2024-2025学年广东省清远市清新区高一上学期12月期末联考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年广东省清远市清新区高一上学期12月期末联考数学检测试卷（附解析），共13页。
说明：
1．本卷总分150分，考试时长120分钟．
2．考生必须用黑色钢笔或签字笔在答题卷指定范围内作答，答在试题卷上无效．
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．
1. 若，则（）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由条件可知，，，，
则，，，
，，，所以，
，，，所以，
，，，所以，
综上可知，.
故选：C
2. 设集合，，则（）
A. B. C. D.
答案：B
解析：因为集合，，
所以.
故选：B.
3. 已知全集，集合，，则为
A. 且B. 或
C. 或D. 且
答案：C
解析：，
=
又本题中的全集
或.
如图，
故选:C.
4. 若，，则是（）
A. 第一象限角B. 第二象限角
C. 第三象限角D. 第四象限角
答案：A
解析：由，，
得，，
所以是第一象限角.
故选：A.
5. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（）
A. B. C. D.
答案：D
解析：因为角的终边经过点，
所以，，，
于是．
故选：D.
6. 已知集合，则（）
A. B. C. D.
答案：D
解析：，则.
故选：D
7. 已知函数是定义在的单调函数，且对于任意的，都有，若关于的方程恰有两个实数根，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
答案：C
解析：因为函数是的单调函数，且对于任意的，都有，
所以为定值，设，可得，
又由，可得，解得或（舍去），
所以，则方程，即，即，
则关于的方程恰有两个实数根，即，
即函数和有两个交点，
设，则，即且，可得，
当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，
所以，且，当时，，
要使得方程恰有两个实数根，可得，解得，
即实数的取值范围为.
故选：C.
8. 函数的值域是（）
A B. C. D.
答案：A
解析：因为函数在R上是减函数，且，
所以当时，函数取得最小值为
当时，函数取得最大值为
故函数的值域为
故选：
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．
9. 下列说法正确是（）
A. 与是同一函数
B. 已知，则
C. 对于任何一个函数，如果因变量y的值不同，则自变量x的值一定不同
D. 函数在其定义域内是单调递减函数
答案：AC
解析：与的定义域与对应法则相同，故为同一函数，A正确；
令得，令得，所以，故B错误；
函数中一个值只能对应一个值，如果值不同，则的值一定不同，故C正确；
的单调减区间为和，但不能说在其定义域内单调递减，故D错误.
故选：AC
10. 对于函数，若存在两个常数，，使得，则称函数是“函数”，则下列函数能被称为“函数”的是（）
A. B.
C. D.
答案：ABD
解析：对A：若，则，
即存在两个常数，，使得使得成立，
故为“函数”，A正确；
对B：若，则，
若为定值，则，解得，且，
故存在两个常数，，
则为“函数”，B正确；
对C：若，则
∵不为定值，
即不存在两个常数，，使得，
不为为“函数”，C错误；
对D：若，则，
若，即，
可得，解得，
即存在两个常数，使得使得成立，
故为“函数”，D正确；
故选：ABD.
11. 若，，且，则下列不等式一定成立的是（）
A. B.
C. D.
答案：ACD
解析：由已知可得，
对于A项，，所以，由及不等式性质得，故A成立.
对于B项，，因为，所以，
当时，，即，故B项不一定成立.
对于C项，当时，，所以；当时，成立，故C项一定成立.
对于D项，由，，得，所以，故D项一定成立.
故选：ACD
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12. 若两个正实数x，y满足＋＝1，并且2x＋y＞m恒成立，则实数m的取值范围是___________．
答案：
13. 已知函数在R上单调递增，则实数的取值范围为______________.
答案：
解析：由于函数在上单调递增，
所以需要满足：，解得，
故答案为.
14. 函数，则_________.
答案：
解析：由题得函数的定义域为，函数的定义域为R,
所以的定义域为.
所以.
故答案为
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.
（1）求的单调区间.
（2）求值域.
答案：（1）在上单调递减，在上单调递增；
（2）的值域为
（1）解析：
由题，
.
因，则
则当，即时，单调递减；
，即时，单调递增.
故在上单调递减，在上单调递增；
（2）解析：
由（1），；
.
则的值域为.
16. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”.
（1）求证：是函数的一个“优美区间”；
（2）已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最大值.
答案：（1）证明见解析
（2）
（1）解析：
因在区间上单调递增，
又，，
所以的值域为，
所以区间是的一个“优美区间”.
（2）解析：
设是已知函数定义域的子集，
因为的定义域为，则或，
而函数在上单调递增，
若是已知函数的“优美区间”，则，
所以，是方程，即的两个同号且不等的实数根，
因为，
所以，同号，只需，
解得或，
因为，
所以当时，取得最大值.
17. 已知
（1）求的值．
（2）求的值．（结果保留根号）
答案：（1）；
（2）.
（1）解析：
由，得，
∵，,
∴，
∴，
∴.
（2）解析：
由（1）知，
∴.
18. 已知二次函数=ax2+bx+c.
（1）若f(﹣1)=0，试判断函数零点个数；
（2）是否存在a，b，c∈R，使同时满足以下条件
①当x=﹣1时，函数有最小值0；
②对任意x∈R，都有；
答案：（1）详见解析；
（2）存在.
（1）解析：
解：因为f(﹣1)=0，
所以，即，
则，
当时，函数有一个零点；
当时，函数有二个零点；
（2）解析：
因为当x=﹣1时，函数有最小值0，
所以，即，；
又因为对任意x∈R，都有；
当时，，即，
由，解得，
此时，
则，
满足对任意x∈R，都有
故存在a，b，c∈R，使同时满足以下条件①②.
19. 已知集合，
(1)若，求；
(2)若，写出A对应的区间，并在时，求a的取值范围．
答案：（1）（2）
解析：（1）由题意知：
（2）
法一：当时,,,不合题意,
当时,,
所以,,即
.
法二：当时,；当时,
由,得.
解得