，直线y＝﹣x+1；当m＝3时，直线y＝﹣x+3；由图可知，1＜m＜3时，直线y＝﹣x+m与y＝|ax2+bx+c|的图象有2个公共点．
综上所述，﹣1＜m＜3时，直线y＝﹣x+m与y＝|ax2+bx+c|的图象有2个公共点；当m＞214时，直线y＝﹣x+m与y＝|ax2+bx+c|的图象有1个公共点．
故④错误；
故答案为：③．
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，解题关键是此题中的绝对值表示所有的函数值非负，即可画出图象，重难点是一次函数y＝﹣x+m中m的取值范围影响一次函数和y轴的交点位置，而交点个数看图直接判断即可．
三、解答题（本题共3小题，第16题5分，第17、18题8分，共21分）
16．（5分）解方程：2x2+7x﹣4＝0．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】方程左边的多项式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：方程分解得：（2x﹣1）（x+4）＝0，
可得2x﹣1＝0或x+4＝0，
解得：x1=12，x2＝﹣4．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（﹣4，0），将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点O，B对应点分别是E，F．
（1）在图中画出△AEF，并求出点B所经过的路径长；
（2）求△AOB扫过的面积．
【考点】作图﹣旋转变换；弧长的计算；扇形面积的计算；轨迹．
【分析】（1）根据旋转的性质即可在图中画出△AEF，利用弧长公式即可求出点B所经过的路径长；
（2）结合（1）根据扇形面积和三角形的面积公式即可求△AOB扫过的面积．
【解答】解：（1）如图，△AEF即为所求，
∵点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（﹣4，0），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB=32+42=5，
∴点B所经过的路径长=90π×5180=5π2；
（2）由题意得，△AOB扫过的面积即为扇形BAF的面积加上△AEF的面积，
由旋转的性质可得△AEF的面积等于△ABO的面积，
∴△AOB扫过的面积=90π×52360+12×3×4=254π+6．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，弧长的计算，扇形面积的计算，轨迹，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
18．（8分）杠杆原理在生活中应用广泛，我国早在春秋时期就有使用，相传商人范蠡观农夫从井中取水受到启发，发明了称，其中就利用了杠杆原理．（杠杆原理为：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．）
现某数学兴趣小组利用所学的函数知识对以上原理进行探究：
如图1，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（OA最大距离为80cm），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与OA的长度x（单位：cm）的五组对应值，已在平面直角坐标系中描点如图2．
（1）在图2中画出y与x的函数图象，并直接写出y关于x的函数表达式为 y=240x ，自变量x的取值范围是 x＞0 ．
（2）若点O的位置不变，在不改变点O与物体的距离及物体的质量的前提下，移动弹簧秤的位置，若秤杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数y的最小值．
【考点】反比例函数的应用．
【分析】（1）依据题意，可以画出图象，设这个反比例函数的表达式为y=kx，又过（10，24），进而求出k的值，故可判断得解；
（2）依据题意，由当x＞0时，y=240x中y随x的增大而减小，故当x的值最大时，y最小，进而可以判断得解．
【解答】解：（1）如图，
设这个反比例函数的表达式为y=kx，
又过（10，24），
∴k＝10×24＝240．
∴反比例函数的解析式为y=240x，自变量x的取值范围是x＞0；
（2）由题意，∵当x＞0时，y=240x中y随x的增大而减小．
∴当x的值最大时，y最小．
∴当x＝80时．弹簧的示数最小为3．
【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键．
四、解答题（本题共3小题，每小题9分，共27分）
19．（9分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°点D在边AC上，且DE⊥AC交BC于点E．
（1）求证：△CDE∽△CBA；
（2）若AB＝6，BC＝8，E是BC中点，求DE的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理．
【分析】（1）由DE⊥AC，∠B＝90°可得出∠CDE＝∠B，再结合公共角相等，即可证出△CDE∽△CBA；
（2）在Rt△ABC中，点E为线段BC的中点可求出CE的长，再利用相似三角形的性质，即可求出DE的长．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，
∴∠CDE＝90°＝∠B．
又∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CBA；
（2）解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC=BC2+AB2=10，
∵E是BC中点，
∴CE=12BC=4，
∵△CDE∽△CBA，
∴DEBA=CECA，
即DE6=410，
∴DE=4×610=2.4．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是相似三角形的判定与性质应用．
20．（9分）酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4种溶液分别是：盐酸（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）、氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种．
（1）小明将酚酞试液随机滴人其中1瓶溶液里，结果变红的概率是多少？
（2）小明和小亮从中各选1瓶溶液滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求2瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）将盐酸（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）、氢氧化钙溶液（呈碱性）分别记作A，B，C，D列表得出所有可能的结果，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色，
∴小明将酚酞试液随机滴人其中1瓶溶液里，盐酸（呈酸性）和 硝酸钾溶液（呈中性）不变色，氢氧化钠溶液（呈碱性）和氢氧化钙溶液（呈碱性）变红，
∴结果变红的概率：24=12；
（2）将盐酸（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）、氢氧化钙溶液（呈碱性）分别记作A，B，C，D，列表如下：
由表知，共有12种可能出现的结果，其中1瓶变红、1瓶不变色有（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，A），（C，B），（D，A），（D，B）共8种结果，
1瓶变红、1瓶不变色的概率为：812=23．
【点评】本题考查了用列表或画树状图的方法求概率，熟记用列表或画树状图的方法及概率公式是解题的关键．
21．（9分）我们在八年级上册曾经探索：把一个直立的火柴盒放倒（如图1），通过对梯形ABCD面积的不同方法计算，来验证勾股定理．a、b、c分别是Rt△ABE和Rt△CDE的边长，易知AD=2c，这时我们把关于x的形如ax2+2cx+b=0的一元二次方程称为“勾氏方程”．
请解决下列问题：
（1）方程x2+2x+1＝0 是 （填“是”或“不是”）“勾氏方程”；
（2）求证：关于x的“勾氏方程”ax2+2cx+b=0必有实数根；
（3）如图2，⊙O的半径为10，AB、CD是位于圆心O异侧的两条平行弦，AB＝2m，CD＝2n，m≠n．若关于x的方程mx2+102x+n=0是“勾氏方程”，连接OD，OB，求∠BOD的度数．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）根据“勾氏方程”的定义即可判断；
（2）利用勾股定理以及“勾氏方程”的定义即可解决问题；
（3）如图，连接OD，OB，作OE⊥CD于E，作EO的延长线交AB于F，利用勾股定理求出OE＝m，OF＝n，再利用全等三角形的判定与性质推导出∠DOB＝90°即可解决问题．
【解答】（1）解：∵x2+2x+1＝0中，a=1，2c=2，b=1，
∴c=2，
∴a2+b2＝c2，a，b，c能构成直角三角形，
∴方程x2+2x+1＝0是“勾氏方程”，
故答案为：是；
（2）证明：∵关于x的方程ax2+2cx+b=0是“勾氏方程”，
∴a，b，c构成直角三角形，c是斜边，
∴c2＝a2+b2，
∵Δ＝2c2﹣4ab，
∴Δ＝2（a2+b2﹣2ab）＝2（a﹣b）2≥0，
∴关于x的“勾氏方程”ax2+2cx+b=0必有实数根；
（3）解：连接OD，OB，作OE⊥CD于E，作EO的延长线交AB于F，如图：

∵关于x的方程mx2+102x+n=0是“勾氏方程”，
∴m，n，10构成直角三角形，10是斜边，
∴m2+n2＝102，
∵AB∥CD，OE⊥CD，
∴OF⊥AB，DE=12CD=n，
∴∠OED＝∠OFB＝90°，BF=12AB=m，
∴DE2+OE2＝OD2，OF2+BF2＝OB2，即n2+OE2＝102，OF2+m2＝102，
又m2+n2＝102，
∴OE＝m，OF＝n，
∴DE＝OF，OE＝BF，
∴△OED≌△BFO（SSS），
∴∠EOD＝∠OBF，
∵∠OBF+∠BOF＝90°，
∴∠EOD+∠BOF＝90°，
∴∠DOB＝90°．
【点评】本题考查了勾股定理、一元二次方程根的判别式、全等三角形的判定及性质、圆周角定理等知识，解题关键是挖掘新定义中最本质的关系：勾氏方程ax2+2cx+b=0满足a2+b2＝c2，利用这个关系即可转化边并证明边相等．
五、解答题（本题共2小题，每22题13分，每23题14分，共27分）
22．（13分）正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上一动点．
（1）若点E不与点A、D重合，请直接写出∠AED的度数；
（2）如图2，若点E在BC上运动（点E不与点B、C重合），连接BE，EC，AE，试探究线段BE，EC，AE的数量关系并说明理由；
（3）如图3，若点E在AD上运动，分别取AB、CD的中点M、N，连接BE，MN，BE交MN于点F，四边形BFNC与四边形BFN'C′关于直线BE对称，连接MC′，MN'，当正方形ABCD的边长为2时，求△MC'N'面积的最小值．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）连接AC，求得∠ACD＝45°，利用圆周角定理结合圆内接四边形即可求解；
（2）在AE上截取AG＝CE，连接BG，△GAB≌△ECB（SAS），推出BG＝BE，∠ABG＝∠CBE，再证明△BGE是等腰直角三角形，据此得到AE=CE+2BE；
（3）根据对称的性质求得BC'＝BC＝BA＝4，C'N'＝CN＝2，当C'N'边上的高最小时，△MC'N'面积取得最小值，则当点C'与点A重合，此时点E与点D重合，所以C'N'边上的高就是AM的长，据此求解即可．
【解答】解：（1）连接AC，
∵正方形ABCD，
∴∠ACD＝45°，
当点E在优弧AD上时，∠AED＝∠ACD＝45°，
当点E在劣弧AD上时，∠AED＝180°﹣45°＝135°，
综上，∠AED的度数为45°或35°；
（2）AE=CE+2BE，理由如下，
在AE上截取AG＝CE，连接BG，
∵AB＝CB，∠GAB＝∠ECB，
∴△GAB≌△ECB（SAS），
∴BG＝BE，∠ABG＝∠CBE，
∴∠GBE＝∠CBE+∠GBC＝∠ABG+∠GBC＝∠ABC＝90°，
∴△BGE是等腰直角三角形，
∴GE=2BE，
∴AE=AG+GE=CE+2BE；
（3）∵正方形ABCD的边长为2，点M、N是AB、CD的中点，
∴BM=AM=CN=12×4=2，
∵四边形BFNC与四边形BFN'C'关于直线对称，
∴BC'＝BC＝BA＝4，C'N'＝CN＝2，
∴当C′N'边上的高最小时，△MC′N′面积取得最小值，
∴当点C'与点A重合，此时点E与点D重合，
∴CN边上的高就是AM的长，
∴△MC'N'面积的最小值为12×2×2=2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线解决问题是解题的关键．
23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．点D为线段BC上的一动点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，求△AOD周长的最小值；
（3）如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由题意可知，设抛物线的表达式为y＝a（x+1）（x﹣3），再将（0，3）代入求出a即可；
（2）根据题意先求出点O关于直线BC的对称点E的坐标，再连接AE，交BC于点D，此时|DO|+|DA|最小；
（3）先用待定系数法求出直线BC，AC的解析式，再根据PD∥AC，设直线PD表达式为y＝3x+a，再设P（m，-12m2+2m+6），利用平行等积，将△PAD面积转化为△PCD的面积，那么△PAD与△PBD的面积之和等于△PBC的面积，即求△PBC的面积最大值即可．
【解答】解：（1）由题意可知，设抛物线的表达式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将（0，3）代入上式得：3＝a（0+1）（0﹣3），
解得a＝﹣1，
∴抛物线的表达式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3；
（2）作点O关于直线BC的对称点E，连接EC、EB，如图1，
∵点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∠BOC＝90°，
∴OA＝1，OB＝OC＝3，
∵O、E关于直线BC对称，
∴四边形OBEC为正方形，
∴E（3，3），
连接AE，交BC于点D，由对称性|DE|＝|DO|，
此时|DO|+|DA|有最小值为AE的长，
∴AE=AB2+BE2=42+32=5，
∵△AOD 的周长为DA+DO+AO，AO＝1，DA+DO的最小值为5，
∴△AOD的周长的最小值为5+1＝6；
（3）连接PC，如图2，
由PD∥AC得：S△APD＝S△CPD，
∴S＝S△PAD+S△PBD＝S△PCD+S△PBD＝S△PBC，
过点P作PN⊥x轴于点N，交BC于点M，
则S＝S△PBC＝S△PMC+S△PMB=12OB•PM=32PM，
设P（m，﹣m2+2m+3），则M（m，﹣m+3），
∴S=32[（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）]
=32（﹣m2+3m）
=-32（m-32）2+278，
∵-32＜0，
∴当m=32时，S有最大值，最大值为278，
此时P点为（32，154）．
【点评】本题重点考查了待定系数法求二次函数及一次函数解析式，点的对称性，二次函数的性质等知识，将△PAD面积转化为△PCD的面积是解决第三个问题的关键．
投球的次数
100
200
300
500
1000
1500
2000
3000
摸到白球的频数
70
144
219
372
748
1127
1502
2247
摸到白球的频率
0.700
0.720
0.730
0.744
0.748
0.752
0.751
0.749
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
A
A
C
A
B
B
C
A
投球的次数
100
200
300
500
1000
1500
2000
3000
摸到白球的频数
70
144
219
372
748
1127
1502
2247
摸到白球的频率
0.700
0.720
0.730
0.744
0.748
0.752
0.751
0.749
A
B
C
D
A
﹣
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
﹣
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
﹣
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
﹣