中考数学第一轮复习讲义第三章 函数（测试）（解析版）

这是一份中考数学第一轮复习讲义第三章 函数（测试）（解析版），共29页。
1．如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB=6，OA=OB=5，则点A的坐标是（ ）
A．(5,4)B．(3,4)C．(5,3)D．(4,3)
【答案】D
【分析】利用HL证明△ACO≌△BCO，利用勾股定理得到OC=4，即可求解．
【详解】解：∵AB⊥x轴，
∴∠ACO=∠BCO=90°，
∵OA=OB，OC=OC，
∴△ACO≌△BCO(HL)，
∴AC=BC=12AB=3，
∵OA=5，
∴OC=52-32=4，
∴点A的坐标是（4，3），
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【新考法】 从图象中获取信息
2．甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s（千米）与所用的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是（ ）
A．前10分钟，甲比乙的速度慢B．经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米
C．甲的平均速度为0.08千米/分钟D．经过30分钟，甲比乙走过的路程少
【答案】D
【分析】结合函数关系图逐项判断即可．
【详解】A项，前10分钟，甲走了0.8千米，乙走了1.2千米，则甲比乙的速度慢，故A项正确，故不符合题意；
B项，前20分钟，根据函数关系图可知，甲、乙都走了1.6千米，故B正确，故不符合题意；
C项，甲40分钟走了3.2千米，则其平均速度为：3.2÷40=0.08千米/分钟，故C项正确，故不符合题意；
D项，经过30分钟，甲走了2.4千米，乙走了2.0千米，则甲比乙多走了0.4千米，故D项错误，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的图像及其在行程问题中的应用，理解函数关系图是解答本题的关键．
3．在函数y＝x+3x中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥3B．x≥﹣3C．x≥3且x≠0D．x≥﹣3且x≠0
【答案】D
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式组，解不等式组即可得到答案．
【详解】解：由题意得：x+3≥0且x≠0，
解得：x≥﹣3且x≠0，
故选：D．
【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
4．如图，四边形ABCD是边长为2cm的正方形，点E，点F分别为边AD，CD中点，点O为正方形的中心，连接OE,OF，点P从点E出发沿E-O-F运动，同时点Q从点B出发沿BC运动，两点运动速度均为1cm/s，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为ts，连接BP,PQ，△BPQ的面积为Scm2，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分0≤t≤1和1＜t≤2两种情形，确定解析式，判断即可．
【详解】当0≤t≤1时，∵正方形ABCD 的边长为2，点O为正方形的中心，
∴直线EO垂直BC，
∴点P到直线BC的距离为2-t，BQ=t，
∴S=12(2-t)·t=-12t2+t；
当1＜t≤2时，∵正方形ABCD 的边长为2，点F分别为边AD，CD中点，点O为正方形的中心，
∴直线OF∥BC，
∴点P到直线BC的距离为1，BQ=t，
∴S=12t；
故选D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的解析式，一次函数解析式，正确确定面积，从而确定解析式是解题的关键．
5．【创新题】直线y=x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1=0实数解的个数是（ ）.
A．0个B．1个C．2个D．1个或2个
【答案】D
【分析】根据直线y=x+a不经过第二象限，得到a≤0，再分两种情况判断方程的解的情况.
【详解】∵直线y=x+a不经过第二象限，
∴a≤0，
∵方程ax2+2x+1=0，
当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解，
当a0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：D.
【点睛】此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易错点是a的取值范围，再分类讨论.
6．在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b与y=mx+n(a0, 而当a>0,b>0时，则a+b≥2ab,
∴2m2+8m2≥22m2×8m2=8,
∴2m2+8m2的最小值是8，
∴OB的最小值是8=22.
故选：C．
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的性质，完全平方公式的变形应用，勾股定理的应用，掌握“a2+b2≥2ab的变形公式”是解本题的关键．
9．二次函数y=ax2+bx+1的图象与一次函数y=2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先分析二次函数y=ax2+bx+1的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数y=2ax+b的图像恒过定点(-b2a,0)，即可得出正确选项．
【详解】二次函数y=ax2+bx+1的对称轴为x=-b2a，一次函数y=2ax+b的图像恒过定点(-b2a,0)，所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为(-b2a,0)，只有A选项符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，解决本题的关键是能推出一次函数y=2ax+b的图像恒过定点(-b2a,0)，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
10．已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，03．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
14．若点A(1,y1),B(-2,y2),C(-3,y3)都在反比例函数y=6x的图象上，则y1,y2,y3的大小关系为 ．
【答案】y2＜y3＜ y1
【分析】将点A（1，y1），B（-2，y2），C（-3，y3）分别代入反比例函数y=6x，并求得y1、y2、y3的值，然后再来比较它们的大小．
【详解】根据题意，得
当x=1时，y1=61=6，
当x=-2时，y2=6-2=-3，
当x=-3时，y3=6-3=-2；
∵-3＜-2＜6，
∴y2＜y3＜ y1；
故答案是y2＜y3＜ y1．
【点睛】本题考查了反比例函数图象与性质，此题比较简单，解答此题的关键是熟知反比例函数的性质及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，属较简单题目．
15．已知一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），则方程组{3x-y=1kx-y=0的解是 ．
【答案】{x=1y=2
【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．
【详解】解：∵一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），
∴联立y=3x-1与y=kx的方程组y=3x-1y=kx的解为：x=1y=2，
即3x-y=1kx-y=0的解为：x=1y=2，
故答案为：x=1y=2．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的关系是解题的关键．
【新考法】 二次函数与几何综合
16．在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数y=(x-2)20≤x≤3的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC．若二次函数y=14x2+bx+c0≤x≤3图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，则b= ．

【答案】712或-2512
【分析】根据题意求得点A3,0，B3,4，C0,4，根据题意分两种情况，待定系数法求解析式即可求解．
【详解】由y=(x-2)20≤x≤3，当x=0时，y=4，
∴C0,4，
∵A3,0，四边形ABCO是矩形，
∴B3,4，
①当抛物线经过O，B时，将点0,0，B3,4代入y=14x2+bx+c0≤x≤3，
∴c=014×9+3b+c=4
解得：b=712
②当抛物线经过点A,C时，将点A3,0,C0,4代入y=14x2+bx+c0≤x≤3，
∴c=414×9+3b+c=0
解得：b=-2512
综上所述，b=712或b=-2512，
故答案为：712或-2512．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键．
三．解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23题9分，24题10分，25题13分）
17．某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2） 与其深度d（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求储存室的容积V的值；
(2)受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16≤d≤25，求储存室的底面积S的取值范围．
【答案】(1)V=10000米3
(2)当16≤d≤25时，400≤S≤625
【分析】（1）利用体积等于等面积乘以深度即可得到答案；
（2）先求解反比例函数的解析式为S=10000d，再利用反比例函数的性质可得答案．
【详解】（1）解：由图知：当深度d=20米时，底面积S=500米2，
∴V=Sd=500米2×20米=10000米3；
（2）由（1）得：
Sd=10000，
则S=10000d（d>0），S随着d的增大而减小，
当d=16时，S=625； 当d=25时，S=400；
∴当16≤d≤25时，400≤S≤625．
【点睛】本题考查的是反比例函数的应用，反比例函数的性质，熟练的利用反比例函数的性质求解函数值的范围是解本题的关键．
18．如图，一次函数y=kx+2(k≠0)的图像与反比例函数y=mx(m≠0,x>0)的图像交于点A(2,n)，与y轴交于点B，与x轴交于点C(-4,0)．
(1)求k与m的值；
(2)P(a,0)为x轴上的一动点，当△APB的面积为72时，求a的值．
【答案】(1)k的值为12，m的值为6
(2)a=3或a=-11
【分析】（1）把C(-4,0)代入y=kx+2，先求解k的值，再求解A的坐标，再代入反比例函数的解析式可得答案；
（2）先求解B(0,2)．由P(a,0)为x轴上的一动点，可得PC=|a+4|．由S△CAP=S△ABP+S△CBP，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：把C(-4,0)代入y=kx+2，
得k=12．
∴y=12x+2．
把A(2,n)代入y=12x+2，
得n=3．
∴A(2,3)．
把A(2,3)代入y=mx，
得m=6．
∴k的值为12，m的值为6．
（2）当x=0时，y=2．
∴B(0,2)．
∵P(a,0)为x轴上的一动点，
∴PC=|a+4|．
∴S△CBP=12PC⋅OB=12×|a+4|×2=|a+4|，
S△CAP=12PC⋅yA=12×|a+4|×3=32|a+4|．
∵S△CAP=S△ABP+S△CBP，
∴32|a+4|=72+|a+4|．
∴a=3或a=-11．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数与一次函数的解析式，坐标与图形面积，利用数形结合的思想，建立方程都是解本题的关键．
19．已知一次函数y=kx+bk≠0的图象与反比例函数y=4x的图象相交于点A1,m，Bn,-2．
(1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
(2)根据函数图象，直接写出不等式kx+b>4x的解集；
(3)若点C是点B关于y轴的对称点，连接AC，BC，求△ABC的面积．
【答案】(1)y=2x+2，图见解析
(2)-20，
∴ 4x-12=ax2-2ax-3a有两个相等的实数根
∴ Δ=0
∴(2a+4)2-4a(12-3a)=0，
∴(a-1)2=0，
∴a=1，
∴b=-2，c=-3，
∴y=x2-2x-3．
（2）由（1）可知：A(3,0)，C(0,-3)，设Mm,m2-2m-3,N(n,0)，
①当AC为对角线时，xA+xC=xM+xNyA+yC=yn+yN
∴3+0=m+n0+(-3)=m2-2m-3+0，解得m1=0（舍），m2=2，
∴n=1，即N1(1,0)．
②当AM为对角线时，xA+xM=xC+xNyA+yM=yC+yN
∴3+m=0+n0+m2-2m-3=-3+0，解得m1=0（舍）m2=2，
∴n=5，即N2(5,0)．
③当AN为对角线时，xA+xN=xC+xMyA+yN=yC+yM
∴3+n=0+m0+0=-3+m2-2m-3，解得m1=1+7,m2=1-7，
∴n=7-2或n=-2-7，
∴N3(7-2,0),N4(-2-7,0)．
综上所述：N点坐标为1,0或5,0或7-2,0或-2-7,0．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及到二次函数与不等式组，考查了平行四边形的存在性问题，利用中点公式，分类讨论是解题关键．
25．如图（1），二次函数y=-x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为3,0，点C的坐标为0,3，直线l经过B、C两点．

(1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标；
(2)点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N，当PM=12MN时，求点P的横坐标；
(3)如图（2），点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP上一点，且AQ=3PQ，连接DQ，当3AP＋4DQ的值最小时，直接写出DQ的长．
【答案】(1)y=-x2+2x+3，顶点坐标1,4
(2)P点横坐标为1+2或1-2或2+3或2-3
(3)DQ=5104
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设P（t，-t+3），则M（t，-t2+2t+3），N（2-t，-t2+2t+3），则PM=t2-3t，MN=2-2t，由题意可得方程t2-3t=122-2t，求解方程即可；
（3）由题意可知Q点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G，由QG∥BC，求出点G(2，0)，作A点关于GQ的对称点A'，连接A'D与AP交于点Q，则3AP+4DQ=4(DQ+34AP)=4(DQ＋AQ)≥4A'D，利用对称性和∠OBC=45°，求出A'(2，3)，求出直线DA'的解析式和直线QG的解析式，联立方程组y=-x+2y=3x-3，可求点Q54,34，再求DQ=5104．
【详解】（1）解：将点B3,0，C0,3代入y=-x2+bx+c
∴-9+3b+c=0c=3
解得b=2c=3
∴y=-x2+2x+3
∵y=-x2+2x+3=-x-12+4，
∴顶点坐标1,4；
（2）解：设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴3k+b=0b=3
解得k=-1b=3
∴y=-x+3，
设Pt,-t+3，则Mt,-t2+2t+3，N2-t,-t2+2t+3，
∴PM=t2-3t，MN=2-2t，
∵PM=12MN，
∴t2-3t=122-2t，
∴t2-3t=12(2-2t)或t2-3t=-12(2-2t)，
当t2-3t=12(2-2t)时， 整理得t2-2t-1=0，
解得t1=1+2，t2=1-2，
当t2-3t=-12(2-2t)时，整理得t2-4t+1=0，
解得t3=2+3，t4=2-3，
∴P点横坐标为1+2或1-2或2+3或2-3；
（3）解：∵C0,3，D点与C点关于x轴对称，
∴D0,-3，
令y=0，则-x2+2x+3=0，
解得x=-1或x=3，
∴A-1,0，
∴AB=4，
∵AQ=3PQ，
∴Q点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G，
∴QG∥BC，
∴AQAP=AGBA，
∴34=AG4，
∴AG=3，
∴G2,0，
∵OB=OC，
∴∠OBC=45°，
作A点关于GQ的对称点A'，连接AD与AP交于点Q，
∵AQ=A'Q，
∴AQ+DQ=A'Q+DQ⩾A'D，
∴3AP+4DQ=4DQ+34AP=4DQ+AQ⩾4A'D，
∵∠QGA=∠CBO=45°，AA'⊥QG，
∴∠A'AG=45°，
∵AG=A'G，
∴∠AA'G=45°，
∴∠AGA'=90°，
∴A'2,3，
设直线DA'的解析式为y=kx+b，
∴b=-32k+b=3，
解得k=3b=-3，
∴y=3x-3，
同理可求直线QG的解析式为y=-x+2，
联立方程组y=-x+2y=3x-3，
解得x=54y=34，
∴Q54,34，
∵D0,-3，
∴DQ=54-02+34--32=2516+22516=5104.
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离的方法，解绝对值方程，待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
销售单价x（元/件）
…
35
40
45
…
每天销售数量y（件）
…
90
80
70
…