中考数学第二轮复习专题练习压轴题重难点01 数式、图形与函数的规律探索问题（解析版）

这是一份中考数学第二轮复习专题练习压轴题重难点01 数式、图形与函数的规律探索问题（解析版），共60页。试卷主要包含了数式规律，图形规律等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc160706650" 类型一 数式规律
\l "_Tc160706651" 题型01 记数类规律
\l "_Tc160706652" 题型02 系数规律
\l "_Tc160706653" 题型03 等式类规律
\l "_Tc160706654" 题型04 数阵类规律
\l "_Tc160706655" 题型05 末尾数字规律
\l "_Tc160706656" 题型06 杨辉三角
\l "_Tc160706657" 题型07 与实数运算有关的规律题
\l "_Tc160706658" 类型二 图形规律
\l "_Tc160706659" 题型01 图形固定累加型
\l "_Tc160706660" 题型02 图形渐变累加型
\l "_Tc160706661" 题型03 图形个数分区域累加型
\l "_Tc160706662" 题型04 图形循环规律
\l "_Tc160706663" 题型05 与几何图形有关的规律探索
\l "_Tc160706664" 类型三 函数规律
\l "_Tc160706665" 题型01 函数图象规律
\l "_Tc160706666" 题型02 函数上点的规律
\l "_Tc160706667" 题型03 函数图象与几何图形的规律
\l "_Tc160706668" 类型四 新定义类规律
类型一 数式规律
关于数式规律性问题的一般解题思路：
(1)先对给出的特殊数式进行观察、比较;
(2)根据观察猜想、归纳出一般规律;
(3)用得到的规律去解决其他问题
1.数字猜想型:数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题。
2.数式规律型:数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论,以列代数式即函数关系式为主要内容.
题型01 记数类规律
1．（2023·浙江衢州·校考一模）观察下列数据：0，3，8，15，24，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第201个数据是（ ）
A．40400B．40040C．4040D．404
【答案】A
【分析】观察不难发现，各数据都等于完全平方数减1，然后列式计算即可得解．
【详解】∵0=12-1，
3=22-1，
8=32-1，
15=42-1，
24=52-1，
…，
∴第201个数据是：2012-1=40400，
故选：A．
【点睛】此题考查了数字变化规律，观察出各数据都等于完全平方数减1是解题的关键．
2．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）按一定规律排列的数据依次为12，45，710，1017……按此规律排列，则第30个数是 ．
【答案】88901
【分析】由所给的数，发现规律为第n个数是3n-2n2+1，当n＝30时即可求解．
【详解】解：∵12，45，710，1017…，
∴第n个数是3n-2n2+1，
当n＝30时，3n-2n2+1=3×30-2302+1=88901，
故答案为：88901．
【点睛】本题考查数字的变化规律，能够通过所给的数，探索出数的一般规律是解题的关键．
3．（2020·西藏·统考中考真题）观察下列两行数：
1，3，5，7，9，11，13，15，17，…
1，4，7，10，13，16，19，22，25，…
探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，若第n个相同的数是103，则n等于（ ）
A．18B．19C．20D．21
【答案】A
【分析】根据探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，第n个相同的数是6(n-1)+1=6n-5，进而可得n的值．
【详解】解：第1个相同的数是1=0×6+1，
第2个相同的数是7=1×6+1，
第3个相同的数是13=2×6+1，
第4个相同的数是19=3×6+1，
…，
第n个相同的数是6(n-1)+1=6n-5，
所以6n-5=103，
解得n=18．
答：第n个相同的数是103，则n等于18．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了数字变化规律，确定出相同数的差值，从而得出相同数的通式是解题的关键．
4．（2022·湖南怀化·统考模拟预测）正偶数2，4，6，8，10，……，按如下规律排列，
2
4 6
8 10 12
14 16 18 20
……
则第27行的第21个数是 ．
【答案】744
【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数••••••••第n行有n个数，则前n行共有n(n+1)2个数，再根据偶数的特征确定第几行第几个数是几．
【详解】解：由图可知，
第一行有1个数，
第二行有2个数，
第三行有3个数，
•••••••
第n行有n个数．
∴前n行共有1+2+3+⋯+n=n(n+1)2个数．
∴前26行共有351个数，
∴第27行第21个数是所有数中的第372个数．
∵这些数都是正偶数，
∴第372个数为372×2=744．
故答案为：744．
【点睛】本题考查了数字类的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的已知条件找出其中的规律，再结合其他已知条件求解．
题型02 系数规律
5．（2023·四川成都·校考一模）探索规律：观察下面的一列单项式：x、-2x2、4x3、-8x4、16x5、…，根据其中的规律得出的第9个单项式是（ ）
A．-256x9B．256x9C．-512x9D．512x9
【答案】B
【分析】根据已知的式子可以得到系数是以-2为底的幂，指数是式子的序号减1，x的指数是式子的序号．
【详解】解：第9个单项式是-29-1x9=256x9．
故选：B．
【点睛】本题考查了单项式规律题，正确理解式子的符号、次数与式子的序号之间的关系是关键．
6．（2020·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：a，-2a，4a，-8a，16a，-32a，…，第n个单项式是（ ）
A．-2n-1aB．-2naC．2n-1aD．2na
【答案】A
【分析】先分析前面所给出的单项式，从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，发现规律进行概括即可得到答案．
【详解】解：∵ a，-2a，4a，-8a，16a，-32a，…，
可记为：-20a,-21a,-22a,-23a,-24a,-25a,•••,
∴ 第n项为：-2n-1a.
故选A．
【点睛】本题考查了单项式的知识，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键．
7．（2023·云南昆明·昆明八中校考三模）按一定规律排列的单项式：-x，3x2，-5x3，7x4，-9x5，…，第n个单项式是（ ）
A．2n-1(-x)nB．2n+1(-x)nC．2n+1xnD．2n-1xn
【答案】A
【分析】根据题目中的单项式，可以发现系数的绝对值是一些连续的奇数且第奇数个单项式的系数为负数，x的指数是一些连续的正整数，从而可以写出第n个单项式．
【详解】解：A、当n=1时，第一个单项式为：-x符合题意；
B、当n=1时，第一个单项式为：-3x，不符合题意，排除；
C、当n=1时，第一个单项式为：3x，不符合题意，排除；
D、当n=1时，第一个单项式为：x，不符合题意，排除；
故选：A．
【点睛】此题考查了数字的变化规律，单项式的系数和指数，解此题的关键是明确题意，发现单项式系数和字母指数的变化特点及规律．
题型03 等式类规律
8．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）观察下面的等式：32-12=8×1,52-32=8×2,72-52=8×3,92-72=8×4,⋯
(1)写出192-172的结果．
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【答案】(1)8×9
(2)(2n+1)2-(2n-1)2=8n
(3)见解析
【分析】（1）根据题干的规律求解即可；
（2）根据题干的规律求解即可；
（3）将(2n+1)2-(2n-1)2因式分解，展开化简求解即可．
【详解】（1）192-172=8×9；
（2）(2n+1)2-(2n-1)2=8n；
（3）(2n+1)2-(2n-1)2
=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)
=4n×2
=8n．
【点睛】此题考查数字的变化规律，因式分解，整式乘法的混合运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中的变化规律．
9．（2022·安徽·统考中考真题）观察以下等式：
第1个等式：2×1+12=2×2+12-2×22，
第2个等式：2×2+12=3×4+12-3×42，
第3个等式：2×3+12=4×6+12-4×62，
第4个等式：2×4+12=5×8+12-5×82，
……
按照以上规律．解决下列问题：
(1)写出第5个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【答案】(1)2×5+12=6×10+12-6×102
(2)2n+12=(n+1)⋅2n+12-(n+1)⋅2n2，证明见解析
【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；
（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n个等式为2n+12=(n+1)⋅2n+12-(n+1)⋅2n2，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．
【详解】（1）解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：2×5+12=6×10+12-6×102，
故答案为：2×5+12=6×10+12-6×102；
（2）解：第n个等式为2n+12=(n+1)⋅2n+12-(n+1)⋅2n2，
证明如下：
等式左边：2n+12=4n2+4n+1，
等式右边：(n+1)⋅2n+12-(n+1)⋅2n2
=(n+1)⋅2n+1+(n+1)⋅2n⋅(n+1)⋅2n+1-(n+1)⋅2n
=(n+1)⋅4n+1×1
=4n2+4n+1，
故等式2n+12=(n+1)⋅2n+12-(n+1)⋅2n2成立．
【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
10．（2022·安徽淮南·统考二模）（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果：
①13=1；②13+23=3；③13+23+33=6；④13+23+33+43=__________；…
（2）深入探究，观察下列等式：
①1+2=(1+2)×22；②1+2+3=(1+3)×32；③1+2+3+4=(1+4)×42；…
根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容：
1+2+3+⋯+n+(n+1)=__________．
（3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算：
①13+23+33+…+993+1003；
②113+123+133+…+193+203．
【答案】（1）10；（2）(n+2)(n+1)2；（3）①5050；②41075
【分析】(1)观察可得，每个式子的结果都等于被开放数中所有加数的底数之和；
(2)所有自然数相加的和等于首项＋尾项的和再乘以自然数的个数，最后除以2即可；
(3)利用（1）（2）中的规律综合运用即可求解．
【详解】解：（1）10；
（2）(n+2)(n+1)2；
（3）①原式=1+2+3+4+5+⋯+99+100
=(1+100)×1002 =5050；
②原式=13+23+33+⋯+183+193+203-13+23+33+⋯+103
=202×2124-102×1124 =400×4414-100×1214 =44100-3025 =41075．
【点睛】主要考查了二次根式的基本性质与化简、探寻数列规律、整式的加减，掌握这三个知识点的应用，其中探求规律是解题关键
题型04 数阵类规律
11．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数202023若排在第a行b列，则a-b的值为( )
11
12 21
13 22 31
14 23 32 41
……
A．2003B．2004C．2022D．2023
【答案】C
【分析】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致．
【详解】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，故202023在第20列，即b=20；向前递推到第1列时，分数为20-192023+19=12042，故分数202023与分数12042在同一行．即在第2042行，则a=2042．
∴a-b=2042-20=2022.
故选：C．
【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点，解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．
12．（2018·湖北十堰·中考真题）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（ ）
123256722310⋯⋯⋯
A．210B．41C．52D．51
【答案】B
【分析】由图形可知，第n行最后一个数为1+2+3+⋯n=nn+12，据此可得答案．
【详解】由图形可知，第n行最后一个数为1+2+3+⋯n=nn+12，
∴第8行最后一个数为8×92=36=6，
∴第9行从左至右第5个数是36+5=41，
故选B．
【点睛】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是根据题意得出第n行最后一个数为nn+12．
13．（2023·安徽合肥·统考一模）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
请根据上述规律解答下面的问题：
(1)第6行有______个数；第n行有______个数（用含n的式子表示）；
(2)若有序数对n，m表示第n行，从左到右第m个数，如3，2表示6．
①求11，20表示的数；②求表示2023的有序数对．
【答案】(1)11；2n-1；
(2)①120；②(45,87)
【分析】（1）观察前5行发现：后一行数字的个数比前一行多2个，以此规律解答即可；
（2）①先求第11行最后一个数，然后判断11，20为第11行倒数第二个数即可解答；
②先根据442