云南省昆明市第一中学2024-2025学年高三上学期第五次联考数学试题（Word版附解析）

这是一份云南省昆明市第一中学2024-2025学年高三上学期第五次联考数学试题（Word版附解析），共12页。试卷主要包含了 选择题的作答， 非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
命题人: 昆一中数学命题小组
审题人:杨昆华 张波 张兴虎 杨仕华 江明 李春宣 吕文芬 蔺书琴 陈泳序.崔锦: 本试卷共 4 页, 19 题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项:
1. 答题前, 先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上, 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、 草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答: 用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4. 考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的。
1. 复数 1−2i3+4i 的虚部为
A. −25 B. −25i C. 25 D. 25i
2. 已知集合 A={x,y∣x+y=0},B={x,y∣2x+y−1=0} ,则 A∩B=
A. {1} B. {1,−1} C.(1, - 1) D. {1,−1}
3. 设 m,n 是两条不同的直线, α,β 是两个不同的平面,则下列说法正确的是
A. 若 m//α,m//β ,则 α//β
B: 若 m//α,α//β ,则 m//β
若 m⊥n,m⊥α,n⊥β ,则 α⊥β
D. 若 α⊥β,m//α,n//β ,则 m⊥n
4. 已知 1+2xn=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯+anxn ,若 a3=4a2 ,则 n=
A. 5 B. 8 C. 9 D. 14
5. (人教 A 版选择性必修二教材 24 页习题 24 改编) 若 A,B 为圆 C 上两点,且 AB=2 ,则 AB⋅AC=
A. 12 B. 1 C. 2 D. 4
6. 设函数 fx=2x−2−x−sinx ,则使得 flg2x−flg12x≤2f1 成立的 x 的取值范围是
A. (−∞,2] B. (0,1] C. (0,2] D. [2,+∞)
7. 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,已知 ak2−ak−1−ak+1=0,S2k−1=22 ,则 k=
A. 11 B. 9 C. 8 D. 6
8. 双曲线 x2−γ23=1 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,过 F1 的直线 l 与双曲线的左、右两支分别交于 A , B 两点,则 S△AF1F2S△ABF2 的取值范围是
A. 0,13 B. 0,12 C. 13,12 D. 12,+∞
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题 目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知函数 fx=sinx+csx ,则
A. 函数 fx 的最大值为 2
B. 函数 fx 是奇函数
C. 函数 fx 在区间 −π4,π4 单调递减
D. 函数 fx 在 x=0 处的切线方程为 x−y+1=0
10. 对于一元线性回归模型, 下列说法错误的是
A. 对于随机误差 e ,在刻画成对变量的相关关系时,需假定 Ee=0
B. 解释变量的取值距离样本数据范围越远, 预报的效果越差
C. 在经验回归方程 y=−2x+3 中,样本点(1,1.2)的残差为. -0.2
D. 在经验回归方程 y=−2x+3 中,当解释变量 x 每增加 1 个单位时,响应变量 y 平均减少 3 个单位
11. 函数 fx 及其导函数 f′x 的定义域均为 R,fx 是奇函数, f1=−f2≠0 ,且对任意 x,y∈R , fx+y=fxf′y+f′xfy ,则
A. f0=0 B. f′1=12 C. k=12025fk=0 D. k=12025f′k=0
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知椭圆 C:x29+y25=1 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,若过原点且斜率不为 0 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,则 AF1+BF1= _____.
13. 已知正四棱锥 P−ABCD 的底面边长为 4,侧棱长为 8,用平行于底面的平面截去一个四棱锥,且截面与底面的面积之比为 1:4 ,则剩余几何体的体积为_____.
14. 已知 α∈0,π2,sin2α+β=3sinβ ,则 tanβ 的最大值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题,其中第 15 题 13 分,第 16、17 题 15 分,第 18、19 题 17 分,共 77分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
某数学建模小组研究挡雨棚(图 1),将它抽象为柱体(图 2),底面 △ABC 与 △A1B1C1 全等且所在平面平行, △ABC 与 △A1B1C1 各边表示挡雨棚支架,支架 AA1、BB1、CC1 垂直于平面 ABC . 雨滴下落方向与外墙 (所在平面) 所成角为 π6 (即 ∠AOB=π6 ),挡雨棚有效遮挡的区域为矩形 AA1 ( 0、O1 分别在 CA、C1A1 延长线上).
（1）挡雨板 (曲面 BB1C1C ) 的面积可以视为曲线段 BC 与线段 BB1 长的乘积. 已知 OA=1.5 米 AC=0.3 米, AA1=2 米,小组成员对曲线段 BC 有两种假设,分别为: ①其为线段且 ∠ACB= π3 ; ②其为以 0 为圆心的圆弧. 请分别计算这两种假设下挡雨板的面积(精确到 0.1 平方米)；
(2) 小组拟自制 △ABC 部分的支架用于测试 (图 3),其中 AC=0.6 米, ∠ABC=π2,∠CAB=θ ,其中 π61 时,判断 fx2−fx1 与 2x2−2x1 的大小,并说明理由.
17. (15 分)
如图 1,在 △ABC 中, AB=AC=6,BC=3,AB=3EB,AC=3FC ,将 △AEF 沿 EF 折起,使点 A 到达点 A1 位置,连接 A1B,A1C ,得到四棱锥 A1−BCFE ,如图 2 .
(1)若平面 A1BE∩ 平面 A1FC=l ,在线段 A1C 上是否存在一点 P ,使得 PF//l ,如果存在,指出点 P 的位置; 如果不存在,说明理由;
(2) 如图 3,若平面 A1EF⊥ 平面 BCFE ,且点 N 为 A1C 的中点,求直线 A1F 与平面 BFN 所成角的正弦值.
18. (17 分)
已知圆 C:x2+y−12=r2r>1 , A 为圆 C 与 y 轴负半轴的交点,过点 A 作圆 C 的弦 AM ,并使弦 AM 的中点 B 恰好落在 x 轴上,点 M 的轨迹为曲线 E,Q 为直线 y=−1 上的动点.
(1)求曲线 E 的方程；
(2) 过点 Q 作曲线 E 的切线,切点分别为 D,G .
① 求 CQ⋅DG 的值；
② 求 △QDG 面积的最小值.
19. (17 分)
材料一: 在伯努利试验中,记每次试验中事件 A 发生的概率为 p ,试验进行到事件 A 第一次发生时停止,此时所进行的试验次数为 ξ ,其分布列为 Pξ=k=1−pk−1⋅pk=1,2,3,⋯ , 我们称 ξ 服从几何分布,记为 ξ∼GEp .
材料二: 求无穷数列的所有项的和,如求 S=1+12+122+123+⋯=k=1∞12k−1 ,没有办法把所有项真的加完,可以先求数列前 n 项和 Sn=k=1n12k−1=21−12n ,再求 n→∞ 时 Sn 的极限: S=limn→∞Sn= limn→∞21−12n=2
根据以上材料, 我们重复抛掷一颗均匀的骰子, 直到第一次出现“6 点”时停止. 设停止时抛掷骰子的次数为随机变量 X .
(1) 证明: k=1∞PX=k=1 ;
(2)求随机变量 X 的数学期望 EX ；
(3) 求随机变量 X 的方差 DX .昆明市第一中学 2025 届高三年级第五次联考
数学参考答案
命题、审题组教师 杨昆华 张波 张兴虎 杨仕华 江明 李春宣 吕文芬 蔺书琴 陈泳序 崔锦
一、选择题
1. 解析: 1−2i3+4i=−15−25i ,所以虚部为 −25 ,选 A.
2. 解析: 由 x+y=02x+y−1=0 得 x=1y=−1 ,所以 A∩B={1,−1} ,选 D .
3. 解析: 对于 A ,平面 α,β 相交也成立,所以 A 错误; 对于 B,m//β 或 m⊂β ,所以 B 错误; 对于 D , 直线 m,n 可以平行,相交或异面,所以 D 错误,选 C.
4. 解析: 由题有 ar=Cnr2r ,所以 a3a2=23Cn322Cn2=12⋅nn−1n−26nn−12=4 ,所以 n=8 ,选 B.
5. 解析: 取 AB 的中点 M ,连接 CM ,则 CM⊥AB,AM=12AB ,又 AB⋅AC=AB⋅ACcs∠BAC , cs∠BAC=AMAC ,所以 AB⋅AC=AB⋅AM=12AB2=2 ,选 C .
6. 解析: 因为 f′x=2x+2−xln2−csx≥2ln2−csx=ln4−csx>lne−csx=1−csx≥0 ,所以 fx 在 R 上是增函数,又因为 f−x=−fx ,所以 fx 是奇函数,由 flg2x−flg12x≤2f1 得 2flg2x≤2f1 ,即 lg2x≤1 ,解得 00 ,所以 tanβ=11tanα+2tanα≤122 ,
当且仅当 1tanα=2tanα ,即 tanα=22 时,等号成立, tanβ 取得最大值 24 .
四、解答题
15. 解: (1) ① 其为直线段且 ∠ACB=π3 时, AC=0.3 米,
所以在 Rt △ACB 中, AC=BCcsπ3 ,即 BC=2AC=0.6 (米).
所以 S=BC⋅BB1=BC⋅AA1=0.6×2=1.2 (平方米); 3 分
② 其为以 O 为圆心的圆弧时,此时圆的半径为 OA+AC=1.8 (米),
圆心角 ∠AOB=π6 ,所以圆弧 BC 的长 l=1.8×π6=3π10 ,
所以 S=l⋅BB1=l⋅AA1=2×3π10≈1.9 (平方米) 6 分
(2)由题意, AB=ACcsθ=0.6csθ,∠ABO=θ−π6 ,
由正弦定理可得: OAsinθ−π6=ABsinπ6 , 9 分
即 OA=1.2csθsinθ−π6=1.2csθ32sinθ−12csθ=1.232sinθcsθ−12cs2θ
=0.632sin2θ−12cs2θ−12=0.6sin2θ−π6−0.3 ,其中 π61,g′x=−x−1e1−x+2x2 , 9 分
令 ℎx=−x−1e1−x+2,x>1,ℎ′x=xe1−x>0 , 12 分
函数 ℎx 在 1,+∞ 上单调递增,则 ℎx>ℎ1=0 ,即 g′x>0 ,
函数 gx 在 1,+∞ 上为增函数,当 x2>x1>1 时, gx2>gx1 ,
所以 fx2−fx1>2x2−2x1 . 15 分
17. (1) 证明: 在线段 A1C 上存在一点 P ,使得 PF//l ,理由如下:
作 A1B=3QB,AC=3PC ,连接 PF,PQ,QE ,则有 PQ//BC ,且 PQ=23BC ,
又 EF//BC ,且 EF=23BC ,所以 PQ//EF ,且 PQ=EF ,

所以四边形 PFEQ 是平行四边形,所以 PF//QE ,
因为 QE⊂ 平面 A1BE,PF⊄ 平面 A1BE ,所以 PF// 平面 A1BE ,
又 PF⊂ 平面 A1FC ,且平面 A1BE∩A1FC=l ,所以 PF//l ,
所以在线段 A1C 上存在一点 P ,使得 PF//l ,
且点 P 是 A1C 的一个三等分点靠近点 C ; 7 分
(2)取 EF 的中点 O,BC 的中点 M ,连接 A1O,OM ,
由平面 A1EF⊥ 平面 BCFE ,平面 A1EF∩ 平面 BCFE=EF,A1O⊂ 平面 A1EF ,
所以 A1O⊥ 平面 BCFE ,又因为 OM⊥EF ,如图所示,
以 O 为坐标原点, OM,OF,OA1 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴,如图建立空间直角坐标系 O−xyz ,
由题知 O0,0,0,A10,0,15,F0,1,0,C152,32,0,N154,34,152,B152,−32,0 ,
所以 BN=−154,94,152,FB=152,−52,0,A1F=0,1,−15 ,
设平面 BFN 的法向量为 n=x,y,z ,则 n⋅BN=0n⋅FB=0 ,

所以 −154x+94y+152z=0152x−52y=0 ,可取 n=5,15,−2 ,
设直线 A1F 与平面 BFN 所成角为 θ ,
所以 sinθ=csn,A1F=n⋅A1Fn⋅A1F=31544×4=316588 ,
所以直线 A1F 与平面 BFN 所成角的正弦值为 316588 . 15 分
18. 解: (1) 设 Mx,yy>0 ,由题知 AM 的中点 Bx2,0,C0,1 ,则 BC=−x2,1,BM=x2,y ,
由圆的性质知: BC⊥BM ,所以 BC⋅BM=0 ,即 −x24+y=0
所以曲线 E 的方程为 x2=4yy>0 . 5 分
(2)① 设 Dx1,y1,Gx2,y2,Qx0,−1,C0,1 ,
求导得 y′=x2 ,则切线 QD 的方程为: y−y1=x12x−x1=x12x−x12 ,又 x122=2y1 ,
所以切线 QD 的方程为: y=x12x−y1 ,同理,切线 QG 的方程为: y=x22x−y2 ,
又两条切线都过点 Qx0,−1 ,所以 −1=x12x0−y1−1=x22x0−y2 ,则直线 DG 的方程为 y=x02x+1 ,
由 y=x02x+1,x2=4y, 消去 y 得: x2−2x0x−4=0 ,故 x1+x2=2x0x1⋅x2=−4 ,则 Qx1+x22,−1 ,
CQ=x1+x22,−2,DG=x2−x1,y2−y1=x2−x1,x224−x124,
所以 CQ⋅DG=x2​2−x1​22−x2​2−x1​22=0 11 分
② 由 ①知,直线 DG 恒过定点 C0,1,CQ⊥DG , 由抛物线定义得: DG=y1+y2+2=14x1​2+14x2​2+2=14x1+x22−2x1x2+2=14x1+x22+4 ,
CQ=x1+x222+4=14x1+x22+4,
所以 △QDG 的面积: S△DQQ=12CQDG=1214x1+x22+43 ,
当 x1+x2=0 时, △QDG 面积取得最小值 4 . 17 分
19. 解: (1) 可知 X∼GE16 ,且 PX=k=56k−1⋅16,k=1,2,3,… ,
所以 Sn=560⋅16+561⋅16+562⋅16+…+56n⋅16=16×1−56n1−56=1−56n ,
则 k=1∞PX=k=limn→∞Sn=limn→∞1−56n=1 . 6 分
( 2 )设 Tn=k=1nk⋅PX=k=16×560+26×561+36×562+…+n6×56n−1 ,
所以 56Tn=16×561+26×562+…+n−16×56n−1+n6×56n ,
两式相减得 16Tn=16×560+16×561+16×562+…+16×56n−1−n6×56n ,
所以 Tn=560+561+562+…+56n−1−n×56n=61−56n−n×56n ,
则随机变量 X 的数学期望 EX=limn→∞Tn=limn→∞61−56n−n×56n=6 . .12 分
(3)因为 DX=k=1∞k−62⋅PX=k=limn→∞k=1nk−62⋅56k−1⋅16
=k=1∞k2−12k+36⋅PX=k
=k=1∞k2PX=k+k=1∞−12kPX=k+k=1∞36⋅PX=k
=k=1∞k2PX=k−12×6+36=k=1∞k2PX=k−36,
而 k=1∞k2PX=k=12×560×16+22×561×16+32×562×16+⋯+n2×56n−1×16+⋯ ,
56×k=1∞k2PX=k=12×561×16+22×562×16+⋯+n−12×56n−1×16+⋯,
两式相减: 16k=1∞k2PX=k=1×560×16+3×561×16+5×562×16+⋯+2n−156n−1×16+⋯
=k=1∞2k⋅PX=k−k=1∞PX=k=2EX−1=11,
从而 k=1∞k2PX=k=66 ,
那么 DX=k=1∞k2PX=k−36=30 . 19 分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
C
B
C
C
D
B
题号
9
10
11
答案
AD
CD
ACD