2024-2025学年上海市虹口区高一上册9月月考数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市虹口区高一上册9月月考数学检测试卷（含解析），共15页。
2．本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．
一、填空题（满分36分）
1. 已知集，则______．
2. 若，则实数____________.
3. 已知集合，，且，则的值为________.
4. 如果，那么”是__________命题.（填“真”或“假”）
5. “”是“”的_____________条件
6. 用列举法表示集合为______．
7. 设集合，则______．
8. 已知等式恒成立，则常数________
9. 设全集，若，，，则A=______.
10. 设为实数，关于x的不等式组的解集为A，若，则的取值范围是_____________
11. 设、是关于的方程的两个实数根，则的最小值为______.
12. 设集合，现对的任一非空子集：令为中最大数与最小数之和，则所有这样的的平均值为______．
二、选择题（满分12分）
13. 已知a＝ ，集合，则下列表示正确的是．
A. B. a AC. D.
14. 若，则下列不等式中不能成立的是（ ）
A. B. C. D.
15. 设，命题“存在，使方程有实根”的否定是（ ）
A. 对任意，方程无实根；
B. 对任意，方程无实根；
C. 对任意，方程有实根；
D 对任意，方程有实根．
16. 已知实数，关于不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是( )
A B.
C D.
三、解答题（8+8+10+12+14=52分）
17. 已知集合，求实数的值.
18. 已知．证明：中至少有一个不小于1.
19. 已知全集，集合，．
（1）当时，求；
（2）设；，若p是q充分条件，求实数a的取值范围．
20. 命题甲：集合，且，命题乙：集合，且，
（1）若命题甲是真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题乙是真命题，求实数的取值范围；
（3）若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数取值范围．
21. 已知函数，设关于x的方程的两实根为，关于x的方程的两实根为．
（1）若不等式的解集是，求不等式的解集；
（2）若均为负整数，且，求的解析式；
（3）若，求证：．
2024-2025学年上海市虹口区高一上学期9月月考数学检测试卷
考生注意：
1．本试卷共4页，21道试题，满分100分，考试时间90分钟．
2．本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．
一、填空题（满分36分）
1. 已知集，则______．
【正确答案】
【分析】根交集概念课直接得到答案.
【详解】.
故
2. 若，则实数____________.
【正确答案】
【分析】4是集合中的元素，所以只能是，求出a的值即可
【详解】由题意得：，解得：
故
3. 已知集合，，且，则的值为________.
【正确答案】
【分析】本题根据题意先得到限制条件，再根据限制条件求的值即可.
【详解】解：因为，，，
所以，解得，
故0
本题考查根据集合相等求参数的值，是基础题.
4. 如果，那么”是__________命题.（填“真”或“假”）
【正确答案】真
【分析】直接根据不等式的性质即可得出结论.
【详解】解：因为，则，
所以，
所以如果，那么”是真命题.
故真.
5. “”是“”的_____________条件
【正确答案】必要不充分
详解】“x>1”不能推出“x>2”，所以充分性不具备；
“x>2” 能推出“x>1”，所以必要性具备.
故答案为必要不充分
6. 用列举法表示集合为______．
【正确答案】
【分析】根据集合描述列举出集合元素，即可得答案.
【详解】由且，则,或，
解得的值为，所以.
故
7. 设集合，则______．
【正确答案】
【分析】求出中的范围确定集合，求出中的范围确定集合，再利用集合的运算，即可解．
【详解】因为，，
所以，得到，
故答案为.
8. 已知等式恒成立，则常数________
【正确答案】4
【分析】由对应项系数相等列方程组求解．
详解】恒成立，
所以，解得，
所以．
故4．
9. 设全集，若，，，则A=______.
【正确答案】
【分析】写出全集U，作出韦恩图，将全集U中的元素放置在合适的区域内即可求出集合A.
【详解】依题意，全集，作出韦恩图，如下图所示：
观察韦恩图知集合.
故
10. 设为实数，关于x的不等式组的解集为A，若，则的取值范围是_____________
【正确答案】
【分析】根据，建立不等式求解即可求解.
【详解】解：由题意，，则或，解得或.
故
11. 设、是关于的方程的两个实数根，则的最小值为______.
【正确答案】
【分析】
根据、是关于的方程的两个实数根，由Δ≥0，解得 ，然后由 ，将韦达定理代入，利用二次函数的性质就.
【详解】因为、是关于的方程的两个实数根，
所以，解得 ，
所以，
则 ，
，
，
，
所以的最小值为，
故
12. 设集合，现对的任一非空子集：令为中最大数与最小数之和，则所有这样的的平均值为______．
【正确答案】9
【分析】根据集合的子集和并集的概念求解.
【详解】集合M的非空子集共有个，
其中，最小值为1的子集可视为的子集与集合的并集，共有个，
同上可知，最小值为2的子集共有个，最小值为3的子集共有，最小值为8的子集共有个.
最大值为8的子集可视为的子集与集合的并集，共有个，
同上可知，最大值为7的子集共有个，最大值为6的子集共有个，...，最大值为1的子集共有个.
所以，M的所有非空子集中的最小值之和为
，
最大值之和为，
所以
故9
关键点点睛：本题的关键是进行合理地分类讨论，并找到其规律计算即可.
二、选择题（满分12分）
13. 已知a＝ ，集合，则下列表示正确的是．
A. B. a AC. D.
【正确答案】A
【详解】因为，所以在集合中，是集合的一个元素，所以，故选A．
14. 若，则下列不等式中不能成立的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】结合已知条件，利用不等式性质即可求解.
【详解】因为，故，故A正确；
对于选项B：因为，所以成立，故B正确；
对于选项C：成立，故C正确；
对于选项D：由可知，，故D错误.
故选：D.
15. 设，命题“存在，使方程有实根”的否定是（ ）
A. 对任意，方程无实根；
B. 对任意，方程无实根；
C. 对任意，方程有实根；
D. 对任意，方程有实根．
【正确答案】A
【分析】根据存在量词命题否定的概念判断即可.
【详解】命题“存在，使方程有实根”的否定是“对任意，方程无实根”.
故选：A.
16. 已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是( )
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】由题可知，再利用中间量，根据与之间的关系求出的取值范围，即可判断a、b、、之间的关系.
详解】由题可得：，.由，，设，则.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故.
故选：A.
三、解答题（8+8+10+12+14=52分）
17. 已知集合，求实数的值.
【正确答案】
【分析】首先得到，解出值再分类讨论即可.
【详解】由题意得，解得或2，
当时，，不满足，故舍去；
当时，，因为，则，
综上所述，.
18. 已知．证明：中至少有一个不小于1.
【正确答案】证明见解析
【分析】利用反证法思想，解一元二次不等式组即可证明.
【详解】反证法：假设中3个数都小于1，
则有，
由可得，，解得，
由，解得，
由可得，，解得，
因为，
所以无解，即假设不成立，
所以中至少有一个不小于1，命题得证.
19 已知全集，集合，．
（1）当时，求；
（2）设；，若p是q充分条件，求实数a的取值范围．
【正确答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先求出集合A，B，再根据补集交集定义即可求出.
（2）求出集合B，由题可得，则列出式子即可求出.
【详解】（1），
当时，，
则或，
；
（2），即，，
若p是q充分条件，则，
，解得或，
故a的取值范围为.
结论点睛：本题考查根据必充分条件求参数，一般可根据如下规则判断：
（1）若是必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）若是的既不充分又不必要条件，则对应的集合与对应集合互不包含．
20. 命题甲：集合，且，命题乙：集合，且，
（1）若命题甲是真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题乙是真命题，求实数的取值范围；
（3）若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）
（3）或
【分析】（1）根据条件，利用集合的运算结果得到，即可求解；
（2）利用，将问题转化成或集合中元素是非正数，从而通过方程的解，求得，即可求解；
（3）利用（1）和（2）中结果，分命题甲是真命题，命题乙是假命题和命题甲是假命题，命题乙是真假命题两种情况，即可求解.
【小问1详解】
因为A=x−21−a，又，
所以，解得，
所以当命题甲是真命题，实数的取值范围为.
【小问2详解】
因为，且，则或集合中元素是非正数，
又，所以中元素是方程的解，
当时，，解得，
当集合中元素是非正数时，设是方程的根，
因为，则且，解得，
所以当命题乙是真命题，实数的取值范围为.
【小问3详解】
当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，，得到，
当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，a≤−5a>−4或a>3a>−4，得到，
所以命题甲和乙中有且只有一个真命题，实数的取值范围为或.
21. 已知函数，设关于x的方程的两实根为，关于x的方程的两实根为．
（1）若不等式的解集是，求不等式的解集；
（2）若均为负整数，且，求的解析式；
（3）若，求证：．
【正确答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【分析】（1）利用一元二次方程的根与系数的关系，知道方程的解，求二次方程的系数.
（2）结合一元二次方程根与系数的关系，可得满足的条件，再根据均为负整数，可确定的值.
（3）利用一元二次方程根与系数的关系，可证所给的结论.
【小问1详解】
的解集为，
所以是方程的两根.
所以.
所以为
所以.
所以所求不等式的解集为.
【小问2详解】
因为的两根为.
所以，，且.
所以.
由得.
又因为均为负整数，所以，所以.
所以的值可能为或.
若则；若，则（舍去）.
故，为所求.
此时.
【小问3详解】
因为，所以；.
又因为，
所以.
关键点点睛：解一元二次不等式，要先解一元二次方程.根据一元二次不等式的解集，可确定一元二次方程的解.