【开学摸底考】2024-2025学年春季期九年级下册数学开学摸底考（浙江专用）（原卷+答案+答题卡）

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（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若线段，，则线段，的比例中项为（ ）
A．B．C．6D．
2．已知的半径是5，直线与相交，圆心到直线的距离可能是（ ）
A．4B．5C．6D．10
3．在△ABC中，．若，，则的长是（ ）
A．B．C．6D．8
4．小真煮好了25颗汤圆，其中15颗为芝麻汤圆，10颗为花生汤圆，小真想从煮好的汤圆中捞一颗，若每颗汤圆被小真捞到的机会相等，则他捞到花生汤圆的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．若A（﹣4，y1）、B（﹣1，y2）、C（2，y3）为二次函数y＝﹣（x＋2）2＋k的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
6．如图，在纸片中，，将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（ ）
A．6B．12C．24D．48
8．如图，是四边形的外接圆，点是的内心，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．如图1，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，其中∠C=∠EDF=90°，点A与点D重合，点E在AB上，AB=4，DE=2．如图2，△ABC保持不动，△DEF沿着线段AB从点A向点B移动，当点D与点B重合时停止移动．设AD=x，△DEF与△ABC重叠部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
B．
C．D．
10．如图，矩形矩形，连接、、，要求出的面积，只需要知道下面哪个图形的面积（ ）
A．矩形的面积B．四边形的面积
C．的面积D．的面积
第二部分（非选择题 共70分）
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．利用因式分解计算： ．
12．在不透明袋子中有1个黄球、2个白球和7个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球最有可能是 ．
13．如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝12，且AC+BC＝10，则AB的长为 ．

14．如图，在扇形中，，，点在上，，点为的中点，点为弧上的动点，与的交点为，的最小值为
15．二次函数的图象与轴交于点A，将该函数图象向右平移个单位后与轴交于点，平移前后的函数图象相交于点，若，则的值为 ．
16．如图，是正方形的外接圆，的直径为2．与相切于点B，交的延长线于点F，则 ；连接交于点E，连接，则 ．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（本题满分8分）计算：
(1)；
(2)．
18．（本题满分8分）某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法．为提前了解学生的选修情况，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．对调查结果进行了整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有______人，在扇形统计图中，m的值是______；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在被调查的学生中，选修书法的有2名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请直接写出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．
19．（本题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为(﹣1，3)、(﹣4，1)、(﹣2，1)，先将△ABC沿一确定方向平移得到△A1B1C1，点B的对应点B1的坐标是(1，2)，再将△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2，点A1的对应点为点A2．
（1）画出△A1B1C1和△A2B2C2；
（2）求出在这两次变换过程中，点A经过点A1到达A2的路径总长；
（3）求线段B1C1旋转到B2C2所扫过的图形的面积．
20．（本题满分8分）图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gā），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，．
(1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）；
(2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，）
21．（本题满分8分）小雅同学在学习圆的基本性质时发现了一个结论：如图，中，弦于点M，弦于点N，若，则．

(1)请帮小雅证明这个结论；
(2)运用以上结论解决问题：在中，，O为的内心，以O为圆心，为半径的与△ABC三边分别相交于点D、E、F、G．若，，求的周长．
22．（本题满分10分）根据以下素材，探索完成任务．
注：上述任务中足球落在门柱边线视作足球进入球门．
23．（本题满分10分）已知抛物线．
(1)当时，求抛物线的顶点坐标；
(2)经探究发现：随着的变化，抛物线的顶点纵坐标与横坐标之间存在函数关系，求这个函数关系式；
(3)已知点，，当抛物线与线段有交点时，求的取值范围．
24．（本题满分12分）如果过三角形一个顶点的线段将三角形分成两个三角形，其中的一个三角形与原三角形相似，且该三角形与原三角形的相似比为，则原三角形叫和谐三角形．
(1)如图1，已知是△ABC中边上的中线，，，求证：是和谐三角形；
(2)如图2，在5×5的方格纸中，A、B在格点上，请画出一个符合条件的和谐；
(3)如图3，在（1）的条件下，作的外接圆，E是上一点，且满足，连接DE，
①设，，求y关于x的函数表达式；
②当时，求的半径．
素材1
如图1是某足球场的一部分，球门宽，高．小梅站在A处向门柱一侧发球，点A正对门柱（即），，球射向球门的路线呈抛物线，且一直在正上方．

此次射门的侧面示意图如图2所示，当足球飞行的水平距离时，球达到最高点Q，此时球离地面．以点A为原点，直线为x轴，建立平面直角坐标系．

素材2
如图3，距离球门正前方处放置一块矩形拦网，拦网面垂直于地面，且（足够长），拦网高．

任务1
求足球运动的高度与水平距离之间的函数关系式．
任务2
未放置拦网时，判断此次射门球能否进入球门．若能进入，计算出足球经过C点正上方时的高度；若不能进入，小梅不改变发球的方向，且射门路线的形状和最大高度保持不变，他应该带球向正后方至少移动多少米射门，才能让足球进入球门．
任务3
放置拦网后，小梅站在A处，射门路线的形状和最大高度保持不变，只改变发球方向，使射向球门的路线在正上方，判断足球能否越过拦网，在点E处进入球门．