2024-2025学年上海市虹口区高一上册10月月考数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市虹口区高一上册10月月考数学检测试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若，，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知全集，集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合是（ ）
A. B.
C. D.
3. 方程在区间和各有一个根的充要条件是（ ）
A. B.
C D.
4. 已知a，b，，若关于x不等式的解集为，则（ ）
A. 不存在有序数组，使得
B. 存在唯一有序数组，使得
C 有且只有两组有序数组，使得
D. 存在无穷多组有序数组，使得
二、填空题：本题共10小题，共42分．
5 已知集合，，则______
6. 已知集合，，且，则的值为________.
7. 若，则实数______．
8. 命题“，若 ，则 ”用反证法证明时应假设为__________．
9. 若集合的子集只有两个，则实数______．
10. 设命题p：集合，命题q：集合，若，则实数a的取值范围是______
11. 设是方程的两个实数根，则=_____________
12. 设关于x的方程解集为M，关于x的不等式的解集为N，若集合，则________.
13. 集合任取这三个式子中至少有一个成立，则的最大值为________．
14. 设，若存在唯一的m使得关于x的不等式组有解，则a的取值范围是______.
三、解答题：本题共4小题，共42分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，集合．
（1）若，求；
（2）若，求实数a取值范围．
16. ⑴当时，求证：；
⑵已知，．试证明至少有一个不小于．
17. 已知关于x的不等式的解集为M．
（1）若，求x取值范围；
（2）若，求实数k的取值范围；
（3）是否存在实数k，满足：“对于任意正整数n，都有；对于任意负整数m，都有”，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．
18. 记存在正整数n，且．若集合满足，则称集合A为“谐调集”．
（1）分别判断集合、集合是否为“谐调集”；
（2）已知实数x、y，若集合为“谐调集”，是否存在实数z满足，并且使得为“谐调集”？若存在，求出所有满足条件的实数z，若不存在，请说明理由；
（3）若有限集M为“谐调集”，且集合M中的所有元素均为正整数，试求出所有的集合．
2024-2025学年上海市虹口区高一上学期10月月考数学检测试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若，，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】
根据不等式的性质求解
【详解】对于A. ，，则，成立
对于B. ，，；
对于C. ，；
对于D. 若，则不成立
故选A.
2. 已知全集，集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再解绝对值不等式求出集合，阴影部分表示的集合为，根据交集、并集、补集的定义计算可得；
【详解】解：由，解得，所以，
又，所以，，
所以阴影部分表示的集合为，
故选：C.
3. 方程在区间和各有一个根的充要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】令，利用零点存在性定理，建立参数所满足的不等式，解不等式，即得参数的取值范围.
【详解】因为一元二次方程在区间和各有一个根，
令，则由题意可得，即，解得，
则方程在区间和各有一个根的充要条件是.
故选：B.
4. 已知a，b，，若关于x不等式的解集为，则（ ）
A. 不存在有序数组，使得
B. 存在唯一有序数组，使得
C. 有且只有两组有序数组，使得
D. 存在无穷多组有序数组，使得
【正确答案】D
【分析】根据，不等式转化为一元二次不等式的解的问题，利用两个一元二次不等式解集有交集的结论，得出两个不等式解集的形式，从而再结合一元二次方程的根与系数关系确定结论．
【详解】由题意不等式的解集为，
即的解集是，
则不等式的解是或，不等式的解集是，
设，，，
所以，，
和是方程的两根，
则，，
又，
所以是一根，
所以存在无数对，使得．
故选：D．
关键点点睛：本题考查分式不等式的解集问题，解题关键是转化一元二次不等式的解集，从而结合一元二次方程根与系数关系得出结论．
二、填空题：本题共10小题，共42分．
5. 已知集合，，则______
【正确答案】
【分析】先解不等式，对集合A进行化简，再求出集合A的补集.
【详解】即解得，
故，
又，
所以.
故
6. 已知集合，，且，则的值为________.
【正确答案】
【分析】本题根据题意先得到限制条件，再根据限制条件求的值即可.
【详解】解：因为，，，
所以，解得，
故0
本题考查根据集合相等求参数的值，是基础题.
7. 若，则实数______．
【正确答案】
【分析】根据元素与集合的关系求解，利用集合中元素的互异性验证．
【详解】当时，，不满足元素的互异性，舍去.
当时，解得或4，
当时，不符合题意，
当时，集合为，符合题意,
所以．
故．
8. 命题“，若 ，则 ”用反证法证明时应假设为__________．
【正确答案】.
【详解】分析： 利用的否定为不都等于，从而可得结果.
详解：考虑的否定，由于都等于，故否定为不都等于，故答案为或.
点睛：反证法的适用范围：（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少．
9. 若集合的子集只有两个，则实数______．
【正确答案】0或
【分析】根据题意知道A有一个元素，然后讨论a是否为0，然后得出a的值即可．
【详解】的子集只有两个，有一个元素，
①时，，满足题意；
②时，，解得，
或．
故0或．
10. 设命题p：集合，命题q：集合，若，则实数a的取值范围是______
【正确答案】
【分析】根据题意，由条件可得命题p是命题q的充分条件，列出不等式，即可得到结果.
【详解】因为，则命题p是命题q的充分条件，则，解得，即实数a的取值范围是.
故答案：
11. 设是方程的两个实数根，则=_____________
【正确答案】2024
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系，求出，再将转化后求出．
【详解】，是方程的两个根，
，，
又，
，
故 2024
12. 设关于x的方程解集为M，关于x的不等式的解集为N，若集合，则________.
【正确答案】
【分析】根据一元二次不等式的解法，结合绝对值的性质进行求解即可.
【详解】由或，所以或，
当时，由，可得，
当时，由，可得，
因此有，
当时，；
当时，，
故
13. 集合任取这三个式子中至少有一个成立，则的最大值为________．
【正确答案】7
【分析】假设且集合有4个正项，结合已知条件得到矛盾，即可确定集合中正项的个数，同理推出负项个数，即可确定的最大值.
【详解】不妨假设若集合中的正数个数大于等于，故为正项，
则和均大于于是有从而矛盾！
所以集合中至多有3个正数，同理集合中最多有个负数，取满足题意，
所以的最大值为．
故7
14. 设，若存在唯一的m使得关于x的不等式组有解，则a的取值范围是______.
【正确答案】
【分析】根据给定条件，确定m的最小值，再由函数不等式有解得当时不等式组有解，当时不等式组无解，求出a的范围作答.
【详解】依题意，，由不等式有解知，，而，因此，
因存在唯一m使得关于x的不等式组有解，
则当且仅当时，不等式组有解，且当时不等式组无解，
由有解得有解，于是得，解得，
由无解得无解，于是得，解得，因此，
所以a的取值范围是.
故
结论点睛：函数的定义区间为，若，使得成立，则；若，使得成立，则.
三、解答题：本题共4小题，共42分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，集合．
（1）若，求；
（2）若，求实数a的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）当时，化简集合A，集合B，再根据集合的并集运算可得解；
（2）即，抓住集合A是否为空集讨论，再根据子集关系运算得解.
【小问1详解】
若，由，解得，则，
又，即等价于，解得，
则，
.
【小问2详解】
由等价于，
当时，集合，符合；
当时，由，解得，
即，又，
，解得，
综上，实数的取值范围是.
16. ⑴当时，求证：；
⑵已知，．试证明至少有一个不小于．
【正确答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【详解】试题分析：
⑴由，
当时，可得，即可证明结论；
⑵可用反证法：假设都小于，即，可得，
进而，即可得到矛盾，即可作出证明．
试题解析：
⑴
∵x>1 ∴
∴
⑵假设a,b,c都小于，即
则有 ①
而 ②
①与②矛盾
故a,b,c至少有一个不小于．
17. 已知关于x的不等式的解集为M．
（1）若，求x的取值范围；
（2）若，求实数k的取值范围；
（3）是否存在实数k，满足：“对于任意正整数n，都有；对于任意负整数m，都有”，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．
【正确答案】（1）
（2）
（3）存在，
【分析】（1）直接求解不等式，即可得到结果.
（2）讨论二次项系数及不为0时，求出原不等式的解集为时的取值范围．
（3）根据题意得出解集，讨论的取值，求出原不等式的解集，判断是否满足条件即可．
【小问1详解】
当时，不等式为，即，解得，
即x的取值范围为.
【小问2详解】
当时，解得，或，
①当时，不等式化为，时，解集为；
②当时，不等式化为，对任意实数不等式不成立；
③当时，可得，
则k的取值范围为；
综上所述，实数k的取值范围为.
【小问3详解】
根据题意，得出解集，，
当时，解得，或，
时，不等式的解集为，满足条件，
时，恒成立，不满足条件，
当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件，
当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件，
综上，存在满足条件的值为5．
18. 记存在正整数n，且．若集合满足，则称集合A为“谐调集”．
（1）分别判断集合、集合是否为“谐调集”；
（2）已知实数x、y，若集合为“谐调集”，是否存在实数z满足，并且使得为“谐调集”？若存在，求出所有满足条件的实数z，若不存在，请说明理由；
（3）若有限集M为“谐调集”，且集合M中的所有元素均为正整数，试求出所有的集合．
【正确答案】（1）E不是，F是
（2）不存在，理由见解析
（3）
【分析】（1）根据新定义计算即可判断；
（2）若存在符合题意实数z，根据题意可得的关系式，求解后，检验，即可判断；
（3）不妨设A中所有元素满足，从而可得，进而可得，再分三种情况求解即可．
【小问1详解】
∵，
∴E不是“谐调集”，
∵，
∴F是“谐调集”.
【小问2详解】
若存在符合题意的实数z，则，
∴，即，解得或或，
当时，则，不符合题意.
当时，，
由此，x、y是方程的实数解．
但，方程无实数解，所以不符合题意.
同理，当时，不符合题意，
综上，不存在符合题意的实数.
【小问3详解】
不妨设A中所有元素满足，
则，
于是，，
即，
当时，则，
∴，但无解，所以不存在符合题意的“谐调集”，
当时，则，
∴
∴，
当时，
∵均为正整数，
∴，
∴，
又∵，
∴即，
但当时，，矛盾．
所以不存在符合题意的“谐调集”
综上，符合题意的“谐调集”为．
方法点睛：解新定义题型的步骤：
（1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.
（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.
（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.