【开学摸底考】2024-2025学年春季期九年级下册数学开学摸底考（北师大版）（原卷+答案+答题卡）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．中国在夏代就出现了相当于砝码的“权”，此后的多年间，不同朝代有不同形状和材质的“权”作为衡量的量具.下面是一个“”形增砣砝码，其俯视图如下图所示，则其主视图为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】从正面看中间的矩形的左右两边是虚的直线，
故选：A.
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
2．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可求解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程．
【详解】解：A. ，不是整式方程，故该选项不符合题意；
B. ，未知数的次数为1，故该选项不符合题意；
C. ，当时，是一元一次方程，故该选项符合题意；
D. ，是一元二次方程，故该选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
3．若x：y：z＝2：1：3，则的值等于（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】D
【分析】根据题意，设每一份为k，则，然后代入即可得到答案.
【详解】解：设每一份为k，
∵x：y：z＝2：1：3，
∴，
∴；
故选择：D
【点睛】本题考查了代数式的化简求值，解题的关键是利用比例的值，设每一份为k．
4．从三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在反比例函数的图象上的概率为 ( )
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数的性质和列表法与树状图法求概率．画树状图，共有6个等可能的结果，其中该点在反比例函数图象上的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如图：
共有6个等可能的结果，其中在反比例函数的图象上的结果有和共2个，
∴该点在坐标轴上的概率为．
故选：A．
5．在一个暗箱里放有个除颜色外完全相同的球，这个球中红球只有个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为，由此可以推算出约为（ ）
A．7B．3C．10D．6
【答案】C
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】解：由题意可得：，
解得：．
故可以推算出约为10．
故选C．
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，解题的关键是掌握“利用大量试验得到的频率可以估计事件的概率”．
6．如图，在中，，以点为圆心适当长为半径画弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，作线段的垂直平分线分别交于点，连接，下列结论错误的是（ ）

A．平分B．
C．D．
【答案】C
【分析】由作图可知平分，即可判断A，证明四边形是菱形，即可判断B，再利用平行线分线段成比例定理即可判断D，得到答案．
【详解】解：由作图可知，平分，
，
垂直平分线段，
，，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
故A、B、D正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了作图—复杂作图，角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、菱形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
7．在同一坐标系中，函数与（常数）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据每个函数图象分析出对应的参数范围，再综合对比即可．
【详解】解：A.由一次函数的图象知，，，由反比例函数的图象知，，故此选项图象正确，符合题意；
B.由一次函数的图象知，，，由反比例函数的图象知，，故此选项图象不正确，不符合题意；
C.由一次函数的图象知，，，由反比函数的图象知，，故此选项图象不正确，不符合题意；
D.由一次函数的图象知，，，由反比例函数的图象知，，故此选项图象不正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数图象综合分析，理解函数图象之间的关系是解题的关键．
8．如图，在坐标系中，以A（0，2）为位似中心，在y轴右侧作△ABC放大2倍后的位似图形△AB'C'，若C的对应点C'的坐标为（m，n），则点C的坐标为（ ）
A．（m，n+3）B．（m，n﹣3）
C．（m，n+2）D．（m，n﹣2）
【答案】A
【分析】过点A作x轴的平行线DD′，作CD⊥DD′于D，作C′D′⊥DD′于D′，设C（x,y），则CD=y-2、AD=-x、C′D′=2-n、AD′=m,根据位似比为1：2得比例式，计算即可．
【详解】过点A作x轴的平行线DD′，作CD⊥DD′于D，作C′D′⊥DD′于D′，
设C（x，y），
则CD=y﹣2、AD=﹣x，C′D′=2﹣n，AD′=m，
∵△ABC与△AB′C′的位似比为2：1，
∴,,
解得：x=﹣m，y=﹣n+3，
∴点C的坐标为（﹣m，﹣n+3）.
故选A．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质和坐标与图形的性质，掌握两个图形必须是相似形是解题的关键，注意相似三角形的性质的灵活运用．
9．如图，矩形的顶点分别在直线上，直线且相邻两直线间距离相等．若，直线与的夹角，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，含30°角直角三角形，矩形的性质，正确作出辅助线构造含30°角直角三角形是解题的关键．
作于点，于点，设相邻两直线间的距离为，得出，,进而得出,，再根据勾股定理计算即可．
【详解】解：作于点，于点，
设相邻两直线的距离为，
由题意得，
在中，，，
∴，
∴，
在矩形中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选： D．
10．函数和在第一象限内的图象如图所示，点是的图象上一动点，作轴于点，交的图象于点，作轴于点，交的图象于点，给出如下结论：①与的面积相等；②与始终相等；③四边形的面积大小不会发生变化；④，其中正确的结论序号是（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
【答案】C
【分析】设点P的坐标为（m，）（m＞0），则A（m，），C（m，0），B（ ，）D（0，）．①根据反比例函数系数k的几何意义即可得出S△ODB=S△OCA，该结论正确；②由点的坐标可找出PA=，PB=，由此可得出只有m=2是PA=PB，该结论不成；③利用分割图形法求图形面积结合反比例系数k的几何意义即可得知该结论成立；④结合点的坐标即可找出PA=，AC= ，由此可得出该结论成立．综上即可得出正确的结论为①③④．
【详解】解：设点P的坐标为（m，）（m＞0），则A（m，），C（m，0），B（ ，），D（0，）．
①S△ODB=×1=，S△OCA=×1=，
∴△ODB与△OCA的面积相等，①成立；
②PA=-=，PB=m-=，
令PA=PB，即=，
解得：m=2．
∴当m=2时，PA=PB，②不正确；
③S四边形PAOB=S矩形OCPD-S△ODB-S△OCA=4--=3．
∴四边形PAOB的面积大小不会发生变化，③正确；
④∵PA=-=，AC=-0=，
∵=3×，
∴PA=3AC，④正确．
综上可知：正确的结论有①③④．
故选C．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义以及利用分割图形法求图形面积，解题关键是找出各点坐标再结合反比例函数系数k的几何意义逐项分析各结论是否正确．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数图象上点的坐标特征表示出各点的坐标．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ．
【答案】且
【分析】本题考查一元二次方程根的情况求参数，解题的关键是：熟记一元二次方方程成立的条件．根据方程有两个不相等的实数根得到，且，求解即可，
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
解得且，
故答案为：且．
12．一个不透明的口袋中装有n个白球，妙妙为了估计白球的个数，向口袋中加入4个红球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则n的值为 ．
【答案】36
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，由题意知，袋中球的总个数约为（个），进而可得答案．
【详解】解：由题意知，袋中球的总个数约为（个），
所以袋中白球的个数，
故答案为：36．
13．如图，菱形的边长为5，对角线的长为8，，分别是边，的中点，连接并延长，与的延长线相交于点，则的长为 ．
【答案】6
【分析】连接对角线AC，交BD于点O，证四边形CAEG是平行四边形，得EG＝AC，利用勾股定理求出OC的长，AC＝2OC，即可求出EG．
【详解】解：连接AC，交BD于点O，如图：

∵菱形ABCD的边长为5，点E、F分别是边AD、DC的中点，
∴AD∥CB，AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF∥AC，
∵AC、BD是菱形的对角线，BD＝8，
∴AC⊥BD，BO＝DO＝4，OA＝OC，
又∵AE∥CG，AC∥EG，
∴四边形CAEG是平行四边形，
∴AC＝EG，
在△COD中，CO＝＝＝3，
∴AC＝2OC＝6，
∴EG＝AC＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，中位线的性质，平行四边形的判定与性质及勾股定理等知识；熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．
14．如图，在中，，，轴，双曲线经过点B，将绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D落在x轴正半轴上，的对应线段恰好经过点O．则k的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，待定系数法求反比例函数的解析式等，求得 是等边三角形是解题的关键．先求得是等边三角形，即可求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得的值．
【详解】解：∵轴,
，
，
，
，
，
是等边三角形，
如图，过点作轴于点，
，
∴，
∴，
∴，
，
∵双曲线 经过点，
，
故答案为：
15．如图，在菱形ABCD中，，，点E是AB的中点，点F为AD上一动点，将△AEF沿EF折叠，得到．若与菱形ABCD的对角线平行，则DF的长为 ．
【答案】或3
【详解】①若，如解图①，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分，∴，∵，∴，由折叠，∴，∴．∵点E是AB的中点，∴，过点E作，垂足为G，∴，，在中，，∴，∴，∴；
②若，如解图②，连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴，又∵，是等边三角形，∴．∵，∴．又∵，∴是等边三角形，点落在AD上，∴，∴，∴．综上所述，DF的长为或3．
三、解答题（本题共8小题，共75分。）
16．（1）计算：；
（2）运用乘法公式计算：．
（3）化简；
（4）先化简，再求值：，再从，，0，2中选择一个合适的数代入求值．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4），当时，原式
【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，乘法公式的灵活应用，分式的加减乘除混合运算，化简求值，掌握基础运算的运算法则是解本题的关键．
（1）先计算乘方，零次幂，化简绝对值，负整数指数幂，再合并即可；
（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式计算即可；
（3）先计算括号内的分式的加减运算，再计算除法运算即可；
（4）先计算括号内的分式的加减运算，再计算除法运算即可；得到化简的结果，再根据分式有意义的条件把代入计算即可．
【详解】解：（1）
．
（2）
．
（3）
；
（4）
，
当，，时，原式无意义，
把代入得：原式．
17．2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．
根据图表信息，解答下列问题：
(1)本次调查的学生总人数为 ，表中x的值为 ；
(2)该校共有500名学生，请你估计等级为B的学生人数；
(3)本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)50人，
(2)200人
(3)
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，用样本估计总体，条形统计图，用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键．
（1）用D等级人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用4除以总人数得到x的值；
（2）用500乘以B等级人数所占的百分比即可；
（3）列表法展示所有12种等可能的结果，找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）解：∵D组人数为 8 人，所占百分比为，
∴总人数为（人），
∴．
（2）解：等级为B的学生所占的百分比为，
∴等级为B的学生人数为（人）．
（3）解：记两名男生为a，b，记两名女生为c，d，列出表格如下：
∴一共有 12 种情况，其中恰有一男一女的有 8 种，
∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
18．为践行党的群众路线，六盘水市教育局开展了大量的教育教学实践活动，如图是其中一次“测量旗杆高度”的活动场景抽象出的平面几何图形．
活动中测得的数据如下：
①小明的身高DC=1.5m
②小明的影长CE=1.7cm
③小明的脚到旗杆底部的距离BC=9cm
④旗杆的影长BF=7.6m
⑤从D点看A点的仰角为30°
请选择你需要的数据，求出旗杆的高度．（计算结果保留到0.1，参考数据≈1.414.≈1.732）
【答案】旗杆高度是6.7m．
【详解】试题分析：分①②④和①③⑤两种情况，
在第一种情况下证明△ABF∽△DCE，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解；
在第二种情况下，过点D作DG⊥AB于点G，在直角△AGD中利用三角函数求得AG的长，则AB即可求解．
试题解析：情况一，选用①②④，
∵AB⊥FC，CD⊥FC，
∴∠ABF=∠DCE=90°，
又∵AF∥DE，
∴∠AFB=∠DEC，
∴△ABF∽△DCE，
∴，
又∵DC=1.5m，FB=7.6m，EC=1.7m，
∴AB=6.7m．
即旗杆高度是6.7m；
情况二，选①③⑤．
过点D作DG⊥AB于点G．
∵AB⊥FC，DC⊥FC，
∴四边形BCDG是矩形，
∴CD=BG=1.5m，DG=BC=9m，
在直角△AGD中，∠ADG=30°，
∴tan30°=，
∴AG=3，
又∵AB=AG+GB，
∴AB=3+1.5≈6.7m．
即旗杆高度是6.7m．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
19．重庆地铁18号线一共设站29座，总投资约102亿元其中，杨家坪与石坪桥区何标段隧道总长1000米，由于此标段经过商圈和高层密集区域，隧道挖掘难度大．为了协助九龙坡区争创“全国文明城区”，尽快完成标段的施工，施工单位加快了此标段隧道挖掘速度．
(1)若施工单位将挖掘速度提升到了原速度的倍，则比原计划提前50天完成隧道挖掘任务．求原计划每天挖掘继道多少米？
(2)2021年初工程队开始进行隧道挖掘工作，按照（1）中提速后的速度挖掘隧道，每天挖掘隧道的费用为40万元．隧道挖通后，施工单位进行其他项目的施工，到2021年底，其他项目施工总费用为2000万元．为了尽快完成所有工程，施工单位计划在2021年总投资额（即挖掘隧道总费用和其他项目总费用之和）基础上继续增加投资额，预计从2021年初到2023年底，三年累计共完成4.75亿元的投资额．设2022年和2023年这两年的总投资额年平均增长率为m，求m的值．
【答案】(1)4米
(2)
【分析】（1）设原计划每天挖x米，根据题意列方程求解即可；
（2）由题可得，提速后的速度为米，则要挖天，根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）解：设原计划每天挖x米，则
解得
经检验，是所列方程的解
答：原计划每天挖4米隧道．
（2）解：由题可得，提速后的速度为米，则要挖天
则挖隧道的总费用为亿元，
所以2021年总投资额为亿元，
则由题可得
解得或（舍）
答：的值为．
【点睛】此题考查了分式方程和一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出方程．
20．如图，矩形中，点E在上，，与相交于点O．与相交于点F．
(1)若平分，求证：；
(2)找出图中与相似的三角形，并说明理由;
(3)若，，求的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)，与相似，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义即可得出结论；
（2）根据判定两个三角形相似的判定定理，找到相应的角度相等即可得出；
（3）根据得出，根据得出，联立方程组求解即可．
【详解】（1）证明：如图所示：
四边形为矩形，
，
，
，
，
又平分，
，
，
又与互余，
与互余，
；
（2）解：，与相似．
理由如下：
，，
，
又，
，
，，
；
（3）解：，
，
，
，
在矩形中对角线相互平分，图中，
①，
，
，
，
在矩形中，
②，
由①②，得（负值舍去），
．
【点睛】本题考查矩形综合问题，涉及到矩形的性质、角平分线的性质、角度的互余关系、两个三角形相似的判定与性质等知识点，熟练掌握两个三角形相似的判定与性质是解决问题的关键．
21．如图，平行四边形OABC的边OA在x轴的正半轴上，，，CD平分∠OCB，CD交OA于点D，作DE⊥CD交AB于点E，反比例函数的图象经过点C与点E．
(1)求k的值及直线CD的解析式；
(2)求证：；
(3)求点E的坐标．
【答案】(1)，直线的解析式是；
(2)证明见解析；
(3)的坐标是）．
【分析】（1）由已知可得根据含30°直角三角形性质容易求出点C、点D坐标，再由待定系数法求出函数解析式；
（2）求出，即可得出结论；
（3）设，可得点，根据其在反比例函数解析式上求出点坐标．
【详解】（1）如图1，过C点作CH垂直x轴，
∵，，
∴，
∴，，
∴点，
∴反比例函数的系数，
∵在平行四边形OABC，，
∴，
又∵CD平分∠OCB，
∴，
∴是等边三角形，
∴，即点D，
∵点C，点D，
∴直线的解析式是
（2）证明：∵是等边三角形，
∴，
又∵DE⊥CD，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）过E点作EQ垂直x轴，设，
∵，
∴，，
∴点
点在反比例函数的图象上，
∴
∴或（舍去），则点的坐标是）
【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点及用待定系数法求反比例函数的解析式，根据题意作出辅助线，构造出含30°直角三角形求出C、D标是解答此题的关键．
22．【阅读理解】定义：在同一平面内，有不在同一直线上的三点A、B、C，连接，设， ，则我们把称为点A到点C关于点B的“度比坐标”，把称为点C到点A关于点B的“度比坐标”．
【迁移运用】如图，在y轴的右侧，直角绕原点O按顺时针方向旋转，的两边分别与函数，的图象交于A，B两点．
(1)如图1，若点A到点B关于点O的“度比坐标”为，求双曲线的解析式；
(2)如图2，若点A到点B关于点O的“度比坐标”为，连接交x轴于点C，点C到点A关于点O的“度比坐标”为，；
①点D在第一象限，点D到点A关于点O的“度比坐标”为，连接，求m的值及四边形的面积；
②将直线向右平移，分别交于点E，交于点F，问：是否存在某一位置使？若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①，②
【分析】（1）过点A、点B作y轴的垂线，垂足分别为M、N，证明两个三角形相似，利用相似三角形的性质求出的面积，进而求出比例系数即可；
（2）按照（1）的方法求出反比例函数解析式，再求出点C和点A坐标，①根据点D到点A关于点O的“度比坐标”求出点D坐标即可；②根据表示出平移后与反比例函数交点坐标，代入反比例函数解析式即可．
【详解】（1）解：过点A、点B作y轴的垂线，垂足分别为M、N，
∴，
∵点A到点B关于点O的“度比坐标”为，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点A在图象上，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴反比例函数解析式为．
（2）解：∵点A到点B关于点O的“度比坐标”为，
∴，，
过点A、点B作y轴的垂线，垂足分别为H、G，
类似（1）的方法可知，且相似比是1，
∴，，
∴反比例函数解析式为，
∵点C到点A关于点O的“度比坐标”为，
∴，
∴，
∵，
∴，，
则点A坐标为，点B坐标为，
由点A坐标和点B坐标求得直线的解析式为，
当时，，
，

点D在第一象限，点D到点A关于点O的“度比坐标”为，
∴，，
∴，，
过点D作的垂线，垂足为L，
∴，
∵，
∴，，
四边形的面积为，
②存在某一位置使；
过点E、点F作x轴的垂线，垂足分别为Q、R，
因为直线向右平移，分别交于点E，交于点F，
所以，
设，则，，，，，
，，
，
∴，
解得，，（舍去），
，
所以点E坐标为．
【点睛】本题考查了反比例函数和新定义，解题关键是准确理解“度比坐标”，熟练运用反比例函数的性质和相似三角形的性质求解．
23．点C在的延长线上，且，

(1)如图（1），若，求证：；
【思考探究】
(2)如图（2），若，，若，求的值；
【拓展延伸】
(3)如图（3），连接，若，，若，求n的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)2
【分析】（1）根据三角形外角的性质可得，从而证明结论；
（2）过点E作交AC于点F，由（1）得，则，设则，，，，即可得出答案；
（3），延长至点F，使得，连接，同理得，得，证明，说明，进而解决问题．
【详解】（1）∵，，
∴，
在和中，，
∴．
（2）如图，过点E作，交于点F，

∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）可得：，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
故答案为：．
（3）如图，延长至点F，使得，连接，

则，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，构造一线三等角基本模型是解题的关键．
等级
实践t（单位：分钟）
人数
所占百分比
A
4
x
B
20
C
D
a
b
c
d
a
b
c
d