2024-2025学年河南省南阳市高三上学期12月月考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年河南省南阳市高三上学期12月月考数学检测试卷（附解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，若，则（ ）
A．B．C．2D．6
2．已知，其中a，b为实数，则在复平面内复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知，，若，则（ ）
A．2B．3C．5D．12
4．2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.某网站全程转播了该次世界杯，为纪念本次世界杯，该网站举办了一针对本网站会员的奖品派发活动，派发规则如下：①对于会员编号能被2整除余1且被7整除余1的可以获得精品足球一个；②对于不符合①中条件的可以获得普通足球一个.已知该网站的会员共有1456人（编号为1号到1456号，中间没有空缺），则获得精品足球的人数为（ ）
A．102B．103C．104D．105
5．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
6．若四棱锥的棱，的长均为2，其余各棱长均为，则该四棱锥的高为（ ）
A．B．C．D．1
7．某高校举行一场智能机器人大赛.该高校理学院获得8个参赛名额.已知理学院共有4个班，每个班至少要有一个参赛名额，则该理学院参赛名额的分配方法共有（ ）
A．20种B．21种C．28种D．35种
8．已知函数的图象与函数的图象有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知数列的前项和为，若数列和均为等差数列，且，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数为上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数的最小正周期，，且在处取得最大值.下列结论正确的有（ ）
A．
B．的最小值为
C．若函数在上存在零点，则的最小值为
D．函数在上一定存在零点
三、填空题（本大题共3小题）
12．近年来，理财成为了一种趋势，老黄在今年买进某个理财产品.设该产品每个季度的收益率为，且各个季度的收益之间互不影响，根据该产品的历史记录，可得.若老黄准备在持有该理财产品4个季度之后卖出.则至少有3个季度的收益为正值的概率为 .
13．已知抛物线C：y=，直线：，：，M为C上的动点，则点M到与的距离之和的最小值为 .
14．已知数列满足，且，为数列的前项和，则 ， .
四、解答题（本大题共5小题）
15．某公司为响应《中国制造2025》中提出的坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人才为本”的基本方针，准备加大研发投资．市场部对同类产品连续5个月的销售单价和月销售量的数据进行了统计，得如下统计表：
(1)建立关于的线性回归方程；
(2)根据（1）的结果，若该产品成本是0.5元/件，月销售单价（其中）为何值时，公司月利润的预测值最大？
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式：，．
16．已知数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求证.
17．如图，在四棱台中，平面平面ABCD，底面ABCD为正方形，，.

(1)求证：平面.
(2)点在直线上，且平面MCD，求与平面所成角的正弦值.
18．已知函数的图象在处的切线方程为．
(1)求，的值及的单调区间．
(2)已知，是否存在实数，使得曲线恒在直线的上方？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
19．已知椭圆：经过点，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线，均过点A，且互相垂直，直线与圆O：交于M，N两点，直线与椭圆C交于另一点B，求面积的最大值.
答案
1．【正确答案】A
【详解】因为集合，，且，
则有，所以.
故选：A
2．【正确答案】D
【详解】由，可得，
则，解之得，则，
其在复平面内对应点的坐标为，该点位于第四象限.
故选：D
3．【正确答案】C
【详解】因为，，
所以，得，则，
所以，
故.
故选：C.
4．【正确答案】C
【详解】将能被2整除余1且被7整除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为，
由已知是的倍数，也是的倍数，
故为的倍数，
所以首项为，公差为的等差数列，
所以，
令，可得，又
解得，且，
故获得精品足球的人数为.
故选：C.
5．【正确答案】A
【详解】，则,
故，又，则.
故选：A.
6．【正确答案】B
【详解】如图连接，，交点为，
，，，
，，
由题意得，，，即，
又，所以，，平面，
平面，
又平面，
平面平面，
过点作，垂足为，由面面垂直的性质可知平面，连接，，
，，，平面，，，
由，是公共边，，
，同理可得，
，，，四点在以为直径的圆周上，
所以，即，所以，
在和中分别利用余弦定理可得，
即，，所以，，
即，所以，
设外接圆的半径为，则，所以，
即，所以，
即该四棱锥的高为.
故选：B
7．【正确答案】D
【详解】将8个参赛名额看成8个元素，之间会产生7个空隙，则分配方法数为.
故选：D
8．【正确答案】A
【详解】令，则
，令，则
，令，则.
令在上单调递增；
在上单调递减；
又，，则有且只有两根，分别为.
则函数的图象与函数的图象有且仅有两个不同的交点，
等价于方程组有且只有一组实数根.
令，则，
当时，，则此时在上递增，又.
即，则有且只有一组实数根.
当时，方程组有且只有一组实数根，
等价于函数图象与直线图象有两个交点，
临界情况为两条直线与图象相切.
当与相切，设对应切点为，因
，则相应切线方程为
；
当与相切，设对应切点为，则相应切线方程为
，则.
综上，.
故选：A
9．【正确答案】BD
【详解】数列为等差数列，设其首项为，公差为d，
则，
，
由数列为等差数列，可得
则，
两边平方整理得，，
两边平方整理得，，解之得，
则，，
选项A.判断错误；
选项B.判断正确；
选项C.判断错误；
选项D.判断正确.
故选：BD
10．【正确答案】AC
【详解】已知函数为上的奇函数，则，即，解得，A正确；B错误；
又因为，即，从而周期为8，，
，
.
因为当时，，所以，
从而，，，
所以，C正确；D错误.
故选：AC.
11．【正确答案】ACD
【详解】A选项，因在处取得最大值，则图象关于对称，则
，故A正确；
B选项，最小正周期，则，，
则或，又在处取得最大值，
则，则或，
其中，则的最小值为，故B错误；
C选项，由AB选项分析结合，可知时，
可取，令，
则，其中.
当时，不存在相应的，当时，，则存在满足题意；
由AB选项分析结合，可知时，
可取，令，
则，
当时，不存在相应的，当时，，则存在满足题意，
综上可知的最小值为，故C正确；
D选项，由C分析可知，时，可取，
此时，，存在零点；
时，可取，
此时，，存在零点；
当时，，注意到，
则此时函数在上一定存在零点，
综上在上一定存在零点，故D正确.
故选：ACD
12．【正确答案】
【详解】因为，
所以，
所以，
则至少有3个季度的收益为正值的概率为.
故答案为.
13．【正确答案】3
【详解】由题，抛物线焦点为F0,1，准线为，过M点作，准线垂线，垂足分别为B，C.
过M点作垂线，垂足为A，则M到与的距离之和为.
由抛物线定义知，又，则.
当且仅当三点共线时，最短时，
而为F到直线距离，
所以.
所以点M到与的距离之和的最小值为3.
故3.
14．【正确答案】
【详解】因为数列满足，
所以，即，，
所以，解得，同理可得: ， ，
则.
由，
当时，可得，
可化为:，即，以此类推得：
，
所以，可化为:，
所以数列是等比数列，公比为，首项为，
所以，可变形为，
又，，所以时也成立.
所以数列是等比数列，公比为，首项为，
，可得，
所以，
所以.
故答案为: ；.
15．【正确答案】(1)
(2)当时,取得最大值,最大值为51.1万元.
【分析】（1）求出，再代入公式即可得求出，最后得到线性回归方程.
（2）由（1）得，利用二次函数的图象与性质即可得到最值.
【详解】（1）由题意知，，
，
故，
关于的线性回归方程为.
（2）设公司月利润的预测值为,则由（1）可得
，
因为,所以当时,取得最大值,最大值为51.1万元.
16．【正确答案】(1)
(2)证明见解析.
【详解】（1）由题可得为公差的等差数列，设首项为，因，
则.则；
（2）由（1），则.
当时，左边，右边，左边右边，原不等式成立
当时，左边，右边，左边右边，原不等式成立；
假设当，不等式成立，则.
当时，
，
注意到
，
则.
综上可知：
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因平面平面ABCD，平面平面ABCD，，平面ABCD，
则平面.又平面，则；
又在等腰梯形，如下图，作，
由题可知，，又，则，结合，得.
因，则.
又平面，平面，，
则平面；
（2）如图，以A为原点建立空间直角坐标系.
则，又由（1）可得
.
因在直线，则，
则，即.
则.
又，平面MCD，则.
得.则，.
又由（1）得，可取为平面的一个法向量，，
设与平面所成角为，则.
即与平面所成角的正弦值为.

18．【正确答案】(1),,的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)，理由见解析.
【详解】（1）因为，所以，
又在处的切线方程为，所以故，
又，所以切线方程为，故，
所以，则
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
综上，的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）且.
由曲线恒在直线的上方,知.
当时，等价于，即
设则.
由（1）可知，当时，单调递增,所以.
设，则，
当时，，所以在上单调递减，
所以.
所以当时，，所以在上单调递增，
所以，所以.
当时，等价于，即
设由①可知.
由（1）可知，当时，单调递减,所以.
再设，则，
当时，所以在上单调递增，所以.
所以当时，，所以在上单调递增，
所以，所以.
综上可知，存在实数，使得曲线恒在直线的上方.
19．【正确答案】(1)椭圆C的标准方程为；
(2)面积的最大值为.
【详解】（1）因为经过点，
所以，解得，
因为椭圆的离心率为，
所以，又，
所以，
故椭圆C的标准方程为；
（2）若直线的斜率为，则的斜率不存在，
所以的方程为，
直线与椭圆的交点为，与条件矛盾；
由已知当直线的斜率不存在时，的斜率为，
所以的方程为，的方程为，
联立可得，或，
故，
联立，可得或，
所以点的坐标为，
所以点到直线的距离为，
所以的面积为，
当直线的斜率存在且不为时，设其方程为 .
则直线的方程为.
圆心到直线的距离为.
直线被圆截得的弦长为，
由，消可得，，
设点的坐标为，则，故，，
所以点的坐标为，
所以.
因为，
所以
.
当时，时，上式等号成立.
因为，
所以当直线的方程是时，面积取得最大值，最大值为.
月销售单价（元/件）
1
2
3
4
5
月销售量万件
28
23
19
15
10