湖北省十堰市2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷（解析版）

这是一份湖北省十堰市2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 方程中二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A. 1，，B. 1，，2
C. 1，3，D. 2，，3
【答案】A
【解析】解：∵,
∴，
∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是，
故选：A．
2. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解： A．“大”是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．“美”是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．“十”是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项合题意；
D．“堰”不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
3. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A. B. C. 4D. 16
【答案】C
【解析】∵方程有两个相等的实数根，，
∴，
∴，
解得．
故选C．
4. 如图，是⊙的直径，是弦，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：是⊙的直径，
，
，
，
；
故选：C．
5. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由抛物线向右平移2个单位，得：；再向上平移2个单位，得：，所以A、C、D错误；
故选B．
6. 如图，小明为检验 ，，， 四点是否共圆，用尺规分别作了 ， 的垂直平分线，它们交于点 ，则 ，，， 四点中，不一定在以 为圆心， 为半径的圆上的点是（ ）
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
【答案】C
【解析】解：如图，连接 ，，，，
∵ ， 的垂直平分线交于点 ，
∴ ，
∴ ，， 在以点 为圆心， 为半径的圆上，
∴ 与 的大小关系不能确定，
∴点不一定在圆上．
故选C．
7. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转60°，得到，则点C的坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：过点作，如下图：

则
由题意可得：，，
∴，
∴，
∴，，
∴点的坐标为，
故选：B
8. 某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降低的百分率为，根据题意列出的方程是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】解：设平均每月降低的百分率为，
由题意得，，
故选B．
9. 我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，图1有1颗弹珠；图2有3颗弹珠；图3有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，…；若用表示图的弹珠数，其中，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
…
当时：；
；
故选：D．
10. 如图，已知抛物线（）的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图象如图所示．给出以下结论：①；②；③；④若，（其中）是抛物线上的两点，，则，其中正确的选项是（ ）
A. ①②③B. ①④C. ①②③④D. ①②④
【答案】D
【解析】解：二次函数开口向下，
，
二次函数对称轴为，
，
，
，故①正确；
∵过点，二次函数对称轴为，
∴由对称性可得二次函数与x轴的另一交点为，
由函数图象可得，当时，，
，故②正确；
由函数图象可得，当时，，
，
把代入，得，故③错误；
∵对称轴是直线，
∴若，即时，，
∴当时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
∵二次函数开口向下，
∴，故④正确；
综上所述，正确的选项是①②④，
故选： ．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 点A（a，3）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b＝_____．
【答案】1
【解析】根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，
∴a=4且b=-3，
∴a+b=1．
故答案为1
12. 如图，是城市雨水排水管道的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度是______．
【答案】
【解析】解：如图所示，过点作于点，交于点，则，

∵水的最深处到水面的距离为，的半径为．
∴，
在中，，
∴，
故答案为：．
13. 已知A(-4，y1)，B(-1，y2)，C(2，y3)三点都在二次函数y=a(x+2)2+c（a>0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为__________．
【答案】y2˂ y1˂y3（y3>y1>y2 也可）
【解析】二次函数y=a(x+2)2+c（a>0）的图像开口方向向上，对称轴是x=-2，
A(-4，y1) 距对称轴的距离是2，B(-1，y2)距对称轴的距离是1， C(2，y3) 距对称轴的距离是4
所以y2˂ y1˂y3
故答案为：y2˂ y1˂y3
14. 已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于__________．
【答案】7
【解析】解：∵是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
故答案为为：．
15. 如图，在矩形中，分别是边，上的点，且，将矩形沿折叠，点恰好落在边上点处，再将沿折叠，点恰好落在上的点处．若，，则的长为______．
【答案】
【解析】解：∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴，
由折叠的性质可得：，，，，，
∴，，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9个小题，共75分）
16. 选择适当的方法解方程：.
解：x2-2x+1=1+1，
（x-1）2=2，
x-1=±，
x1=1+，x2=1-；
17. 计算：.
解：
．
18. 已知，是一元二次方程的两个实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）如果，满足不等式，且为整数，求的值．
解：（1）方程有两个实数根，
Δ，
即，
解得，
∴实数的取值范围是；
（2），是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
，
解得，
且为整数，
的值为或0．
19. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为2,1．
（1）把向左平移4个单位后得到对应的，请画出平移后的，并写出点的坐标；
（2）把绕原点顺时针旋转后得到对应的，请画出旋转后的，并写出点的坐标．
解：（1）如图所示，即为所求，点的坐标为；
（2）如图所示，即为所求，点的坐标为．
20. 如图，直线与抛物线交于，两点：
（1）若，，且，求点坐标；
（2）若，且点纵坐标等于4，直接写出不等式的解集为____________．
解：（1）∵直线与抛物线交于，两点，，
∴可得：，，
∴，即：直线的解析式为，
∵，，
∴由可得，
∴，
∴抛物线解析式为：，
∴联立：，
解得：或者，
∴交点的坐标为：，
（2）∵直线与抛物线交于，两点，，
∴可得：，
∴，即：直线的解析式为，
∵点纵坐标等于4，
∴，
∴，
∴，
如图：
将变形为：，
不等式的含义为：抛物线的图象在直线的图象下方时，自变量的取值范围，
即：解集为：，
即答案为：．
21. 如图，，交于点，，是半径，且于点．
（1）求证：．
（2）若，，，求的长度．
解：（1）证明：，是半径，
，
，
，
垂直平分，
；
；
（2）解：如图，连接，设的半径是r，，
∵，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
.
22. 根据以下素材，完成探索任务
解：任务1：根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
，
，
答：道路宽度x的值为10米；
任务2：设每平方米草莓平均利润下调y元，
则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要让利于顾客，
．
答：每平方米草莓平均利润下调40元．
23. 如图1，在中，°，，点，分别在边，上，，连接BD，点F，P，G分别为的中点.
（1）如图1中，线段与的数量关系是_____，位置关系是_____；
（2）若把绕点C逆时针方向旋转到图2的位置，连接，判断的形状，并说明理由；
（3）若把绕点C在平面内自由旋转，，请求出面积的最大值.
解：（1）∵ ，，
∴，
∵点F，P，G分别为的中点.
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）是等腰直角三角形，理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由（1）得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
∴是等腰直角三角形；
（3）由（2）可知是等腰直角三角形，
，
∴当最大时，面积最大，如图所示：
此时，点 在的延长线上，
，
∴，
.
24. 如图，抛物线（，是常数）的顶点为，与轴交于，两点，．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）连接，作直线，点为轴上一动点，其横坐标为（且），过点作交直线于点，连接．设的面积为．
①求关于的函数关系式；
②根据的不同取值，试探索点的个数情况．
解：（1），，
，
将，分别代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）设，
①由可知，
设直线的解析式为，
将，分别代入，
得解得，
直线的解析式为，
同理可求直线的解析式为，
∵，
设直线的解析式为，
将代入，得，
，
直线的解析式为，
联立，解得，
，
如图1，当时，
，
；
如图2，当时，
，
综上可知，；
②如图3，
对于，
，
画出图象，如图：
当时，对于每个S的值，存在3个P点；
当时，存在2个P点；
当时，对于每个S值，存在1个P点．
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1
其农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果，出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米
素材2
该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果．若每平方米的草莓销售平均利润为元，每月可销售平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调3元，每月可多销售平方米草莓，果园每月的承包费为2万元．
问题解决
任务1
解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．
（1）若中间种植的面积是，求道路宽度的值．
任务2
解决果园种植的预期利润问题．（总利润销售利润承包费）
（2）若农户预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？