2024~2025学年重庆市万州区九年级上学期期末模拟数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年重庆市万州区九年级上学期期末模拟数学试卷（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（40分）
1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x≥3B. x≤3C. x＞3D. x＜3
【答案】D
【解析】∵式子在实数范围内有意义，
∴＞0，
解得x＜3，
故选：D．
2. 2024年巴黎奥运会项目图标设计，不仅注重刻画运动员运动状态，更注重项目本身的展示．下列项目图标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
3. 下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ）
A. 鱼戏莲叶东B. 大漠孤烟直
C. 手可摘星辰D. 黄河入海流
【答案】C
【解析】A、是随机事件，故不符合题意；
B、是随机事件，故不符合题意；
C、是不可能事件，故符合题意；
D、是必然事件，故不符合题意；
故选：C．
4. 反比例函数经过点，则反比例函数的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】将点代入得：，解得：，
∴反比例函数的解析式为，
故选：B．
5. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（ ）

A. 8B. 16C. 24D. 32
【答案】C
【解析】∵，，
∴，
∵和是以点O为位似中心的位似图形，，
∴和的相似比为，
∵的周长为8，
∴的周长为24．
故选：C
6. 估算的值在（ ）
A. 2和3之间B. 3和4之间
C. 4和5之间D. 5和3之间
【答案】B
【解析】，
∵，∴，∴．
故选B．
7. 如图是三种化合物的结构式及分子式，则按其规律第9个化合物的分子式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】观察图形可得C右下角的数字是从1开始连续的正整数，H右下角的数字是从4开始的偶数，
∴第n个化合物的分子式为，
∴第9个化合物分子式为，
故选：D．
8. 已知实数满足，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】实数满足，，
是一元二次方程的两个实数根，
，
，
故选：B．
9. 如图，正方形的边长为，对角线，相交于点，点在的延长线上，，连接， 若为的中点，则线段的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】延长到，使，连接，过点作的垂线，垂足为
四边形是正方形
，
在中，
为的中点，为的中点
为的中位线
四边形是正方形
是等腰直角三角形
，
在中，由勾股定理得
故选：C．
10. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法：
①方程倍根方程；
②若是倍根方程，则；
③若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是倍根方程；
其中正确的有（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】C
【解析】
解得，
①错误；
解，可知，，由题意可知，或
当时，，将其代入
可知
当时，，将其代入
可知
可知②正确；
点在反比例函数的图象上
将其代入，整理得，由十字相乘法，可知，解得，，从而判断其符合倍根方程的定义．
故③正确．
所以正确的个数为2个
故选：C．
二、填空题（32分）
11. 计算：_________．
【答案】
【解析】
．
12. “四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分．某校七年级准备从这四部名著中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本）开展“名著共读”活动，则该年级的学生恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的概率是______．
【答案】
【解析】把《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》四本书分别记为A，B，C，D，根据题意，画出如下的树状图：
由树状图可知看出，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等．
两本是《三国演义》和《西游记》的结果有2种，
所以P（两本是《三国演义》和《西游记》）．
13. 一个多边形的内角和与外角和的差是，则它的边数为______．
【答案】7
【解析】设多边形的边数为，由题意得，
解得：，
故答案为：7．
14. 2024龙年春晚主题为“龙行龘龘（），欣欣家国”“龘”这个字引发一波热门关注，据记载，“龘”出自第一部楷书字典《玉篇》，“龙行龘龘”形容龙腾飞的样子，昂扬而热烈，某服装店购进一款印有“龘”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣1月份销售量为115件，3月份销售量为216件，设该款上衣销售量的月平均增长率为，则可列方程为________．
【答案】
【解析】根据题意得：，
故答案为：．
15. 如图，把三角形纸片折叠，使点、点都与点重合，折痕分别为DE，，得到，若厘米，则的边的长为______厘米．
【答案】
【解析】过点作于，
∵，，
∴，
由翻折得，，
∴，
故答案为：
16. 若数使关于的不等式组有且只有四个整数解，且使关于的一元二次方程有实数根，则符合条件的所有整数的和为 _______．
【答案】0
【解析】，
解①得，，
解②得，，
；
不等式组有且仅有四个整数解，
，
解得：；
关于的一元二次方程有实数根，
，，
，；
为整数，且，
可以是，，，
则符合条件的所有整数的和为；
故答案为：0．
17. 如图，在菱形中，点为边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，交于点，连接，交于点，已知，则_______，=______．
【答案】 23
【解析】过点B作于点M，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
过点F作交AD、的延长线于点P、Q，在PD上截取，连接，
∵是菱形，
∴，，，
由旋转可得，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴DP=2，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴．
18. 一个四位数，其中均为两位数，的十位数字相同且，则的最小值是_____；将放在的左边形成一个新的四位数，我们称为的“合构数”，若的百位数字与它的个位数字相乘所得的积能被它的百位数字加4的和整除，且能被17整除，则满足条件的的最小值是_______．
【答案】
【解析】设较大的两位数是，则较小的两位数是，
则，
∵A是四位数，
当时，不符合题意；
当时，，符合题意；
∴ 的最小值是，
∵能被17整除，
∴，中必有一个是的整数倍，即为，68，；
当时，，数，这时不能被整除，不符合题意；
当时，，数，这时不能被整除，不符合题意；
当时，，数，这时能被整除，不符合题意；
当时，，数，这时能被整除，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，数，这时能被整除，不符合题意；
故满足条件的的最小值是，
故答案为：1023，．
三、解答题（19题8分，其余各题每题10分，共78分）
19. 计算：
（1）；
（2）．
解：（1）原式；
（2）原式
.
20. 每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下：
八年级抽取的学生的竞赛成绩：
4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．
七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表
七年级抽取的学生的竞赛成绩条形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______，______；
（2）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数；
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩谁更优异．
解：（1）七年级抽取的20名学生中，将成绩按从小到大的顺序排列，由条形统计图可知，第10位学生的成绩是7分，第11位学生的成绩是8分，
∴七年级抽取学生的成绩的中位数是，即；
同理可求得八年级抽取学生成绩的中位数是8，即；
八年级抽取的学生成绩中，8分出现的次数最多，
∴众数是8，即，
故答案为：7.5，8，8；
（2）（人），
即该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的约有200人；
（3）八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优异，因为八年级的中位数高于七年级的中位数．
21. 在学习了菱形的相关知识后，小明同学进行了关于菱形的判定方法的深入研究，他发现对于一个任意平行四边形，满足对角线平分其中一个内角，则该平行四边形是菱形．可利用三角形的全等和菱形的判定得到此结论，请根据这个思路完成作图和填空．
（1）尺规作图：在四边形中，作的角平分线，交于点，在上取一点、使得，连接（不要求写作法，保留作图痕迹）：
（2）在（1）所作的图中，其中，求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程）
证明：，_____①_____，
四边形是平行四边形，
平分，
_____②_____，
，
，
_____③_____，
，
平行四边形是菱形．
请根据题目表述及证明过程，写出你的结论：_____④_____是菱形．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：，，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形．
请根据题目表述及证明过程，写出你的结论：对角线平分其中一个内角的平行四边形是菱形．
故答案为：，，，对角线平分其中一个内角的平行四边形．
22. 为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对A、B两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年A、B两个品种各种植了10亩．收获后A、B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B品种的平均亩产量比A品种高100千克，A、B两个品种全部售出后总收入为21600元．
（1）求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？
（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收入将增加，求a的值．
解：（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x、y千克，
由题意得，解得．
答：A．B两个品种去年平均亩产量分别是400、500千克
（2）根据题意得：．
令a%=m，则方程化为：．
整理得10m2-m=0，
解得：m1=0（不合题意，舍去），m2=0.1
所以a%=0.1，所以a=10，
答：a的值为10．
23. 如图，在矩形中，，，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动，当它到达点时停止运动；同时，点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，过点作直线平行于，点为直线上的一点，满足的面积为2，设点、点的运动时间为，的面积为，的长度为．
（1）分别求出，与的函数关系，并注明的取值范围；
（2）在坐标系中画出，的函数图象，并写出函数，的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过）
解：（1）当点在线段上时，
当点在线段上时，
当点在线段上时，
综上所述，
的面积为2
（2）函数图象如图所示：
（3）观察图象可知时，的取值范围为：（右端值可为4.6，4.7，4.8，4.9）．
24. 今年校庆期间，小南和小开相约从宿舍大门出发去参观学校的津之南美术馆．如图，小南选择路线1：，小开选择路线．经勘测，A，D，E三点共线，且点，点在点的北偏东方向上，点在点的正西方向，且在点的北偏西方向；点在点的正北方向，且在点的正东方向，所有点A，B，C，M，D，E都在同一平面内．测量得知，点恰好为中点，米，米．
（1）求A，E两地之间的距离（结果保留根号）；
（2）已知小南的速度为每分钟50米，小开的速度为每分钟60米，小南和小开同时从宿舍大门A出发沿着各自选择的路线匀速前往津之南美术馆M，请通过计算时间说明他们俩谁先到达M（时间精确到0.1）？（参考数据：）
解：（1）如图，作于N，交于H，
由题意知，
，
，
四边形是矩形，
．
设，则，
在中，，
在中，，
，
解得，即，
，
，
在中，，
A，E两地之间的距离为米；
（2）在中，，
由（1）知四边形是矩形，
，
等腰中，，
，
，
（米），
（米），
小南所用时间为：（分钟），
小开所用时间为：（分钟），
，
小开先到达M．
25. 如图1，在平面直角坐标系中，点，点，直线与反比例函数的图象在第一象限相交于点，
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图2，点是反比例函数图象上一点，连接，，试问在轴上是否存在一点，使的面积与的面积相等，若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）新定义：如图3，在平面内，如果三角形的一边等于另一边的3倍，这两条边中较长的边称为“麒麟边”，两条边所夹的角称为“麒麟角”，则称该三角形为“麒麟三角形”，如图所示，在平面直角坐标系中，为“麒麟三角形”， 为“麒麟边”， 为“麒麟角”，其中，两点在反比例函数图象上，且点横坐标为，点坐标为，当为直角三角形时，求的值．
解：（1）设直线的表达式为：，
由点，点得，解得
所以直线的表达式为：，
当时，即，则，
即点，
将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
即反比例函数的表达式为：；
（2）存在，理由：
点是反比例函数图象上一点，
则点，
当点在点右侧时，
过点作直线，交轴于点，则点为所求点，
直线的表达式为：，，
则直线的表达式为：，
令，则，解得：，则点，
则，
当点在点的左侧时，
则点的坐标为：，
即点，
综上，点的坐标为：或；
（3）为“麒麟三角形”， 为“麒麟边”， 为“麒麟角”，
，
是直角三角形，
不可能为斜边，即，
或，
如图1，当时，过作轴于，过作轴于，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
点坐标为，
，
此时，点不可能在反比例函数上，故该情况不存在；
②如图2，当时，过作轴于，过作轴交于，
，
，
，
，
，
，
，，
设，，
，
，
点坐标，点坐标．
，在上，
，
解得：；
综上，，
则点的坐标为：，
将点的坐标代入函数表达式得：．
26. 在中，，，点为上一动点，连接，将绕着点逆时针方向旋转得到，连接．
（1）如图1，，点恰好为中点，与交于点，若，求的长度；
（2）如图2，与交于点，连接，在延长线上有一点，，求证：；
（3）如图3，与交于点，且平分，点是线段上一点，点为线段上一点，连接，，点为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在，运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值．
（1）解：，，，
，，，
点为中点，，
，
将绕着点逆时针方向旋转得到，
，，；
（2）证明：如图1，过点作交于点，
，，
，，
，
，，
，，
，
将绕着点逆时针方向旋转得到，
，，
，
，
，，
，
又，，
，
，
，
；
（3）解：如图2，在上截取，连接，
平分，
，
又，
，
，
，
当点，点，点三点共线，且时，有最小值，
如图3，
，，
，
将沿直线翻折至所平面内得到，
，，
，
，
，
，
，
，
又，
点，点，点三点共线，
将沿直线翻折至所在平面内得到，
，
，
，，
，
，
，
，
．年级
七年级
八年级
平均数
7.4
7.4
中位数
众数
7
合格率
90%