中考数学第一轮复习讲义第34讲 概率（练习）（解析版）

这是一份中考数学第一轮复习讲义第34讲 概率（练习）（解析版），共80页。
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc158817330" 题型01 事件的分类
\l "_Tc158817331" 题型02 判断事件发生可能性的大小
\l "_Tc158817332" 题型03 理解概率的意义
\l "_Tc158817333" 题型04 判断几个事件概率的大小关系
\l "_Tc158817334" 题型05 根据概率公式计算概率
\l "_Tc158817335" 题型06 根据概率作判断
\l "_Tc158817336" 题型07 已知概率求数量
\l "_Tc158817337" 题型08 几何概率列举法求概率
\l "_Tc158817338" 题型09 列举法求概率
\l "_Tc158817339" 题型10 画树状图法/列表法求概率
\l "_Tc158817340" 题型11 由频率估计概率
\l "_Tc158817341" 题型12 用频率估计概率的综合应用
\l "_Tc158817342" 题型13 放回实验概率计算方法
\l "_Tc158817343" 题型14 不放回实验概率计算方法
\l "_Tc158817344" 题型15 游戏公平性
\l "_Tc158817345" 题型16 概率的应用
\l "_Tc158817346" 题型17 概率与统计综合
题型01 事件的分类
1．（2022·贵州贵阳·统考模拟预测）下列事件是必然事件的是（ ）
A．没有水分，种子发芽B．如果a、b都是实数，那么a＋b＝b＋a
C．打开电视，正在播广告D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
【答案】B
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、没有水分，种子发芽，是不可能事件，本选项不符合题意；
B、如果a、b都是实数，那么a＋b＝b＋a，是必然事件，本选项符合题意；
C、打开电视，正在播广告，是随机事件，本选项不符合题意；
D、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件，本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．（2022·福建福州·统考一模）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ）
A．守株待兔B．水中捞月C．水滴石穿D．百发百中
【答案】B
【分析】根据必然事件就是一定发生的事件逐项判断即可．
【详解】解：A、守株待兔是随机事件，故该选项不符合题意；
B、水中捞月是不可能事件，故该选项符合题意；
C、水滴石穿是必然事件，故该选项不符合题意；
D、百发百中是随机事件，故该选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了必然事件的概念，掌握必然事件指在一定条件下一定发生的事件是解答本题的关键．
3．（2021·广东广州·执信中学校考三模）下列生活中的事件，属于不可能事件的是（ ）
A．3天内将下雨B．打开电视，正在播新闻
C．买一张电影票，座位号是偶数号D．没有水分，种子发芽
【答案】D
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、3天内将下雨，是随机事件；
B、打开电视，正在播新闻，是随机事件；
C、买一张电影票，座位号是偶数号，是随机事件；
D、没有水分，种子不可能发芽，故是不可能事件；
故选D．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．（2019·山东临沂·校联考一模）投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为随机事件的是（ ）
A．两枚骰子向上一面的点数之和大于1
B．两枚骰子向上一面的点数之和等于1
C．两枚骰子向上一面的点数之和大于12
D．两枚骰子向上一面的点数之和等于12
【答案】D
【分析】根据事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件进行分析即可．
【详解】A、两枚骰子向上一面的点数之和大于1，是必然事件，故此选项错误；
B、两枚骰子向上一面的点数之和等于1，是不可能事件，故此选项错误；
C、两枚骰子向上一面的点数之和大于12，是不可能事件，故此选项错误；
D、两枚骰子向上一面的点数之和等于12，是随机事件，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了随机事件的判断，关键是掌握随机事件，确定性事件的定义．
题型02 判断事件发生可能性的大小
5．（2023·贵州铜仁·统考一模）在一个不透明的布袋内，有红球5个，黄球4个，白球1个，蓝球3个，它们除颜色外，大小、质地都相同．若随机从袋中摸取一个球，则摸中哪种球的概率最大（ ）
A．红球B．黄球C．白球D．蓝球
【答案】A
【分析】根据概率的求法，因为红球的个数最多，所以摸到红球的概率最大．
【详解】在一个不透明的布袋内，有红球5个，黄球4个，白球1个，蓝球3个，它们除颜色外，大小、质地都相同．若随机从袋中摸取一个球，
因为红球的个数最多，所以摸到红球的概率最大，
摸到红球的概率是：513
故选：A
【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P (A) =mn ．
6．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）下列事件中，是确定事件的是（ ）
A．掷一枚硬币，正面朝上B．三角形的内角和是180°
C．明天会下雨D．明天的数学测验，小明会得满分
【答案】B
【分析】根据确定事件和随机事件的定义对各选项逐一分析即可．
【详解】解：A、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故不符合题意；
B、三角形的内角和是180°，是必然事件，属于确定事件，故符合题意；
C、明天会下雨为随机事件，故不符合题意；
D、明天的数学测验，小明会得满分为随机事件，故不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了确定事件和随机事件的定义，解决本题的关键是要明确事件分为确定事件和不确定事件(随机事件)，确定事件又分为必然事件和不可能事件．
7．（2023·江苏淮安·统考一模）同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子1次，下列事件中是不可能事件的是（ ）
A．朝上的点数之和为12B．朝上的点数之和为13
C．朝上的点数之和为2D．朝上的点数之和小于9
【答案】B
【分析】依据题意同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子1次，每个骰子上的数字最大是6，得出朝上的点数之和最大为12，进而判断即可．
【详解】解：根据同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子1次，每个骰子上的数字最大是6，
故朝上的点数之和最大为12，
所以朝上的点数之和为13是不可能事件，
故选：B ．
【点睛】本题考查了不可能事件概率，根据已知得出朝上的点数之和最大为12是解题关键．
8．（2022·贵州遵义·统考三模）袋中有白球3个，红球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机取出一个球，如果取到白球的可能性更大，那么袋中红球的个数是（ ）
A．2个B．不足3个C．4个D．4个或4个以上
【答案】B
【分析】根据取到白球的可能性较大可以判断出白球的数量大于红球的数量，从而得解．
【详解】解：∵袋中有白球3个，取到白球的可能性较大，
∴袋中的白球数量大于红球数量，
即袋中红球的个数可能不足3个．
故选：B．
【点睛】本题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．
题型03 理解概率的意义
9．（2019·江苏盐城·校联考二模）气象台预报“本市明天降水概率是90%”对此信息，下列说法正确的是（ ）
A．本市明天将有90%的时间降水B．本市明天降水的可能性比较大
C．本市明天肯定下雨D．本市明天将有90%的地区降水
【答案】B
【分析】根据概率的意义判断即可．
【详解】解：气象台预报“本市明天降水概率是90%”，对此信息，意味着本市明天降水的可能性比较大，
故选：B．
【点睛】本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键．
10．（2023·江苏扬州·校联考一模）如图，某天气预报软件显示“扬州市邗江区明天的降水概率为85%”，对这条信息的下列说法中，正确的是（ ）
A．邗江区明天将有85%的时间下雨B．邗江区明天将有85%的地区下雨
C．邗江区明天下雨的可能性较大D．邗江区明天下雨的可能性较小
【答案】C
【分析】根据概率反映随机事件出现的可能性大小，即可进行解答．
【详解】解：“扬州市邗江区明天的降水概率为85%”表示“邗江区明天下雨的可能性较大”，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了概率反映随机事件出现的可能性大小，掌握相关概念是解题的关键．
11．（2019·江苏淮安·统考一模）小亮是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，小亮进球率为10%，他明天将参加一场比赛，下面几种说法正确的是（ ）
A．小亮明天的进球率为10%
B．小亮明天每射球10次必进球1次
C．小亮明天有可能进球
D．小亮明天肯定进球
【答案】C
【分析】直接利用概率的意义分析得出答案．
【详解】解：根据以往比赛数据统计，小亮进球率为10%，
他明天将参加一场比赛小亮明天有可能进球．
故选C．
【点睛】此题主要考查了概率的意义，正确理解概率的意义是解题关键．
题型04 判断几个事件概率的大小关系
12．（2023·山东东营·统考二模）下列是任意抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子所得结果，其中发生的可能性最大的是（ ）
A．朝上的点数为2B．朝上的点数为7
C．朝上的点数为2的倍数D．朝上的点数不大于2
【答案】C
【分析】抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子，点数1~6朝上的概率相等，都是16，据此计算各个选项所代表事件的概率．
【详解】解：A、朝上点数为2的可能性为16；
B、朝上点数为7的可能性为0；
C、朝上点数为2的倍数的可能性为36=12；
D、朝上点数不大于2的可能性为26=13．
故选C．
【点睛】本题主要考查事件可能性的大小，掌握等可能事件发生的概率公式是解题的关键．
13．（2023·福建泉州·统考一模）一个不透明的盒子中装有1个红球和2个白球，它们除颜色不同外其它都相同．若从中随机摸出一个球，则下列叙述正确的是（ ）
A．摸到黑球是不可能事件B．摸到白球是必然事件
C．摸到红球与摸到白球的可能性相等D．摸到红球比摸到白球的可能性大
【答案】A
【分析】不可能事件是概率论中把在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件，人们通常用0来表示不可能事件发生的可能性；必然事件，在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件，必然事件发生的概率为1，但概率为1的事件不一定为必然事件，根据随机事件的分类及概率的计算即可求解．
【详解】解：A选项，装有1个红球和2个白球，不可能摸到黑球，是不可能事件，符合题意；
B选项，装有1个红球和2个白球，可能摸到白球，也可能摸到红球，是随机事件，不符合题意；
C选项，装有1个红球和2个白球，摸到红球的概率是13，摸到白球的概率是23，概率不同，不符合题意；
D选项，装有1个红球和2个白球，摸到红球的概率小于摸到白球的概率，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查随机事件及概率，理解随机事件的分类，概率的计算方法是解题的关键．
14．（2023·江苏常州·统考一模）在4个相同的袋子中，装有除颜色外完全相同的10个球，任意摸出1个球，摸到红球可能性最大的是（ ）
A．1个红球，9个白球B．2个红球，8个白球
C．5个红球，5个白球D．6个红球，4个白球
【答案】D
【分析】根据概率的计算方法，比较概率的大小即可求解．
【详解】解：A选项，1个红球，9个白球，摸到红球的概率为11+9=110；
B选项，2个红球，8个白球，到红球的概率为22+8=210=15；
C选项，5个红球，5个白球，到红球的概率为55+5=510=12；
D选项，6个红球，4个白球，到红球的概率为66+4=610=35；
∵110132，
∴安装2台喷水机年利润的平均值达到最大．
【点睛】本题主要考查概率的应用，要能从统计表中找到我们需要的数据，并用统计数据处理，熟练掌握概率相关知识灵活运用是解题关键．
题型13 放回实验概率计算方法
49．（2021·内蒙古包头·统考二模）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
（1）该学习小组发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，请直接写出这个常数（精确到0.01），由此估出红球有几个？
（2）在这次摸球试验中，从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出1个球，利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求两次摸到的球恰好1是个白球，1个是红球的概率．
【答案】（1）这个常数是0.33，由此估出红球有2个；（2）49
【分析】（1）计算频率的平均数，后按照精确度求得近似数即可；根据概率公式建立方程求解即可；
（2）画树状图求解即可．
【详解】（1）根据题意，得
0.3600+0.3100+0.3250+0.3340+0.3325+0.33356
＝0.3325
≈0.33，
设有x个红球，根据题意，得11+x=0.33，
解得x≈2
经检验，符合题意．
故这个常数是0.33，由此估出红球有2个．
（2）画树状图如下：
据图知，所有等可能的情况有9种，其中恰好摸到1个白球，1个红球的情况有4种，
则P（恰好摸到1个白球，1个红球）=49．
所以从该袋中摸出2个球，恰好摸到1个白球、1个红球的结果的概率为49．
【点睛】本题考查了用频率估计概率，画树状图计算概率，准确理解频率估计概率的意义，熟练画树状图是解题的关键．
50．（2023·山西晋城·模拟预测）在一个不透明的盒子里，装有三个分别标有数字1，2，3的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同．小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x；放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为y．
(1)用列表法或画树状图表示出x,y的所有可能出现的结果；
(2)求小明、小华各取一次小球所确定的点x,y落在反比例函数y=3x的图象上的概率．
【答案】(1)见解析
(2)29
【分析】（1）采用列表法即可写出x，y的所有可能出现的结果；
（2）找出表中落在反比例函数y=3x的图象上的点的个数再除以总的个数，即可求出答案．
【详解】（1）解：列表如下
一共有9种等可能性结果；
（2）解：∵点x，y落在反比例函数y=3x的图象上有2种：1，2或2，1，
∴点x，y落在反比例函数y=3x的图象上的概率是29．
【点睛】本题考查列表法与树状图法，解答本题得的关键是明确题意，列出表或画出树状图，求出相应的概率．
51．（2022·陕西西安·校考模拟预测）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，小明随机从口袋中摸取一个小球，记录摸到小球的标号后放回，再从中摸取一个小球，又放回．小明摸取了60次，结果统计如下：
(1)上述试验中，小明摸取到“2”号小球的频率是 ；小明下一次在袋中摸取小球，摸到“2”号小球的概率是 ；
(2)若小明一次在袋中摸出两个小球，求小明摸出两个小球标号的和为5的概率．
【答案】(1)730，14
(2)13
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能结果，满足条件的有4种，由概率公式求解．
【详解】（1）解：由图表中数据可知，小明摸取到“2”号小球的频率是：1460=730，
小明下一次在袋中摸取小球，由于袋中共有4个球，因此摸到“2”号小球的概率是：14；
（2）画树状图如下：

共有12种等可能结果，小明摸出两个小球标号的和为5的结果有4种，
因此小明摸出两个小球标号的和为5的概率为：412=13．
【点睛】本题考查求概率，掌握用列表法或树状图求概率是关键，一般两步完成的事件列表法、树状图都可以用，三步或三步以上完成的事件适合用树状图．
52．（2023·江苏盐城·校考二模）有4张扑克牌，牌面数字分别为2、3、4、4，其余都相同．小明随机从中摸出一张牌，记录牌面数字后放回；洗匀后再从中摸出一张牌，记录牌面数字后又放回．小明摸了100次，结果统计如下：
(1)上述试验中，小明摸出牌面数字为3的频率是 ；小明摸一张牌，摸到牌面数字为3的概率是 ；
(2)若小明一次摸出两张牌，求小明摸出的两张牌的牌面数字之和为6的概率．
【答案】(1)625，14
(2)13
【分析】（1）直接由频率定义和概率公式分别求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中小明摸出的两张牌的牌面数字之和为6的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）上述试验中，小明摸出牌面数字为3的频率是24100=625；
小明摸一张牌，摸到牌面数字为3的概率是14；
故答案为：625，14；
（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中小明摸出的两张牌的牌面数字之和为6的结果有4种，
∴小明摸出的两张牌的牌面数字之和为6的概率为412=13．
【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
53．（2023·陕西宝鸡·校考一模）一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是1，1，2，3，这些小球除标有的数字外都相同．
(1)从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为 ；
(2)先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法、求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．
【答案】(1)12
(2)716
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以计算出从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率；
（2）根据题意可以画出相应的树状图，然后即可求出摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．
【详解】（1）由题意可得，数字1，1，2，3中，数字1有2个，
所以，从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为24=12，
故答案为：12；
（2）树状图如下：

由上可得，一共有16种等可能性，其中两数之积是偶数的可能性有7种，
∴摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率716．
【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
54．（2022·安徽·模拟预测）一个不透明的箱子里装有蓝、白两种颜色的球共4个，它们除颜色外，其他都相同．李明将球搅匀后从箱子中随机摸出1个球，记下颜色后，再将它放回，不断重复实验．多次实验结果如表．
(1)当摸球次数足够多时，摸到白球的频率将会稳定于______（精确到0.01）左右，从箱子中摸一次球，估计摸到蓝球的概率是______．
(2)从该箱子里随机摸出1个球，不放回，再摸出1个球．用列举法求摸到1个蓝球、1个白球的概率．
【答案】(1)0.75；0.25（或14）
(2)摸到1个蓝球、1个白球的概率为12
【分析】（1）运用频率估算概率的方法即可求解；根据概率和为1即可求解；
（2）运用列表或画树状图求随机事件的概率的方法即可求解．
【详解】（1）解：根据表格信息可得，摸到白球的频率将会稳定于0.75，摸到蓝球的概率是0.25，
故答案为：0.75；0.25（或14）
（2）解：由（1）知，袋中白球的个数约为4×0.75=3，蓝球的个数约为4-3=1，
列表如下：
由表知，共有12种等可能的结果，其中摸到1个蓝球、1个白球的结果有6种，
∴摸到1个蓝球、1个白球的概率为612=12．
题型14 不放回实验概率计算方法
55．（2023·广东清远·统考三模）中国城市基础设施的现代化程度显著提高，新技术、新手段得到广泛应用，基础设施的功能日益增加，承载能力、系统性和效率都有了显著的提升．城市经济发展了，居民生活条件改善了，如5G基础进设、新能源汽车充电桩、人工智能等，其中，随着人们对新能源汽车的认可，公共充电桩的需求量逐渐增大．根据巾商情报网信息：某月“特来电”“星星充电”“国家电网”“云快充”等企业投放公共充电桩的数量及市场份额的统计图如图所示：
请根据图中信息，解答下列问题：
(1)①将统计图中“国家电网”的公共充电桩数量和市场份额补充完整；
②统计图中所涉及的十一种企业投放公共充电桩数量的中位数是 万台．
(2)小辉收集到下列四个企业的图标，并将其制成编号分别为A，B，C，D的四张卡片（除编号和内容外，其余部分完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀，放在桌面上，从中任意抽取一张，不放回，再抽取一张．请你用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D“的概率．
【答案】(1)①见解析；②2
(2)16
【分析】本题考查的是从统计图中获取信息，求解中位数，利用画树状图求解随机事件的概率，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键；
（1）①由星星充电10万台充电桩占比20%求解总的充电桩的数量，再求解国家电网的充电桩的数量与占比即可；②根据11家企业的充电桩是数量按照从大到小顺序排列后，排在第6的数据是中位数，从而可得答案；
（2）先画树状图得到所有的等可能的结果数，再得到符合条件的结果数，结合概率公式可得答案．
【详解】（1）解：①公共充电桩的总数为10÷20%=50（万台），
∴“国家电网”的公共充电桩数量为50-15-10-5-2-2-2-1.5-1-0.5-3=8（万台），
“国家电网”的公共充电桩的市场份额为850×100%=16%；
如图，
②统计图中所涉及的十一种企业投放公共充电桩数量的中位数是2万台．
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D“的结果数为2，
所以抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D“的概率=212=16．
56．（2023·山西大同·大同一中校考模拟预测）随着全民健身与全民健康深度融合，户外运动逐渐成为人民群众喜闻乐见的运动方式．为让青少年以享受运动为前提，获取参与户外运动的知识与技能，某校开展了户外运动知识竞赛活动，并随机在八、九年级各抽取了20名学生的成绩（百分制），部分过程如下：
收集数据：八年级20名学生的成绩如下：
80，95，75，75，90，75，80，65，80，85，75，65，70，65，85，70，95，80，75，85
整理数据：八年级20名学生成绩频数分布表：
分析数据：八、九年级20名学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率如下表：
请根据上述信息，回答下列问题：
(1)填空：a=___________，b=___________；
(2)估计该校九年级参加竞赛的500人中，成绩在90分以上的人数；
(3)在收集九年级20我学生成绩的过程中，误将一个数据“80”写成了“85”，小宇认为从中位数角度看，不会影响该校学生户外运动知识一般水平的反映情况，请你判断小宇的结论是否正确？并说明理由；
(4)随着年轻一代消费者逐渐成为消费主力，他们对“走出去”的渴望日益增长，露营、钓鱼、骑行、爬山等户外运动项目逐渐成为当代年轻人的热门娱乐方式之一、为近一步了解户外运动的参与群体，小宇和小强收集了印有这四种户外运动项目的图案的卡片（依次记为L，D，Q，P，除正面编号和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是Q（骑行）和P（爬山）的概率．
【答案】(1)4，77.5
(2)125人
(3)不正确，见解析
(4)16
【分析】（1）找到成绩为80P2．
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了用概率公式求概率，列表法或树状图法求概率，解题的关键是注意是放回实验还是不放回实验．
58．（2023·吉林长春·统考二模）如图，有四张不透明且背面相同的卡片A、B、C、D，卡片的正面分别印有净月潭、长春世界雕塑公园、长影世纪城、伪满皇宫博物院（这些卡片除图案不同外，其余均相同）．把这四张卡片背面向上洗匀后，任意抽出一张不放回，然后再从余下的卡片中任意抽出一张．请用树状图或列表法，求抽出两张卡片的图案恰好是“净月潭”和“长影世纪城”的概率．
【答案】16
【分析】运用列举法求两步概率问题，采用画出树状图法，再由概率公式列式计算即可得解．
【详解】根据题意画出树状图如下：
一共有12种等可能的情况，抽出两张卡片的图案恰好是A“净月潭”和C“长影世纪城”的卡片共有2种情况，
∴ P（抽出的两张卡片的图形是中心对称图形）=212=16．
【点睛】本题考查了列表法和树状图法求两步概率问题，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，根据题意准确画出树状图是解决问题的关键．
题型15 游戏公平性
59．（2022·湖北黄冈·校联考模拟预测）两个可以自由转动的转盘A、B都被分成3等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图所示），指针的位置固定．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，将指针所指两个区域内的数字相乘（若指针落在分割线上，则需重新转动转盘）．
(1)试用列表或画树状图的方法，求数字之积为3的倍数的概率；
(2)小亮和小芸想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积为3的倍数时，小亮得2分；数字之积为5的倍数时，小芸得3分．你认为这个游戏对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请修改得分规定，使游戏对双方公平．
【答案】(1)59
(2)不公平，见解析
【分析】（1）选择列表或画树状图法，计算概率即可；
（2）先计算规则下的各自得分概率，比较概率大小，相等，则判定游戏公平．
【详解】（1）利用表格或树状图列出所有可能出现的结果：
总共有9种等可能的结果，数字之积为3的倍数的有5种，其概率为59．
（2）这个游戏对双方不公平．理由如下：
∵数字之积为5的倍数的有3种，其概率为39=13，
数字之积为3的倍数的有5种，其概率为59．
∵59×2≠39×3，
∴游戏对双方不公平．
修改得分规定为：若数字之积为3的倍数时，小亮得3分，若数字之积为5的倍数时，小芸得5分．
【点睛】本题考查了概率的计算，熟练掌握列表或画树状图法求概率是解题的关键．
60．（2022·广东佛山·统考一模）为提高教育质量，落实立德树人的根本任务，中共中央办公厅、国务院办公厅颁布了“双减”政策．为了调查学生对“双减”政策的了解程度，某学校数学兴趣小组通过网上调查的方式在本校学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查结果，绘制了如图的统计图，结合统计图，回答下列问题：
(1)若该校有学生2000人，请根据调查结果估计这些学生中“比较了解”“双减”政策的人数约为多少？
(2)根据调查结果，学校准备开展关于“双减”政策宣传工作，要从某班“非常了解”的小明和小刚中选一个人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：在一个不透明的袋中装有2个红球和2个白球，它们除了颜色外无其他差别，从中随机摸出两个球，若摸出的两个球颜色相同，则小明去；否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
【答案】(1)约为400人
(2)不公平，理由见解析
【分析】（1）用总人数乘以“比较了解”所占的百分比即可；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸出两个球颜色相同与不同的情况，再利用概率公式求解，比较概率大小，即可判断游戏规则是否公平．
【详解】（1）解：本次抽样调查的总人数是：10+20+40+30=100（人），
这些学生中“比较了解”“双减”政策的人数约为：2000×20100=400（人），
答：这些学生中“比较了解”“双减”政策的人数约为400人．
（2）解：画树状图如下：
∵共有12种等可能的结果，两个球颜色相同的有4种情况，两个球颜色不同的有8种情况，
∴两个球颜色相同的概率为P=412=13，
∴两个球颜色不相同的概率为P=812=23，
∵13≠23，
∴游戏规则不公平．
【点睛】本题考查 列表法或树状图法求概率，条形统计图，解题的关键是利用树状图法求出概率，比较概率，判断是否公平．
61．（2022·江苏盐城·统考一模）北京冬奥会将在2022年2月4日至20日举行，北京将成为奥运史上第一个举办过夏季奥运会和冬季奥运会的城市，小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的5张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同），现将5张邮票背面朝上，洗匀放好．
(1)小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是______；
(2)小明发明了一种“邮票棋”比胜负的游戏，用小亮的三种邮票当作5颗棋子，其中冬奥会会徽邮票记作A棋，吉祥物冰敦敦邮票记作B棋，吉祥物雪容融邮票记作C棋．
游戏规则：将5颗棋子放入一个不透明的袋子中，然后随机从5颗棋子中摸出1颗棋子，不放回，再摸出第2颗棋子，若摸到A棋，则小明胜；若摸到两颗相同的棋子，则小亮胜；其余情况视为平局，游戏重新进行，请你用列表或画树状图的方法验证这个游戏公平吗？请说明理由．
【答案】(1)25
(2)游戏不公平，理由见详解
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，求出两人获胜的概率，比较大小即可得出答案．
【详解】（1）解：小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是25，
故答案为：25．
（2）解：列表如下
所以，该游戏等可能的结果为20种，摸到A棋子的结果有8种，摸到相同两颗棋子的结果有4种．
P（小明胜）=820=25
P（小亮胜）=420=15
∵25≠15
∴游戏不公平．
【点睛】本题主要考查游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
62．（2023·云南·一模）现有A，B两个不透明的袋子，A袋的4个小球分别标有数字1，2，3，4；B袋的3个小球分别标有数字1，2，3．（每个袋中的小球除数字外，其它完全相同．）
（1）从A，B两个袋中各随机摸出一个小球，则两个小球上数字相同的概率是 ；
（2）甲、乙两人玩摸球游戏，规则是：甲从A袋中随机摸出一个小球，乙从B袋中随机摸出一个小球，若甲、乙两人摸到小球的数字之和为奇数时，则甲胜；否则乙胜，用列表或树状图的方法说明这个规则对甲、乙两人是否公平．
【答案】（1）14；（2）这个规则对甲、乙两人是公平的，理由见解析
【分析】（1）画树状图得出所有等可能结果，从中找到两个数字相同的结果数，再根据概率公式求解即可；
（2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到两人摸到小球的数字之和为奇数和偶数的结果数，根据概率公式计算出甲、乙获胜的概率即可得出答案．
【详解】解：（1）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，其中两个数字相同的结果有3个，
∴两个小球上数字相同的概率是312＝14，
故答案为：14；
（2）这个规则对甲、乙两人是公平的．
画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中两人摸到小球的数字之和为奇数有6种，两人摸到小球的数字之和为偶数的也有6种，
∴P甲获胜＝P乙获胜＝12，
∴此游戏对双方是公平的．
【点睛】本题考查的是游戏公平性以及列表法与树状图法．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
题型16 概率的应用
63．（2023·福建三明·统考一模）某商场举办“乐享国庆”购物活动时，为了疫情防控，只开通A，B，C三个人口，参加人员领取入场券后，由电脑随机安排其有某个入口进场.
(1)小明领取入场券后，从A入口进场的概率是多少？
(2)某品牌手机商家开展了“头手机砸金蛋”活动，购买该品牌手机的顾客都有一次砸金蛋机会.小明和小亮同时购买了该品牌手机，商家提供了4个金蛋，只有1个是一等奖，其余都是二等奖.商家让小明执锤先砸，小亮认为商家这种做法对他不公平.请从两人获得一等奖概率的角度说明小亮的质疑是否合理.
【答案】(1)13
(2)小亮的质疑不合理
【分析】共有3种情况，从A号入口进场只占三分之一；
列出树状图或表格，分别求出两个人获得一等奖的概率，根据是否相等判断合理与否.
【详解】（1）小明领取入场券后，从A号入口进场的概率是13；
（2）小亮的质疑不合理，理由如下：
解法一：
设一等奖为1，二等奖为2，可画树状图如下：
对于小亮共有12种等可能的结果，小亮获得一等奖的结果有3种，
∴P（小明获得一等奖）=14，
P（小亮明获得一等奖）=312=14，
∴P（小明获得一等奖）=P（小亮获得一等奖），
∴小亮的质疑不合理.
解法二：
设一等奖为1，二等奖为2，可列表如下：
共有12种等可能的结果，其中小明获得一等奖的结果有3种，小亮获得一等奖的结果有3种，
∴P（小明获得一等奖）=312=14，
P（小亮获得一等奖）=312=14，
∴P（小明获得一等奖）=P（小亮获得一等奖），
∴小亮的质疑不合理.
【点睛】本题考查概率的求法，列出树状图或表格是解题的关键.
64．（2021·福建厦门·大同中学校考二模）为响应党中央关于打好精准扶贫攻坚战的号召，东部帮助西部进行扶贫产业开发，“食良品”是某市农产品商贸集团有限公司旗下的“消费扶贫”的电商平台，依托地理、集团专业等渠道的优势，基地直采，降低采购成本，全心全意为全市广大客户提供优质的食材，也解决了西部各地农副产品销售难的问题．目前，该平台为广大客户仅提供300元、500元、800元、1000元四种不同面额的提货券．随机抽查了其中100天的销售情况，整理统计后得到如下表一和表二：
表一
表二
(1)随机抽取一张提货券，面额不少于800元的概率是多少？
(2)哪种面额的提货券应多提供些？估计日均销售该面额的提货券多少张？
(3)估计月销售总额是多少元？（月以30天计算）
【答案】(1)面额不少于800元的概率为30%
(2)该面额的提货券约为180张
(3)月销售总额为7479000元
【分析】(1)从表一中读取数据即可得到答案．
(2)由销售量的百分比总和为1，可得m的值，对比各百分比大小可得答案；求出日均销售提货券的数量，按照该提货券占的百分比，可得答案．
(3)根据加权平均数可得平均每张提货券的销售金额，根据销售总额=平均每张提货券的销售金额×日均销售提货券的数量×时间，可得答案．
【详解】（1）解：面额不少于800元的概率为：18%+12%＝30%．
（2）解： m＝100﹣30﹣18﹣12＝40，
故500的提货券应多提供些．
平均每天销售提货券的数量为：300×25+450×30+500×35+650×1025+30+35+10=450 （张）．
其中该面额的提货券约为：450×40%＝180（张）．
（3）解：平均每张提货券的销售金额为：300×30%+500×40%+800×18%+1000×12%＝554（元）．
故月销售总额为：30×450×554＝7479000（元）．
【点睛】本题考查统计概率方面知识的综合运用，正确读取并理解图表信息是解题的关键．
65．（2023·河北唐山·统考二模）有四个完全相同的小球，分别标注-2，-1，1，3这四个数字．把标注后的小球放入不透明的口袋中，从中随机拿出两个小球，所标数字和的绝对值为k的概率记作Pk（如：P3是任取两个数，其和的绝对值为3的概率）
(1)用列表法求P1；
(2)张亮认为：Pk的所有取值的众数大于它们的平均数，你认为张亮的想法正确吗？请通过计算说明；
(3)能否找到概率Pi，Pj，Pm（i3的解，这是一个必然事件
【答案】D
【分析】根据方差的意义，概率的意义，抽样调查与普查，不等式的解与必然事件的定义逐项分析判断
【详解】解：A. 甲､乙两人10次测试成绩的方差分别是S甲2=4,S乙2=14，则甲的成绩更稳定，故该选项不正确，不符合题意；
B. 某奖券的中奖率为1100，买100张奖券，可能会中奖1次，故该选项不正确，不符合题意；
C. 要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用全面调查
D.解：2(x-1)>3，
2x>5，
解得：x>52，
∴x=3是不等式2(x-1)>3的解，这是一个必然事件，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了方差的意义，概率的意义，抽样调查与普查，不等式的解与必然事件的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
11．（2023·湖南娄底·统考中考真题）从367，3.1415926，3.3，4，5，-38，39中随机抽取一个数，此数是无理数的概率是（ ）
A．27B．37C．47D．57
【答案】A
【分析】先判断出5，39是无理数，再根据概率公式进行计算即可．
【详解】解：∵4=2，-38=-2，
∴367，3.1415926，3.3，4，5，-38，39中无理数有：5，39，
∴从367，3.1415926，3.3，4，5，-38，39中随机抽取一个数，此数是无理数的概率是27；
故选A
【点睛】本题考查的是求解一个数的算术平方根，立方根，无理数的含义，利用概率公式求解简单随机事件的概率，掌握以上基础知识是解本题的关键．
二、填空题
12．（2023·浙江杭州·统考中考真题）一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为25，则n= ．
【答案】9
【分析】根据概率公式列分式方程，解方程即可．
【详解】解：∵从中任意摸出一个球是红球的概率为25，
∴ 66+n=25，
去分母，得6×5=26+n，
解得n=9，
经检验n=9是所列分式方程的根，
∴ n=9，
故答案为：9．
【点睛】本题考查已知概率求数量、解分式方程，解题的关键是掌握概率公式．
13．（2023·山东济南·统考中考真题）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是14，则盒子中棋子的总个数是 ．
【答案】12
【分析】利用概率公式，得出黑色棋子的数量除以对应概率，即可算出棋子的总数．
【详解】解：3÷14=12，
∴盒子中棋子的总个数是12．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了简单随机事件概率的相关计算，事件出现的概率等于出现的情况数与总情况数之比．
14．（2023·江苏扬州·统考中考真题）某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：
这种绿豆发芽的概率的估计值为 （精确到0.01）．
【答案】0.93
【分析】根据题意，用频率估计概率即可．
【详解】解：由图表可知，绿豆发芽的概率的估计值0.93，
故答案为：0.93．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率．解题的关键在于明确：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
15．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如下表：
下面有三个推断：
①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；
②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；
③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53．
其中正确的是 ．（填序号）
【答案】①③
【分析】根据表中数据及频率估计概率依次判断即可．
【详解】解：①通过上述实验的结果，发现盖面朝上的次数多与累计次数的一半，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的，故正确；
②实验是随机的，第2000次实验的结果不一定是“盖面朝上”，故错误；
③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，故正确．
故答案为：①③．
【点睛】题目主要考查频率估计概率，结合表中数据求解是解题关键．
16．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球200次，发现有50次摸到红球，则口袋中红球约有 个．
【答案】3
【分析】利用频率估计随机摸出1个球是红球的概率为14，根据概率公式即可求出答案．
【详解】解：设红球有x个，
则x12=50200，
x=3
答：红球的个数约为3个．
故答案为：3．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，计算出相应的红球个数．
三、解答题
17．（2023·福建·统考中考真题）为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品：若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会．
(1)求该顾客首次摸球中奖的概率；
(2)假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由
【答案】(1)14
(2)应往袋中加入黄球，见解析
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）根据列表法求分别求得加入黄球和红球的概率即可求解．
【详解】（1）解：顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果．
记“首次摸得红球”为事件A，则事件A发生的结果只有1种，
所以PA=14，所以顾客首次摸球中奖的概率为14．
（2）他应往袋中加入黄球．
理由如下：
记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下：
共有20种等可能结果．
（ⅰ）若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有8种，此时该顾客获得精美礼品的概率P1=820=25；
（ⅱ）若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有12种，此时该顾客获得精美礼品的概率P2=1220=35；
因为25