【开学摸底考】2024-2025学年春季期九年级下册数学开学摸底考（广东深圳卷专用）（原卷+答案+答题卡）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共30分）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．某同学画出了如图所示的几何体的三种视图，其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．②
【答案】B
【分析】从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图．依此即可解题．
【详解】解：根据几何体的摆放位置，主视图和俯视图正确．左视图中间有一条横线，故左视图不正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了三种视图及它的画法，看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．
2．在一个有 10 万人的小镇，随机调查了 1000 人，其中有 120 人周六早上观看中央电视台的“朝闻天下”节目，那么在该镇随便问一个人，他在周六早上观看中央电视台的“朝闻天下”节目的概率大约是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】试题解析：由题意知：1000人中有120人看中央电视台的早间新闻，
∴在该镇随便问一人，他看早间新闻的概率大约是．
故选C．
3．若点在反比例函数的图像上，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据点在反比例函数的图象上，可以求得的值，从而可以比较出的大小关系．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，，，∵，∴，故选：C．
4．下列选项中，不能被边长为2的正方形及其内部所覆盖的图形是（ ）
A．长度为的线段B．边长为2的等边三角形
C．斜边为2的直角三角形D．面积为4的菱形
【答案】D
【分析】先计算出正方形的对角线长，即可逐项进行判定求解．
【详解】解：A、正方形的边长为2，
对角线长为，
长度为的线段能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故不符合题意；
B、边长为2的等边三角形能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故不符合题意；
C、斜边为2的直角三角形能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故不符合题意；
D、而面积为4的菱形对角线长可以为8，故不能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故符合题意，
故选：D．
5．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（ ）
A．
B．点C、点O、点三点在同一直线上
C．
D．
【答案】D
【分析】此题考查了位似变换，根据位似图形的性质，对选项逐个判断即可．
【详解】解：∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，
∴与是位似图形，
∴，A选项说法正确，不符合题意；
点C、点O、点三点在同一直线上，B选项说法正确，不符合题意；
，C选项说法正确，不符合题意；
，D选项说法错误，符合题意；
故选：D．
6．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．，且C．，且D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k-1≠0且△=42-4（k-1）×1＞0，然后求出两个不等式解集的公共部分即可．
【详解】解：由题意得，
k-1≠0且△=42-4（k-1）×1＞0，
解得：k＜5且k≠1．
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：解题的关键是掌握当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
7．某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
B．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
D．抛一枚硬币，出现反面的概率
【答案】C
【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.33左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行判断．
【详解】解：A、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合题意；
B、抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5的概率为，不符合题意；
C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率是，符合题意；
D、抛一枚硬币，出现反面的概率为，不符合题意，
故选C．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
8．如图，正方形 中， 是 的中点，， 是线段 上的动点，则 的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】当时，最短，利用相似三角形的判定与性质、勾股定理即可求得最小值．
【详解】解：当时，最短，
；
四边形为正方形，
，，
，
，
∴，
；
∵为 的中点，，
；
，即，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，确定垂直最短，从而运用相似三角形的判定与性质是关键．
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°， 分别以AC， BC为边向外作正方形ACDE与正方形BCFG， H为EG的中点，连接DH，FH．记△FGH的面积为S1，△CDH的面积为S2，若S1－S2＝6，则AB的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接AD交EC于点M，连接BF交CG于点N，设，分别求出，，，，，，，分别求得，，由得，，由勾股定理可得结论．
【详解】解：连接AD交EC于点M，连接BF交CG于点N，
∵四边形ACDE，BCFG是正方形，
∴，，
设，
∵∠，
∴
∴，
∴，
同理可证：，∵，∴，
∵H为EG的中点，∴，∴，
∵，又∵，
∴，整理得，，∵∠，
∴，
故选：A．
10．如图，正方形的对角线相交于点O，点F是上一点，交于点E，连接交于点P，连接．则下列结论：①；②；③四边形的面积是正方形面积的；④；⑤若，则．其中正确的结论有（ ）个．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】利用全等三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系定理对每个选项的结论进行判断即可得出结论．
【详解】解：在正方形中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，故①正确；
∵，
∴点四点共圆，
∴，
∴，
又∵，
∴，故②正确；
在正方形中，，，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
则四边形的面积是正方形面积的，故③正确；
过点作，交于点，如下图：
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴，故④正确；
由，设，则
，，，
过点作，如下图：
∵，
∴，
∴，
在中，，故⑤错误；
综上，正确的个数为4，
故选：C
第二部分（非选择题 共70分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．设α、β是方程x2+2020x﹣2＝0的两根，则（α2+2020α﹣1）（β2+2020β+2）＝ ．
【答案】4
【分析】将两根代入可得α2+2020α＝2，β2+2020β＝2，然后利用整体代入法即可求出结论．
【详解】∵α、β是方程x2+2020x﹣2＝0的两根，
∴α2+2020α﹣2＝0，β2+2020β﹣2＝0
∴α2+2020α＝2，β2+2020β＝2
∴（α2+2020α﹣1）（β2+2020β+2）
=（2﹣1）（2+2）＝4．
故答案为4．
【点睛】此题考查的是一元二次方程的解，掌握一元二次方程解的定义是解决此题的关键．
12．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点为的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度为 ．
【答案】
【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：点为的黄金分割点，，
，
，
故答案为：．
13．一个不透明的盒子中装有个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验次，其中有次摸到白球，由此估计盒子中的白球大约有 个．
【答案】
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．
【详解】解：设盒子中共有白球个，
根据题意，得：，
解得：，
经检验：是原方程的解且符合题意，
∴估计盒子中的白球大约有个．
故答案为：．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．解题的关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．也考查了分式方程的应用．
14．如图，在矩形中，，，是上的一个动点（不与，重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，若时，则 ．
【答案】80
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义的应用，三角形面积的同底问题的应用．连接，利用同底面积比等于高之比，得到点坐标，再利用反比例函数的关系式的求法计算即可．
【详解】解：连接，
由题意得：，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：80．
15．如图，在中，，，，点M是线段上的动点，在线段上截取，连接和，当点M在运动的过程中，的最小值为 ．

【答案】2
【分析】本题考查了翻折变换折叠问题，直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，过点作并截取，连接，，设交于点，利用直角三角形的边角关系定理求得，的长，利用全等三角形的判定与性质得到，再利用三角形的三边关系定理得到的最小值为；过点作，交的延长线于点，利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理解答即可得出结论．正确构造全等三角形是解题的关键．
【详解】解：过点作并截取，连接，，设交于点，如图，
中，，，，
，，．
在和中，
，
，
，．
．
，
的最小值为．
过点作，交的延长线于点，
，
．
，
，，
．
，
的最小值为．
故答案为：．

三、解答题（本大题共7小题，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（5分）解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【分析】本题主要考查解一元二次方程：
（1）方程移项后运用因式分解法求解即可；
（2）方程运用因式分解法求解即可．
【详解】（1），，，
，，∴；
（2），，，∴．
17．（7分）某校在开展“网络安全知识教育周”期间，在八年级中随机抽取了20名学生分成甲、乙两组，每组各10人，进行“网络安全”现场知识竞赛．把甲、乙两组的成绩进行整理分析（满分100分，竞赛得分用x表示：为网络安全意识非常强，为网络安全意识强，为网路安全意识一般）．收集整理的数据制成如下两幅统计图：
分析数据：
根据以上信息回答下列问题：
(1)填空：_______，_______，_________；
(2)已知该校八年级有500人，估计八年级网络安全意识非常强的人数一共是多少？
(3)现在准备从甲乙两组满分人数中抽取两名同学参加校际比赛，求抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率．
【答案】(1)83，85，70(2)200人(3)
【分析】（1）根据平均数，中位数与众数的含义分别求解即可；
（2）由500乘以得分为所占的百分比即可得到答案；
（3）记甲组满分的同学为A，乙组满分的两位同学分别为B，C，再利用列表的方法得到所有的等可能的情况有6种，符合条件的有4种，从而可得答案．
【详解】（1）解：甲组的平均数为：（分），
乙组10个数据分别为：70，70，70，70，80，90，90，90，100，100，
排在第5个，第6个分别为：80，90，
所以中位数（分），
而70出现的次数最多，所以众数（分），
故答案为：83，85，70；
（2）由题意得：（人），
所以八年级网络安全意识非常强的人数一共有200人．
（3）记甲组满分的同学为A，乙组满分的两位同学分别为B，C，
列表如下：
所以所有的等可能的情况有6种，符合条件的有4种，
所以抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为
【点睛】本题考查的是频数直方图，折线图，平均数，众数，中位数的含义，利用样本估计总体，利用列表或画树状图求解简单随机事件的概率，熟练的掌握统计与概率的基础知识是解本题的关键．
18．（8分）如图，路灯（P点）距地面8米，小明在距路灯的底部（O点）20米的A点时，测得此时他的影长为5米．

(1)求小明的身高；
(2)小明沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
【答案】(1)米(2)变短了，变短了米
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．
（1）通过证明，得出，即可解答；
（2）通过证明，得出，求出，即可解答．
【详解】（1）解：∵米，米，
∴米，
∵，，
∴，
∴，即
解得，．
即小明的身高为米．
（2）解：∵米，米，
∴米，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴（米），
∴小明的身影变短了，变短了米．
19．（8分）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围．
【答案】解：（1）一次函数的表达式为
（2）当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元
（3）销售单价的范围是．
【分析】（1）列出二元一次方程组解出k与b的值可求出一次函数的表达式．
（2）依题意求出W与x的函数表达式可推出当x=87时商场可获得最大利润．
（3）由w=500推出x2﹣180x+7700=0解出x的值即可．
【详解】(1)根据题意得：，
解得k=﹣1，b=120．
所求一次函数的表达式为；
（2）=，
∵抛物线的开口向下，
∴当x＜90时，W随x的增大而增大，而销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，即60≤x≤60×（1+45%），∴60≤x≤87，
∴当x=87时，W==891，
∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．
（3）令w=500，解方程，解得，，又∵60≤x≤87 ，所以当w≥500时，70≤x≤87．
考点：1．二次函数的应用；2．应用题．
20．（8分）如图，在正方形中，点，分别在，上，，垂足为．
(1)求证：；
(2)若正方形的边长是8，，点是的中点，求的长．
【答案】(1)见解答；(2)
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判断和性质，勾股定理．
（1）根据正方形的性质可得，，结合可得即可得证；
（2）由题意知即可求出，则，根据勾股定理即可求出，由是中点可得即可解答．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
是中点，，
．
21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点坐标为，反比例函数的图象分别与，交于点，，点为线段上的动点，反比例函数的图象经过点，交于点，连接．

(1)求直线的函数表达式；
(2)将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在直线上时，求的值；
(3)当点为线段中点时，将绕点旋转得到，其中，的对应点分别为，，当时，求点的坐标．
【答案】(1)(2)(3)点的坐标为或
【分析】（1）根据反比例函数的图象分别与AB，交于点，，求得的坐标，然后待定系数法求解析式即可；
（2）连接交于点，求得直线的解析式为，则DE，根据翻折的性质可得，，，根据点、分别为AD、的中点，建立方程，解方程求解即可；
（3）①如图，过点作于点，过点作于点，证明，，根据相似三角形的性质求得，，根据即可求得的坐标，②如图，过点作于点，过点作于点，方法同①，根据即可求得的坐标．
【详解】（1）解：反比例函数的图象分别与AB，交于点，，
，，，)，
设直线DE的函数表达式为，
则，解得：，
直线DE的函数表达式为；
（2）如图，连接交于点，

反比例函数的图象交AB于点，交于点，
，，，)，
，，
设直线的解析式为，
则，解得：，
直线的解析式为，
DE，
将沿所在直线翻折得到，
，，
，
点、分别为AD、的中点，
，解得：；
（3）①如图，过点作于点，过点作于点，

DE，DE，点为线段AD中点
，，，
在中，，
由旋转得：，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，即，
，，
，
，
，
，
，即，
，，
，
点的横坐标为：，纵坐标为：，
；
②如图，过点作于点，过点作于点，

，DE，
，
，
，
，
，
，
，即，
，，
，
，
，
，
，即，
，，
，
点的横坐标为：，纵坐标为：，
；
综上，点的坐标为或)．
22．（10分）【推理】
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G．
（1）求证：．
【运用】
（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若，，求线段DE的长．
【拓展】
（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）或
【分析】（1）根据ASA证明；
（2）由（1）得，由折叠得，进一步证明，由勾股定理得，代入相关数据求解即可；
（3）如图，连结HE，分点H在D点左边和点在点右边两种情况，利用相似三角形的判定与性质得出DE的长，再由勾股定理得，代入相关数据求解即可．
【详解】（1）如图，由折叠得到，
，
．又四边形ABCD是正方形，
，
，
，又 正方形 ，．
（2）如图，连接，
由（1）得，
，
由折叠得，，
．
四边形是正方形，
，
，
又，
，
．
，，
，．
，
，
（舍去）．
（3）如图，连结HE，
由已知可设，，可令，
①当点H在D点左边时，如图，
同（2）可得，，
，
由折叠得，
，
又，
，
，
又，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
（舍去）．
②当点在点右边时，如图，
同理得，，
同理可得，
可得，，
，
，
（舍去）．
.实验次数
100
200
300
500
800
1000
2000
频率
0.365
0.328
0.330
0.334
0.336
0.332
0.333
平均数
中位数
众数
甲组
a
80
80
乙组
83
b
c
A
B
C
A
A，B
A，C
B
B，A
B，C
C
C，A
C，B