中考数学第一轮复习专题01 数与式、方程与不等式的性质及运算（讲练）（解析版）

这是一份中考数学第一轮复习专题01 数与式、方程与不等式的性质及运算（讲练）（解析版），共68页。试卷主要包含了考情分析，知识建构，二次根式的运算，一元二次方程，一元一次不等式等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc160094593" \l "_Tc160094594" 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc160094595" 考点一 数与式的相关运算
\l "_Tc160094596" \l "_Tc160094596" 【真题研析·规律探寻】
\l "_Tc160094597" 题型01 实数的混合运算
\l "_Tc160094598" 题型02 整式的混合运算及化简求值
\l "_Tc160094599" 题型03 因式分解的运算及应用
\l "_Tc160094600" 题型04 分式的混合运算及化简求值
\l "_Tc160094601" 题型05 科学记数法
\l "_Tc160094602" 题型06 二次根式的混合运算及应用
\l "_Tc160094603" 题型07 比较大小
\l "_Tc160094604" 【核心提炼·查漏补缺】
\l "_Tc160094605" 【好题必刷·强化落实】
\l "_Tc160094606" 考点二 方程与不等式的相关运算
\l "_Tc160094596" 【真题研析·规律探寻】
\l "_Tc160094608" 题型01 解一元一次方程
\l "_Tc160094609" 题型02 解二元一次方程组及其应用
\l "_Tc160094610" 题型03 解分式方程
\l "_Tc160094611" 题型04 根据分式方程解的情况求值
\l "_Tc160094612" 题型05 解一元一次不等式
\l "_Tc160094613" 题型06 解一元一次不等式组
\l "_Tc160094614" 题型07 解一元二次方程
\l "_Tc160094615" 题型08 根据判别式判断一元二次方程根的情况
\l "_Tc160094616" 题型09 根据一元二次根的情况求参数
\l "_Tc160094617" 题型10 一元二次方程根与系数的关系
\l "_Tc160094604" 【核心提炼·查漏补缺】
\l "_Tc160094619" 【好题必刷·强化落实】
考点一 数与式的相关运算
题型01 实数的混合运算
1）常见实数的运算：
2）特殊三角函数值：
3)实数运算的“两个关键”：
①明确运算顺序：要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
②运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
1．（2023·云南·统考中考真题）计算：|-1|+(-2)2-(π-1)0+13-1-tan45°．
【答案】6
【分析】根据绝对值的性质、零指数幂的性质、负指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简计算即可得出答案．
【详解】解：|-1|+(-2)2-(π-1)0+13-1-tan45°
=1+4-1+3-1
=6．
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握绝对值的性质、零指数幂的性质、负指数幂的性质和特殊角的三角函数值是解题的关键．
2．（2023·四川眉山·统考中考真题）计算：23-π0-1-3+3tan30°+-12-2
【答案】6
【分析】先计算零指数幂，负整数指数幂和特殊角三角函数值，再根据实数的混合计算法则求解即可．
【详解】解：原式=1-3-1+3×33+4
=1-3+1+3+4
=6．
【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
3．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）计算：π-20230+-22+13-2-4sin30°．
【答案】10
【分析】根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式性质，特殊角的三角函数值，进行计算即可．
【详解】解：π-20230+-22+13-2-4sin30°
=1+2+32-4×12
=3+9-2
=10．
【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式性质，特殊角的三角函数值，准确计算．
题型02 整式的混合运算及化简求值
1.直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式计算求值.
2.间接代入法：将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值.
3.整体代入法：①观察已知代数式和所求代数式的关系.
②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形，使它们成倍分关系.
③把已知代数式看成一个整式代入所求代数式中计算求值．
4.赋值求值法：指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法．这是一种开放型题目，答案不唯一.在赋值时，要注意取值范围，选择合适的代数式的值．
5.隐含条件求值法：先通过隐含条件求出字母值，然后化简再求值．
例如：①若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0
②已知两个单项式为同类项，通过求次数中未知数的值，进而带入到代数式中计算求值.
6.利用“无关”求值：
①若一个代数式的值与某个字母的取值无关时需先对原式进行化简，则可得出该无关字母的系数为0；
②若给定字母写错得出正确答案，则该代数式的值与该字母无关．
7.配方法：若已知条件含有完全平方式，则可通过配方，把条件转化成几个平方和的形式，再利用非负数的性质来确定字母的值，从而求得结果．
8.平方法：在直接求值比较困难时，有时也可先求出其平方，再求平方值的平方根，但要注意最后结果的符号．
9.特殊值法：有些试题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，把一般形式变为特殊形式进行判断，这时常常会使题目变得十分简单．
10.设参法：遇到比值的情况，可对比值整体设参数，把每个字母用参数表示，然后代入计算即可．
11.利用根与系数的关系求解：如果代数式可以看作某两个“字母”的轮换对称式，而这两个“字母”又可能看作某个一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得其和、积式，再整体代入求值．
12. 利用消元法求值：若已知条件以比值的形式出现，则可利用比例的性质设比值为一个参数，或利用一个字母来表示另一个字母．
13. 利用倒数法求值：将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而求出代数式的值．
1．（2022·四川南充·中考真题）先化简，再求值：(x+2)(3x-2)-2x(x+2)，其中x=3-1．
【答案】x2-4；-23
【分析】利用多项式乘以多项式及单项式乘以多项式运算法则进行化简，然后代入求值即可．
【详解】解：原式=3x2-2x+6x-4-2x2-4x
=x2-4；
当x=3-1时，
原式=(3-1)2-4
=3+1-23-4
=-23．
【点睛】题目主要考查整式的乘法及加减化简求值及二次根式混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
2．（2022·广西·统考中考真题）先化简，再求值(x+y)(x-y)+(xy2-2xy)÷x，其中x=1,y=12．
【答案】x2-2y，0
【分析】首先运用平方差公式计算，再运用单项式乘以多项式计算，最后合并同类项，即可化简，然后把x、y值代入计算即可．
【详解】解：(x+y)(x-y)+(xy2-2xy)÷x
=x2-y2+y2-2y
=x2-2y
当x=1，y=12时，原式=12-2×12=0．
【点睛】本题考查整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．
3．（2022·江苏苏州·统考中考真题）已知3x2-2x-3=0，求x-12+xx+23的值．
【答案】2x2-43x+1，3
【分析】先将代数式化简，根据3x2-2x-3=0可得x2-23x=1，整体代入即可求解．
【详解】原式=x2-2x+1+x2+23x
=2x2-43x+1．
∵3x2-2x-3=0，
∴x2-23x=1．
∴原式=2x2-23x+1
=2×1+1 =3．
【点睛】本题考查了整式的乘法运算，代数式化简求值，整体代入是解题的关键．
4．（2022·江苏盐城·统考中考真题）先化简，再求值：x+4x-4+x-32，其中x2-3x+1=0．
【答案】2x2-6x-7，-9
【分析】根据平方差公式和完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：原式=x2-16+x2-6x+9
=2x2-6x-7．
∵x2-3x+1=0，
∴x2-3x=-1，
原式=2x2-3x-7=2×-1-7=-9
【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
5．（2022·广东广州·统考中考真题）已知T=(a+3b)2+(2a+3b)(2a-3b)+a2
(1)化简T；
(2)若关于x的方程x2+2ax-ab+1=0有两个相等的实数根，求T的值．
【答案】(1)6a2+6ab；
(2)T=6
【分析】(1)根据整式的四则运算法则化简即可；
(2)由方程有两个相等的实数根得到判别式△=4a²-4(-ab+1)=0即可得到a2+ab=1，整体代入即可求解．
【详解】（1）解：T=(a2+6ab+9b2)+(4a2-9b2)+a2
=6a2+6ab；
（2）解：∵方程x2+2ax-ab+1=0有两个相等的实数根，
∴∆=(2a)2-4(-ab+1)=0，
∴a2+ab=1，
则T=6(a2+ab)=6×1=6．
【点睛】本题考查了整式的四则运算法则、一元二次方程的实数根的判别、整体思想，属于基础题，熟练掌握运算法则及一元二次方程的根的判别式是解题的关键．
6．（2023·河北·统考中考真题）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示(a>1)．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为S1,S2．
(1)请用含a的式子分别表示S1,S2；当a=2时，求S1+S2的值；
(2)比较S1与S2的大小，并说明理由．
【答案】(1)S1=a2+3a+2，S2=5a+1，当a=2时，S1+S2=23
(2)S1>S2，理由见解析
【分析】（1）根据题意求出三种矩形卡片的面积，从而得到S1,S2，S1+S2，将a=2代入用=a2a表示S1+S2的等式中求值即可；
（2）利用（1）的结果，使用作差比较法比较即可．
【详解】（1）解：依题意得，三种矩形卡片的面积分别为：S甲=a2，S乙=a，S丙=1，
∴S1=S甲+3S乙+2S丙=a2+3a+2，S2=5S乙+S丙=5a+1，
∴S1+S2=a2+3a+2+5a+1=a2+8a+3，
∴当a=2时，S1+S2=22+8×2+3=23；
（2）S1>S2，理由如下：
∵S1=a2+3a+2，S2=5a+1
∴S1-S2=a2+3a+2-5a+1=a2-2a+1=a-12
∵a>1，
∴S1-S2=a-12>0，
∴S1>S2．
【点睛】本题考查列代数式，整式的加减，完全平方公式等知识，会根据题意列式和掌握做差比较法是解题的关键．
题型03 因式分解的运算及应用
1.因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
2.因式分解必须是恒等变形,且必须分解到每个因式都不能分解为止.
3.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
1．（2023·河北·统考中考真题）若k为任意整数，则(2k+3)2-4k2的值总能（ ）
A．被2整除B．被3整除C．被5整除D．被7整除
【答案】B
【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式．
【详解】解：(2k+3)2-4k2
=(2k+3+2k)(2k+3-2k)
=3(4k+3)，
3(4k+3)能被3整除，
∴(2k+3)2-4k2的值总能被3整除，
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为a2-b2=(a-b)(a+b)通过因式分解，可以把多项式分解成若干个整式乘积的形式．
2．（2023·山东·统考中考真题）已知实数m满足m2-m-1=0，则2m3-3m2-m+9= ．
【答案】8
【分析】由题意易得m2-m=1，然后整体代入求值即可．
【详解】解：∵m2-m-1=0，
∴m2-m=1，
∴2m3-3m2-m+9
=2mm2-m-m2-m+9
=2m-m2-m+9
=m-m2+9
=-m2-m+9
=-1+9
=8；
故答案为8．
【点睛】本题主要考查因式分解及整体思想，熟练掌握利用整体思维及因式分解求解整式的值．
3．（2021·广东·统考中考真题）若x+1x=136且0N；
（2）解：∵2368-2265=14954420-14964420=-14420-25且k≠0
(2)x1=3+14，x2=3-14
【分析】（1）根据题意，可得2k+42-4kk-6>0，注意一元二次方程的系数问题，即可解答，
（2）将k=1代入kx2-2k+4x+k-6=0，利用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：依题意得：k≠0Δ=2k+42-4kk-6=40k+16>0，
解得k>-25且k≠0；
（2）解：当k=1时，原方程变为：x2-6x-5=0，
则有：x2-6x+9=5+9，
∴x-32=14，
∴x-3=±14，
∴方程的根为x1=3+14，x2=3-14．
【点睛】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次方程是解题的关键．
3．（2022·四川南充·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为x1,x2，若x1+1x2+1=-1，求k的值．
【答案】(1)k≤174；
(2)k=3
【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2）≥0，解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=-3,x1x2=k-2，将等式左侧展开代入计算即可得到k值．
【详解】（1）解：∵一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根．
∴∆≥0，即32-4（k-2）≥0，
解得k≤174
（2）∵方程的两个实数根分别为x1,x2，
∴x1+x2=-3,x1x2=k-2，
∵x1+1x2+1=-1，
∴x1x2+x1+x2+1=-1，
∴k-2-3+1=-1，
解得k=3．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键．
题型10 一元二次方程根与系数的关系
若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0 QUOTE ≠0，Δ≥0 ）的两个根是x1和x2，则x1，x2与方程的系数a，b，c之间有如下关系：x1+x2＝-ba； x1•x2＝ca
一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△≥0.
用根与系数的关系求值时的常见转化：
已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1,x2
1）平方和 x12+x22= (x1+x2)2-2x1x2
2）倒数和 1x1 + 1x2 = x1+x2x1x2
3）差的绝对值 | x1 - x2 |= (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
4) x1x2+x2x1 = x12+x22x1x2=(x1+x2)2-2x1x2x1x2
5） (x1+1)(x2+1)= x1x2+(x1+x2)+1
1．（2022·湖北黄石·统考中考真题）阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程x22-13x2+36=0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y=x2，则原方程可化为y2-13y+36=0，经过运算，原方程的解为x1,2=±2，x3,4=±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足m2-m-1=0，n2-n-1=0，且m≠n，显然m，n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n=1，mn=-1．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
方程x4-5x2+6=0的解为_______________________；
(2)间接应用：
已知实数a，b满足：2a4-7a2+1=0，2b4-7b2+1=0且a≠b，求a4+b4的值；
(3)拓展应用：
已知实数x，y满足：1m4+1m2=7，n2-n=7且n>0，求1m4+n2的值．
【答案】(1)x1=2，x2=-2，x3=3，x4=-3
(2)454或45±7414
(3)15
【分析】（1）利用换元法降次解决问题；
（2）模仿例题解决问题即可；
（3）令1m2=a，-n=b，则a2+a-7=0，b2 +b=0，再模仿例题解决问题．
【详解】（1）解：令y=x2，则有y2-5y+6=0，
∴（y-2）（y-3）=0，
∴y1=2，y2=3，
∴x2=2或3，
∴x1=2，x2=-2，x3=3，x4=-3，
故答案为：x1=2，x2=-2，x3=3，x4=-3；
（2）解：∵a≠b，
∴a2≠b2或a2=b2a=-b
①当a2≠b2时，令a2=m，b2=n，
∴m≠n则2m2-7m+1=0，2n2-7n+1=0，
∴m，n是方程2x2-7x+1=0的两个不相等的实数根，
∴m+n=72mn=12，
此时a4+b4=m2+n2=m+n2-2mn=454；
②当a2=b2a=-b时，a2=b2=7±414，
此时a4+b4=2a4=2a22=27±4142=45±7414；
综上：a4+b4=454或45±7414
（3）解：令1m2=a，-n=b，则a2+a-7=0，b2+b-7=0，
∵n>0，
∴1m2≠-n即a≠b，
∴a，b是方程x2+x-7=0的两个不相等的实数根，
∴a+b=-1ab=-7，
故1m4+n2=a2+b2=a+b2-2ab=15．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法，解一元二次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题．
2．（2022·四川凉山·统考中考真题）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝-ba，x1x2＝ca
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求nm+mn的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求1s-1t的值．
【答案】(1)32；-12
(2)-132
(3)17或-17
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；
（2）根据根与系数的关系先求出m+n=32，mn=-12，然后将nm+mn进行变形求解即可；
（3）根据根与系数的关系先求出s+t=32，st=-12，然后求出s-t的值，然后将1s-1t进行变形求解即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2=-ba=--32=32，x1⋅x2=ca=-12．
故答案为：32；-12．
（2）∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，
∴m+n=-ba=--32=32，mn=ca=-12，
∴nm+mn=m2+n2mn
=m+n2-2mnmn
=322-2×-12-12
=-132
（3）∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，
∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，
∴s+t=-ba=--32=32，st=ca=-12，
∵t-s2=t+s2-4st
=322-4×-12
=94+2
=174
∴t-s=172或t-s=-172，
当t-s=172时，1s-1t=t-sst=172-12=-17，
当t-s=-172时，1s-1t=t-sst=-172-12=17，
综上分析可知，1s-1t的值为17或-17．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出t-s=172或t-s=-172，是解答本题的关键．
3．（2023·湖北黄石·统考中考真题）关于x的一元二次方程x2+mx-1=0，当m=1时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．
(1)求黄金分割数；
(2)已知实数a，b满足：a2+ma=1,b2-2mb=4，且b≠-2a，求ab的值；
(3)已知两个不相等的实数p，q满足：p2+np-1=q,q2+nq-1=p，求pq-n的值．
【答案】(1)-1+52
(2)2
(3)0
【分析】（1）依据题意，将m=1代入然后解一元二次方程x2+x-1=0即可得解；
（2）依据题意，将b2-2mb=4变形为-b22+m⋅-b2-1=0，从而可以看作a，-b2是一元二次方程x2+mx-1=0的两个根，进而可以得解；
（3）依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得pq，进而可以得解．
【详解】（1）依据题意，
将m=1代入x2+mx-1=0得x2+x-1=0，
解得x=-1±52，
∵黄金分割数大于0，
∴黄金分割数为-1+52．
（2）∵b2-2mb=4，
∴b2-2mb-4=0，
则-b22+m⋅-b2-1=0．
又∵b≠-2a，
∴a，-b2是一元二次方程x2+mx-1=0的两个根，
则a⋅-b2=-1，
∴ab=2．
（3）∵p2+np-1=q，q2+nq-1=p；
∴p2+np-1+q2+nq-1=q+p；
即p2+q2+np+q-2=p+q；
∴p+q2-2pq+np+q-2=p+q．
又∵p2+np-1-q2+nq-1=q-p；
∴p2-q2+np-q=-p-q；
即p-qp+q+n+1=0．
∵p，q为两个不相等的实数，
∴p-q≠0，
则p+q+n+1=0，
∴p+q=-n-1．
又∵p+q2-2pq+np+q-2=p+q，
∴-n-12-2pq+n-n-1-2=-n-1，
即pq-n=0．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题．
4．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个实数根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：x1+x2=-ba，x1x2=ca．
材料2：已知一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵m，n是一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根，
∴m+n=1,mn=-1．
则m2n+mn2=mnm+n=-1×1=-1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2=___________，x1x2=___________；
(2)类比：已知一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根为m，n，求m2+n2的值；
(3)提升：已知实数s，t满足2s2+3s-1=0，2t2+3t-1=0且s≠t，求1s-1t的值．
【答案】(1)-32，-12
(2)134
(3)1s-1t的值为17或-17．
【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出m+n=-32，mn=-12，再根据m2+n2=m+n2-2mn，最后代入求值即可；
（3）由题意可将s、t可以看作方程2x2+3x-1=0的两个根，即得出s+t=-32，st=-12，从而由t-s2=t+s2-4st，求得t-s=172或t-s=-172，最后分类讨论分别代入求值即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程2x2+3x-1=0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2=-ba=-32，x1⋅x2=ca=-12．
故答案为：-32，-12；
（2）解：∵一元二次方程2x2+3x-1=0的两根分别为m、n，
∴m+n=-ba=-32，mn=ca=-12，
∴m2+n2=m+n2-2mn
=-322-2×-12
=94+1
=134；
（3）解：∵实数s、t满足2s2+3s-1=0，2t2+3t-1=0，
∴s、t可以看作方程2x2+3x-1=0的两个根，
∴s+t=-ba=-32，st=ca=-12，
∵t-s2=t+s2-4st
=-322-4×-12
=174，
∴t-s=172或t-s=-172，
当t-s=172时，
1s-1t=t-sst=172-12=-17，
当t-s=-172时，
1s-1t=t-sst=-172-12=17，
综上分析可知，1s-1t的值为17或-17．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系：x1+x2=-ba和x1⋅x2=ca是解题关键．
一、一元一次方程
二、二元一次方程（组）
三、分式方程
增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根.
四、一元二次方程
五、一元一次不等式（组）
一、单选题
1．（2023·广东河源·统考三模）a、b为两个不等实数，a-1a=1，b-1b=1，则(a-1)(b-1)的值等于（ ）
A．-1B．1C．-2D．2
【答案】A
【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是根据题意得：a，b是方程x-1x=1的两个根，即：x2-x-1=0，根据根与系数的关系得到a+b=1，ab=-1，代入代数式求值即可．
【详解】解：根据题意得：a，b是方程x-1x=1的两个根，
即：x2-x-1=0，
∴a+b=1，ab=-1，
∴原式=ab-(a+b)+1
=-1-1+1
=-1．
故选：A．
2．（2023·辽宁·模拟预测）解分式方程2x=1x-1时，将方程两边都乘同一个整式．得到一个一元一次方程，这个整式是（ ）
A．xB．x-1C．x(x+1)D．x(x-1)
【答案】D
【分析】确定各分式的最简公分母，两边同时乘以最简公分母即可．
【详解】解：将2x=1x-1两边同时乘以xx-1即可得到一个一元一次方程，
故选：D．
【点睛】本题考查解分式方程的步骤——化为整式方程，解题的关键是找到最简公分母．
3．（2023·浙江衢州·校考一模）若x、y是两个实数，且x-x+y=-2y-x-y=1，则xyyx等于（ ）
A．-98B．-1627C．-89D．98
【答案】C
【分析】根据x、y的取值范围，去绝对值符号并分别讨论求得方程组的解，再代入代数式计算求解即可．
【详解】解：当x≥0，y≥0时，原方程组为：x-x+y=-2y-x-y=1，方程组无解；
当x≥0，y≤0时，原方程组为：x-x+y=-2-y-x-y=1，解得x=3，y=-2；
当x≤0，y≥0时，原方程组为：-x-x+y=-2y-x-y=1，方程组无解；
当x≤0，y≤0时，原方程组为：-x-x+y=-2-y-x-y=1，方程组无解；
综上得，原方程组的解为：x=3y=-2，
∴xyyx=3-2×(-2)3=-89，
故答案选C．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，涉及到绝对值计算，根据未知数的范围判断去绝对值后的符号是解此题的关键．
4．（2023·河北沧州·校考模拟预测）下列是解一元一次方程2(x+3)=5x的步骤：
2x+3=5x①→2x+6=5x②→2x-5x=-6③→3x=-6④→x=-2其中说法错误的是( )
A．①步的依据是乘法分配律B．②步的依据是等式的性质1
C．③步的依据是加法结合律D．④步的依据是等式的性质2
【答案】C
【分析】利用等式的基本性质即可判定对错．
【详解】解：解一元一次方程2(x+3)=5x的步骤：2x+3=5x①→2x+6=5x②→2x-5x=-6③→3x=-6④→x=-2，
①步的依据是乘法分配律，说法正确；
②步的依据是等式的性质1，说法正确；
③步的依据是合并同类项的法则，原说法错误；
④步的依据是等式的性质2，说法正确．
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握等式的基本性质是解本题的关键．
5．（2023·河北保定·统考模拟预测）已知数轴上两点A，B表示的数分别为a-2，1，那么关于x的不等式a-2x+a>2的解集，下列说法正确的是（ ）
A．若点A在点B左侧，则解集为x-2时，A的最小值为0D．若A的值是2，则a=3
【答案】C
【分析】根据分式无意义的条件可判断A，把a=-3代入原分式计算可判断B，把原式化为A=a+12a+2的形式，结合完全平方式和已知条件即可判断C，解方程a+1a+2=2，求出a即可判断D，即可得出答案.
【详解】解：A、当a=-2时，a+2=0，分式无意义，故本选项结论错误；
B、当a=-3时，A=a+1a+2=-3+1-3+2=-4，故本选项结论错误；
C、当a>-2时，A=a+1a+2=a2+2a+1a+2=a+12a+2≥0，∴当a=-1时，A的最小值为0，故本选项结论正确；
D、若A的值是2，则a+1a+2=2，解得a=±3，故本选项结论错误；
故选：C.
【点睛】本题是分式的综合题，主要考查了分式无意义的条件、分式方程的求解、分式的运算等知识，熟练掌握分式的相关知识、准确计算是解题的关键.
二、填空题
9．（2023·河南信阳·校考三模）小明在解方程x2-3x+2=0时，发现用配方法和公式法计算量都比较大，因此他又想到了另外一种方法，快速解出了答案：
方法如下：
x2-3x+2=0
x2-2x-x+2=0 第①步
x2-2x=x-2 第②步
xx-2=x-2 第③步
x=1 第④步
老师看到后，夸小明很聪明，方法很好，但是有一步做错了，请问小明出错的步骤为 （填序号）．
【答案】④
【分析】由xx-2=x-2，x-1x-2=0，解得x=1或x=2，进而判断作答即可．
【详解】解：xx-2=x-2，
x-1x-2=0，
解得x=1或x=2，
∴第④步错误，
故答案为：④．
【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于正确的解一元二次方程．
10．（2022·河北唐山·统考二模）已知两分式x2-2x+11x+1中间阴影覆盖了运算符号．
（1）若覆盖了“＋”，其运算结果为 ；
（2）若覆盖了“÷”，并且运算结果为1，则x的值为 ．
【答案】 x-1 ±3
【分析】根据分式的加法与解分式方程分别计算即可求解．
【详解】（1）x2-2x+1 + 1x+1 =x2-2+1x+1=x+1x-1x+1=x-1；
（2）x2-2x+1 ÷ 1x+1=1，
x2-2x+1×x+11=1；
x2-2=1，
∴x=±3，
经检验x=±3是原方程的解，
故答案为：x-1，±3．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，解分式方程，正确的计算是解题的关键．
11．（2022·河南·校联考模拟预测）如图，数轴上A，B两点表示的数分别为a，b，则关于x的不等式组x+1