黑龙江省齐齐哈尔市部分学校2025届九年级上学期12月月考数学试卷(含答案)

这是一份黑龙江省齐齐哈尔市部分学校2025届九年级上学期12月月考数学试卷(含答案)，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录,如图四幅作品分别代表“立春”,“立夏”“芒种”“大雪”,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.B.C.D.
2．若函数是反比例函数,且当时,y随x的增大而增大,则m的值为( )
A.B.C.2D.
3．若关于x的方程有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )
A.且B.且
C.D.
4．某数学兴趣小组,准备初步了解四部古代数学著作.现制作背面完全相同的4张卡片,正面分别写有《九章算术》《周髀算经》《五经算术》《数术记遗》,将4张卡片混合后正面朝下放置在桌面上,任意抽取2张卡片,抽到的恰好是《九章算术》和《五经算术》的概率是( )
A.B.C.D.
5．如图,是由绕点O顺时针旋转后得到的图形,若点D恰好落在上,且,则的度数是( )
A.B.C.D.
6．如图,如果,那么添加下列一个条件后,仍不能确定的是( )
A.B.C.D.
7．如图,为半圆O的直径,点C为半圆O上一点,且,以点A为圆心,以适当的长为半径画弧分别交于点M,交直径于点N,分别以点M、N为圆心,大的长为半径作弧,两弧相交于点P,作射线交半圆O于点D.过点O作交半圆O于点Q,连接,则的长为( )
A.B.4C.2D.
8．如图,在平面直角坐标系中,矩形的顶点A,D分别在x轴、y轴上,对角线轴,反比例函数,的图象经过矩形对角线的交点E.若点,,则k的值为( )
A.15B.12C.9D.6
9．如图,中,,,,动点P从A点出发,沿折线以每秒5个单位长度的速度运动(运动到B点停止),过点P作于点D,则的面积y与点P运动的时间x之间的函数图象大致是( )
A.B.
C.D.
10．如图,抛物线(a,b,c是常数,)的顶点在第四象限,对称轴是直线,过一、二、四象限的直线(k是常数)与抛物线交于x轴上一点,则下列结论正确的有( )个.
①,②方程的根是,,③(m为任意实数),④当抛物线与直线的另一个交点也在坐标轴上时,则,⑤m为任意实数,则有.
A.2B.3C.4D.5
二、填空题
11．如图,已知,,,,那么______cm.
12．已知m,n是方程的两个根,则代数式的值等于______.
13．如图,的顶点A在反比例函数的图象上,点B在y轴上,点C,点D在x轴上,与y轴交于点E,若,则k的值为______.
14．一个圆锥的底面半径为3cm,将其侧面展开得到扇形圆心角为216°,则此圆锥的高为______.
15．在直径为8的中,弦,,则弦的长为______.
16．如图,已知正方形的边长为2,以点A为圆心,1为半径作圆,E是上的任意一点,将点E绕点D按逆时针方向旋转得到点F,则线段的长的最大值为______.
17．如图,点,,,在反比例函数的图象上,点,,,,在轴上,且,直线与双曲线交于点,,,则的坐标是______.
三、解答题
18．解方程：
(1)；
(2).
19．如图,在平面直角坐标系中,的三个顶点坐标分别为,,(每个方格的边长均为1个单位长度).
(1)画出关于原点O对称的；
(2)画出将绕原点O逆时针方向旋转得到的；
(3)求出点B旋转到点所经过的路径长.
20．小张同学学完统计知识后,随机调查了她所在辖区若干名居民的年龄,将调查数据绘制成如下扇形统计图和条形统计图：
请根据以上不完整的统计图提供的信息,解答下列问题：
(1)小张同学共调查了______名居民的年龄,扇形统计图中,岁对应扇形的圆心角为______°；
(2)补全条形统计图；
(3)若在该辖区中随机抽取一人,那么这个人年龄是60岁及以上的概率为______；
(4)若该辖区年龄在60岁及以上的居民约有3600人,根据调查结果估计该辖区居民人数共有多少人？
21．某文具店购进一批纪念册,每本进价为20元,出于营销考虑,要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元,在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x(元)之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时,销售量为36本；当销售单价为24元时,销售量为32本.
(1)求出y与x的函数关系式；
(2)当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时,每本纪念册的销售单价是多少元？
(3)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元,将该纪念册销售单价定为多少元时,才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
22．如图,为的直径,点C在上,的平分线交于点D,过点D作,交的延长线于点E.
(1)求证：是的切线；
(2)若,,求的长.
23．综合与实践
【问题情境】在综合实践课上,老师组织同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动.下面是同学们进行相关问题的研究.如图①,已知是等腰直角三角形,,点D是的中点,作正方形,使点A,C分别在和上,连接,.
猜想和的关系为______.
【实践探究】将图①中正方形绕点D逆时针方向旋转一定角度(旋转角度大于,小于或等于),在旋转的过程中,图①中和的关系______(填无变化或有变化),若无变化,利用图②写出证明过程；若有变化,说明理由.
【问题解决】若,正方形绕点D逆时针方向旋转的过程中,
①当为最大值时,则的值是______；
②设直线、的交点为P,则的最小值是______.
24．综合与探究
如图,抛物线与x轴交于点、点B,与y轴交于点C,直线与抛物线交于点B、点C,直线与抛物线交于点,与y轴交于点E,与直线交于点F.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如果,那么______、______；
(3)在(2)的条件下,点M是抛物线对称轴上一动点,点N是抛物线上一动点,若,则点N的坐标为______；
(4)点P是坐标轴上一点,点Q是平面内任意一点,当以点A、C、P、Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形时,点Q坐标为______；
(5)点H在y轴上,则的最小值是______.
参考答案
1．答案：D
解析：A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形,也是中心对称图形,故本选项符合题意,
故选：D.
2．答案：D
解析：反比例函数,且当时,y随x的增大而增大,
反比例函数的图象在第二、四象限,
,
由可得：,
由可得：,
可得：.
故选：D.
3．答案：A
解析：关于x的方程有两个不相等的实数根,
且,
解得：且,
故选：A.
4．答案：C
解析：设正面分别写有《九章算术》,《周髀算经》,《五经算术》,《数术记遗》的卡片分别用A、B、C、D表示,
画树状图,
一共有12种等可能情况,两张卡片是《九章算术》和《五经算术》有2种,
∴抽取的两张卡片是《九章算术》和《五经算术》的概率是.
故选：C.
5．答案：B
解析：∵是由绕点O顺时针旋转后得到的图形,
∴,
∵,
∴,
∵
∴
∴,
∴.
故选：B.
6．答案：B
解析：∵,
∴,即,
A、添加后,能确定；
B、添加后,仍不能确定；
C、添加后,能确定；
D、添加后,能确定.
故选：B.
7．答案：B
解析：连接,
∵,,
∴是等边三角形,
∴.
由作图得：平分,
∴.
∵,
∴,
∴.
∵,
∴.
故选：B.
8．答案：A
解析：轴,,
、D两点纵坐标相同,都为3,
可设.
矩形的对角线的交点为E,
为中点,.
.
,
,
,,,
,
解得,
.
反比例函数的图象经过点E,
.
故选：A.
9．答案：C
解析：当点P在上运动,即时,由题意得,
∵中,,,,
∴,
∴,,
∴,是二次函数.
当点P在上运动,即时,由题意得,
∴,,
∴,
∴,是二次函数.
∴符合题意的函数图象只有C,
故选：C.
10．答案：B
解析：直线(k是常数)的图象过一、二、四象限,
∴,
∵抛物线的开口向上,
∴,
∵抛物线与y轴的正半轴相交,
∴,
又抛物线的对称轴为,
∴,
∴,故①正确；
,
令得,
∴直线与x轴交点为,
∴抛物线与也交于,
∵抛物线的对称轴为,
∴抛物线与x轴的另一个交点为,
∴方程的两根为,,故②正确；
∴,,
∴,,
根据题意知,当时,直线与抛物线的y值相等,
∴,
∴,
由②得,
∴,故④正确；
当时,抛物线取得最小值,最小值为：
当时,代入得,
两边同时加上a得,
∴,
∵,,
∴
∴,故⑤不正确,
当时,,
当时,,
∵,
则与在抛物线上关于对称轴直线对称,
∴,
即,故③不正确,
∴正确的结论有3个,
故选：B.
11．答案：
解析：∵,
∴,
∵,,,
∴.
故答案为：.
12．答案：2025
解析：∵m,n是方程的两个根,
∴,,
∴,
∴
.
故答案为：2025.
13．答案：10
解析：如图,过点A作轴于F,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵反比例函数图象在第一象限,
∴,
故答案为：10.
14．答案：4cm
解析：设扇形的半径长为xcm,由题意得
解得,
∴此圆锥的高为
故答案为：4cm.
15．答案：8
解析：如图,作,,
∵的直径为8,
∴,
又∵,
∴为等边三角形,则,
∴,,,
∵,,
∴,则,
∴,,
∴,
∴,则,
∴为的直径,
即：,
故答案为：8.
16．答案：3
解析：如图,连接,,.
由旋转可知,,,
∵四边形是正方形,
∴,,
∴,
∴,
∴,
∴,
正方形的边长为2,即,
∴,当F在的延长线上时取等号,
∴的最大值是3；
故答案为：3.
17．答案：
解析：联立,解得,
∴,,
由题意可知,
∵,
∴为等腰直角三角形,
∴,
过作交y轴于H,则为等腰直角三角形,同理得到,
设,则,
∴,
解得,(舍),
∴,,
∴,
用同样方法可得到,
因此可得到,即
∴,即：.
故答案为：.
18．答案：(1),
(2),
解析：(1)∵,则,
∴,则,
∴,即：,
∴,；
(2),则,
∴,
∴或,
∴,.
19．答案：(1)图见解析
(2)图见解析
(3)点B旋转到点所经过的路径长为
解析：(1)如图,为所作；
(2)如图,为所作；
(3),
点B旋转到点所经过的路径长.
20．答案：(1)500,72
(2)见解析
(3)
(4)该辖区居民人数共有30000人
解析：(1)由条形统计图和扇形统计图可知：岁的有230人,占总人数的,
∴,
∵岁有100人,
∴,
则岁对应扇形的圆心角为；
故答案为：500,72；
(2),
补全条形统计图如下：
(3)在该辖区中随机抽取一人,那么这个人年龄是60岁及以上的概率为；
故答案为：；
(4)(人).
答：该辖区居民人数共有30000人.
21．答案：(1)
(2)25元
(3)该纪念册销售单价定为28元时,能使文具店销售该纪念册所获利润最大,最大利润是192元
解析：(1)设y与x的函数关系式为.
把与代入,得
解得,
∴.
(2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时,每本纪念册的销售单价是x元,
根据题意,得：,即.
解得,(舍去).
答：每本纪念册的销售单价是25元.
(3)由题意,可得.
∵售价不低于20元且不高于28元,当时,y随x的增大而增大,
∴当时,(元).
答：该纪念册销售单价定为28元时,能使文具店销售该纪念册所获利润最大,最大利润是192元.
22．答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：连接,
∵为的直径,
∴,
∵是的平分线,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴是的切线；
(2)如图,过点B作于点F,
,
,
,
.
在中,,
根据勾股定理可知,得,
∵为的直径,
∴,
又∵,
∴,
,
在中,根据勾股定理,得
.
23．答案：问题情境：,
实践探究：图①中的结论仍然成立,,.理由见解析
问题解决：①；②
解析：问题情境：结论：,.
理由：如图1,延长交于K.
是等腰直角三角形,,点D是的中点,
,,
.
四边形是正方形,
.
在和中,
,
,
,,
,
,
.
实践探究：图①中的结论仍然成立,,.理由如下：
如图②,连接,延长交于K,交于O.
在中,D为斜边中点,
,,
.
四边形为正方形,
,且,
,
.
在和中,
,
,
,,
,
,
.
问题解决：①如图③,当旋转角为时,,此时的值最大.
,
.
.
在中,由勾股定理,得
,
故答案为：；
②如图④中,前面已证,即,
∴点P在以为直径的上,当点P在线段上时,有最小值,
∵,是等腰直角三角形,,
∴,
∴,
在中,,
∴的最小值为.
故答案为：.
24．答案：(1)
(2),
(3)或
(4)或
(5)
解析：(1)∵直线与x轴、y轴交于点B、点C,
当时,,当时,,则,
∴,,
∵抛物线与轴交于点、点,与y轴交于点,
∴,解得：,
∴抛物线的解析式为；
(2)过点F作轴,则,设,
∵,,
∴,即,解得,
∴,
将,,代入直线,得,
解得：,
故答案为：,；
(3)由(2)可知,直线的解析式为,
令,则,
∴,则,
∵,
∴抛物线的对称轴为,
∴,
∵,即,
∴,
∴或,
当时,；
当时,；
∴点N的坐标为或,
故答案为：或；
(4)存在,理由如下：
∵,,
∴,
当为菱形对角线时,则,
当点P在轴上,
设,,
∵,
∴,
解得：,即,则,
如图,在菱形中,,,
∴；
当点P在x轴上,同理可得；
综上,点Q的坐标为或；
故答案为：或；
(5)连接,过点H作,过点B作,则,
∵,
∴,
又∵,
∴,
∴,则,
∴,当H在上时取等号,
∴的最小值为,
故答案为：.