2025届陕西省宝鸡市高三上学期联考月考数学试卷（解析版）

这是一份2025届陕西省宝鸡市高三上学期联考月考数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了 设集合，，则， 已知复数满足，则复数的虚部为， 已知向量，则“”是“”的， 圆的圆心到直线的距离为1，则， 已知，，则， 等比数列的各项均为正数，且等内容，欢迎下载使用。
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】集合，,
故，
故选；C
2. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为复数满足，则，
因此，复数的虚部为.
故选：A.
3. 已知向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】.
而，解得或，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
4. 圆的圆心到直线的距离为1，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】由配方得，所以圆心为，
因为圆的圆心到直线的距离为1，
所以，解得.
故选：A.
5. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，则，，
因为，
则①，
等式①的两边同时除以可得，
解得，
故选：D.
6. 等比数列的各项均为正数，且.设，则数列的前项和（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，则，
则，
所以，所以，因为，可得，
所以，
所以，
所以，，
即数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，
所以，
因此.
故选：B.
7. 已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设、，
若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，
因为线段的中点坐标为，则，
则，两式相减得，
则，
因为，所以，，
所以，，解得，
因此，双曲线的标准方程为.
故选：D.
8. 某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（ ）（参考数据：）
A. 3937万元B. 3837万元C. 3737万元D. 3637万元
【答案】A
【解析】设该公司在2024年，2025年，...，2033年的销售额（单位：万元）分别为.
依题意可得，则，
所以数列是首项为90，公比为1.3的等比数列，
则，即，
则，
故从2024年到2033年该产品的销售总额约为3937万元.
故选：A.
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则.
C. 若，则
D. 若，则.
【答案】AC
【解析】对于A：因为，可知在平面内存在直线，使得，如图所示，

又因为，且，则，所以，因此A正确；
对于B：如图所示：，但，故B错误；

对于C：若，则由线面垂直的判定定理得，故C正确.

对于D：，如图所示，，故D错误.

故选：AC.
10. 已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C.D. 6个零点之和是6
【答案】BD
【解析】由函数的图像，经过轴翻折变换，可得函数的图像，
再向右平移1个单位，可得的图像，
最终经过轴翻折变换，可得的图像，如图所示，
则函数的图像关于直线对称，
令，
因为函数最小的零点为，且，
故当时，方程gx=0有4个零点，
所以要使函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则或，
由，可得或，
设的四个根从小到大依次为，
由函数y=fx的图象关于直线对称，可得，
所以的所有零点之和是6，故D正确；
关于的方程的两个实数根为和，
由韦达定理，得，所以B正确，A，C错误.故选：BD.
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，在上单调递增
B. 若，且，则函数的最小正周期为
C. 若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，
则的最小值为3
D. 若在上恰有4个零点，则的取值范围为
【答案】ABD
【解析】对于A，当时，若，则，
由于在上单调递增，故在上单调递增；故A正确；
对于B，若，且，则当且仅当，
故B正确；
对于C，若的图象向左平移个单位长度后，
得到的图象所对应的函数表达式为：，
若的图象关于轴对称，则，
注意到，
所以当且仅当时，的最小值为4，故C错误；
对于D，，，得到，
若在上恰有4个零点，
则当且仅当，解得，即的取值范围为，故D正确.
故选：ABD.
三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2 +y2- 4y= 0所截得的弦长为__________.
【答案】
【解析】设弦长为，过原点且倾斜角为60°的直线方程为
整理圆的方程为：，圆心为，半径
圆心到直线的距离为：
则：
故答案为：
13. 已知数列前项和为，且，若存在两项使得，当时，则最小值是__________.
【答案】4
【解析】由，得，
两式相减得，
而，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，即，
因为，则，即，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以最小值是，
故答案为：.
14. 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则__________.
【答案】
【解析】因为的导数为，则，
所以曲线在处的切线方程为，即，
又切线与曲线相切，
设切点为，
因为，所以切线斜率为，解得，
所以，则，解得.
故答案为；.
四､解答题：本题共5小题，第15题13分，第16､17小题15分，第18､19小题17分，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 如图，已知的半径是1，点在直径的延长线上，，点是上半圆上的动点，以为边作等边三角形，且点与圆心分别在的两侧.
（1）若，试将四边形的面积表示成的函数.
（2）求四边形的面积的最大值.
解：（1）由已知：，
在中，，
由余弦定理知：，
所以，，
，
即；
（2）由（1）知，
则，
所以，
当，即时取到最大值.
即四边形的面积的最大值为.
16. 统计显示，我国在线直播生活购物用户规模近几年保持高速增长态势，下表为年—年我国在线直播生活购物用户规模（单位：亿人），其中年—年对应的代码依次为—.
，，，其中
参考公式：对于一组数据、、、，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
（1）由上表数据可知，若用函数模型拟合与的关系，请估计年我国在线直播生活购物用户的规模（结果精确到）；
（2）已知我国在线直播生活购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率，现从我国在线直播购物用户中随机抽取人，记这人中选择在品牌官方直播间购物的人数为，若，求的数学期望和方差.
解：（1）设，则，
因为，，，
所以，，
所以，与的拟合函数关系式为
当时，，
则估计年我国在线直播生活购物用户的规模为亿人.
（2）由题意知，
所以，，，
由，可得，
因为，解得，
所以，，.
17. 如图，在正四棱柱中，.点分别在棱上，.
（1）证明：；
（2）是在棱上否存在点，使得二面角为，若存在，求出点位置，若不存在，请说明理由.
（1）证明：以坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
，
，
又不在同一条直线上，.
（2）解： 假设在棱上存在点，使得二面角为，
则，
设平面的法向量，则，
令，得，
设平面的法向量，
则，
令，得，
，
化简可得，，解得或，或，
所以在棱上存在点，使得二面角为，点是线段靠近两端点的两个四等分点.
18. 已知抛物线的准线与椭圆相交所得线段长为.
（1）求抛物线的方程；
（2）设圆过，且圆心在抛物线上，是圆在轴上截得的弦.当在抛物线上运动时，弦的长是否有定值？说明理由；
（3）过作互相垂直的两条直线交抛物线于、、、，求四边形的面积最小值.
（1）解：由已知，抛物线准线与椭圆相交线段的一个端点坐标是，
把代入椭圆方程化简得，解得.
所以抛物线的方程为.
（2）解：假设在抛物线上运动时弦的长为定值，理由如下：

设在抛物线上，可知到轴距离为，
根据圆的弦长公式可知：，
由已知，，
所以，
则在抛物线上运动时弦的长的定值为.
（3）解：若过点且相互垂直的两条直线分别与两条坐标轴垂直，
则其中与轴重合的直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
设过的的两条直线的方程分别为、，其中，
设直线交抛物线于点、，
由得，，
由韦达定理可得，则，
同理可得，
所以，四边形的面积
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
即四边形的面积的最小值为.
19. 已知函数．
（1）当时，则过点的曲线的切线有几条?并写出其中一条切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若有唯一零点，求实数a的取值范围．
解：（1）当时，，，
设切点为，
因为切线过点0,2，所以切线斜率存在，故可设切线方程为，
则，
化简可得，
即，
由的判别式知方程有2个不等实根且不为1，
故有3个不等的实根，
所以切线有3条，其中一条切点横坐标为1，故，
所以切线方程为.
（2），
当时，，所以函数在上单调递增；
当时，，所以或时，f'x>0，单调递增，
当时，f'x