湖北省部分市州2024-2025学年高三上学期元月期末联考数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖北省部分市州2024-2025学年高三上学期元月期末联考数学试卷（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知命题，命题，则命题是命题的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据指对函数的性质，结合充分，必要条件，即可判断选项.
【详解】因为函数和都是增函数，
若命题成立，则，则，
所以命题是命题的充分条件，
反之，若命题成立，则，但当是非正数时，不等式没有意义，
所以命题不是命题的必要条件，
所以命题是命题充分不必要条件.
故选：A
2. 已知单位向量满足，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量数量积公式，即可求解.
【详解】，
所以，则.
故选：C
3. 若复数是纯虚数，则的值可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由纯虚数的特征，即可列式求解.
【详解】由题意可知，，，
得，根据选项可知，只有满足条件.
故选：C
4. 若随机变量的分布列如下表，表中数列为等差数列，则的取值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
3
4
5
6
7
【分析】根据分布列的性质和等差数列的性质，即可求解.
【详解】由分布列的性质可知，，再根据数列为等差数列，
则，即，则.
故选：D
5. 函数在处的切线与直线垂直，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出导数，，利用函数在处的切线与直线垂直，列出方程，即可求出实数的值．
【详解】函数，求导得，
在处的切线斜率为，
又在处的切线与直线垂直，
所以，解得.
故选：B.
6. 已知抛物线为坐标原点，是抛物线上任意一点，为焦点，且，则直线的斜率的最大值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】首先设点的坐标，再表示点的坐标，并表示，利用基本不等式求最值.
【详解】设，，由可知，，
直线斜率最大，则点是第一象限的点，即，
所以，
当，即时，等号成立，
所以直线斜率的最大值为1.
故选：B
7. 正方体的棱长为3，平面内一动点满足，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求点的轨迹方程，并确定三棱锥体积最大时的点的位置，再代入三棱锥外接球的半径公式，即可求解.
【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
，，，由可知，
，
整理为，
所以点的轨迹是平面内，以为圆心，2为半径的圆，
如下图，点到平面的最大值为6，此时点在的延长线上，且，
所以平面，，
等腰直角三角形的外接圆的半径为，
所以三棱锥的外接球的半径，
所以三棱锥外接球的表面积
故选：C
8. 已知对恒成立，则的最小值为（ ）
A. 4B. 6C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先分析函数在区间的零点和正负区间，再根据不等式分析函数的零点，利用韦达定理表示 关系，再结合基本不等式，即可求解.
【详解】当，，则，
当，，
当，，，
当，，
当，，，
若对恒成立，
则，并且函数的两个零点分别是1和7，
则，则，，，
所以，
当，，即时，等号成立，
所以的最小值为6.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题的关键是转化为分析两个函数和 的零点.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 回归直线恒过样本中心点，且至少过一个样本点
B. 用决定系数刻画回归效果时，越接近1，说明模型的拟合效果越好
C. 将一组数据中每一个数据都加上同一个正数后，标准差变大
D. 基于小概率值的检验规则是：当时，我们就推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过
【答案】BD
【解析】
【分析】由回归直线的性质即可判断A；利用相关指数的性质即可判断B；由标准差的性质即可判断C；
由独立性检验的思想即可判断D.
【详解】A：回归直线恒过样本点的中心正确，但不一定会过样本点，故A错误；
B：用相关指数来刻画回归效果时，越接近1，说明模型的拟合效果越好，故B正确；
C：将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，数据的波动性不变，
故方差不变，则标准差不变，故C错误；
D：根据独立性检验可知D正确.
故选：BD
10. 如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为为线段的中点，射线与单位圆交于点，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. 点的坐标为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据几何图形，即可确定A，结合三角函数的定义，以及向量数量积的定义和坐标表示，即可判断BC，根据三角函数的定义，结合三角恒等变换，即可判断D.
【详解】A.因为点是的中点，且，所以，故A正确；
B.有条件可知，，，，
，
所以，故B错误；
C.，故C正确；
D.
所以点的坐标为，故D正确.
故选：ACD
11. 直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线族（不包括直线）．直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线．已知直线族，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则该直线族的包络曲线为圆
B. 若，则该直线族的包络曲线为椭圆
C. 当时，点可能直线族上
D. 当时，曲线是直线族的包络曲线
【答案】ABD
【解析】
【分析】设圆上的点为，求解该圆的切线方程即可判断选项A；设椭圆上的点为，求解该椭圆的切线方程即可判断选项B；若点可能在直线族
上，则存在使得，即函数有零点，因而对函数零点个数进行分析从而判断选项C；当时，直线族为，将其与曲线联立可得，即可得直线和曲线相切, 故可判断选项D.
【详解】对于A，设圆：上的点为，直线的斜率为，过点作圆的切线，由，得，
所以切线的方程为，即，故A正确；
对于B，设椭圆上的点为，过点作圆的切线，
当切线斜率存时，设，，联立得： ，
所以，.
作商：，得，
所以切线的方程为，即；
当切线斜率不存在时，或，则切线方程和亦满足，故B正确；
对于C，将代入得，构造， ，
当时，；当，.
所以在上单调递减，在上单调递增，
因而当时，取到最小值，
所以在无零点，无解，故C错误；
对于D，若不在直线族上，则将代入直线得无解，则，所以,
因而可得当在曲线上时，则一定在直线族上，
联立和得，所以，故直线和相切，
又不包括直线，所以是直线族的包络曲线，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 等比数列的前项和为，且，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据等比数列的公式和性质，即可求解.
【详解】设等比数列的公比为，
由条件可知，，所以，，
所以.
故答案为：
13. 若为曲线上任意两点，则两点间距离的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】作出曲线的图象，结合图象分析任意两点距离的最大值即可得出结果.
【详解】由题意可得曲线关于轴，轴，原点对称，
当时，曲线方程化为，圆心;
当时，曲线方程化为，圆心；
当时，曲线方程化为，圆心；
当时，曲线方程化为，圆心；
当时，；当时，.
作出曲线在平面直角坐标系下的图象如下图：
曲线上任意两点距离的最大值为，
故答案为：.
14. 已知，若不等式恒成立，则的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】首先不等式转化为，恒成立，转化为求函数的最值，并求得，再讨论的正负，转化为，转化为的最大值，即可求解.
【详解】，则，
所以不等式恒成立，即，恒成立，
，，所以
设，
，得，
当，，单调递增，当，，单调递减，
所以当时，函数取值最大值，
所以，即，
当时，，
当时，，
设，，，得，
当，，单调递增，当，，单调递减，
所以当时，函数取得最大值，
所以的最大值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题转化为2次最值，一次是参变分离为，，转化为求函数的最值，第二次是转化为，转化为求函数的最值.
四、解答题：共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知的内角的对边分别为，且．
（1）求；
（2）若，求的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换和正弦定理，化简条件等式，即可求解；
（2）首先根据正弦定理以及二倍角的正弦公式，化简求角，再根据正弦定理，即可求解.
【小问1详解】
由条件可知，，
因为，所以，
即，由正弦定理可知，，
即，且，
所以，则，，
所以.
【小问2详解】
由正弦定理可知，，
即，则，，
所以，，所以，
且，，则，
由正弦定理可知，，即，
，
所以，则,
所以的周长为.
16. 已知函数．
（1）时，求的极值；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）函数取得极大值，无极小值；
（2）
【解析】
【分析】（1）首先利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值；
（2）利用参变分离，转化为，恒成立，再转化为利用导数求函数的最值问题.
【小问1详解】
当时，，，
，得，
当，，单调递增，当，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值，无极小值；
【小问2详解】
由题意可知，，
即恒成立，即，恒成立，
设，，
设，，
，
设，所以，得（负值舍去），
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以的最大值为，即恒成立，
所以单调递减，且，
所以当时，，即，单调递增，当时，，即，单调递减，
所以的最大值为，
所以.
17. 如图，四棱锥中，是边长为2的正方形，是以为顶点的等腰直角三角形，为的中点，为的中点，．
（1）证明：；
（2）过两点的平面与直线分别交于点，且平面，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据几何关系，证明平面，即可证明线线垂直；
（2）根据线面平行的性质定理说明，再根据（1）的结果，以点为原点建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用向量法求解.
【小问1详解】
连结，因为是等腰直角三角形，且为斜边的中点，
所以，且，
，，
所以，
所以，且，平面，
所以平面，且平面，
所以.
【小问2详解】
连结，因平面，平面，平面平面，
所以，即，
由（1）知平面，
如图以点为原点，为轴，过点作与平行的直线为轴，
，，，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，，
则平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为
则，即，令，则，
所以平面的一个法向量，
设平面与平面夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18. 已知椭圆的左，右焦点为，点是椭圆上任意一点，的最小值是．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆的上，下顶点，为椭圆上异于的两点，记直线的斜率分别为，且．
（ⅰ）证明：直线过定点；
（ⅱ）设直线与直线交于点，直线的斜率为，试探究满足的关系式．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）证明见详解；（ⅱ）.
【解析】
【分析】（1）将转化为，由求出即可；
（2）设出直线方程，联立直线与椭圆方程得，由韦达定理及化简求解即可得出直线过定点；写出直线方程，作比化简得出，解得，即点在直线上，记与轴的交点为，借助表达出即可.
【小问1详解】
由椭圆知，，
，
所以，所以，
所以椭圆的方程为；
【小问2详解】
（ⅰ）若直线斜率不存在，则，不符合题意；
当直线斜率存在时，设直线方程为，
联立直线与椭圆方程，得，
由韦达定理可得，，
所以，
又因为，
所以，
又因为，所以，解得，
即直线方程为，
故直线过定点；
（ⅱ）由（ⅰ）可知，直线方程为，直线方程为，
所以，解得，即点在直线上，
记与轴的交点为，
则，
，
又因为同号，所以.
19. 某商家推出一个活动：将n件价值各不相同的产品依次展示在参与者面前，参与者可以选择当前展示的这件产品，也可以不选择这件产品，若选择这件产品，该活动立刻结束；若不选择这件产品，则看下一件产品，以此类推，整个过程参与者只能继续前进，不能返回，直至结束．同学甲认为最好的一定留在最后，决定始终选择最后一件，设他取到最大价值产品的概率为；同学乙采用了如下策略：不取前件产品，自第件开始，只要发现比他前面见过的每一个产品的价值都大，就选择这件产品，否则就取最后一件，设他取到最大价值产品的概率为．
（1）若，求和；
（2）若价值最大的产品是第件（），求；
（3）当趋向于无穷大时，从理论的角度（即），求的最大值及取最大值时的值．（取）
【答案】（1），
（2）
（3）的最大值为，此时
【解析】
【分析】（1）根据题意直接求，根据同学乙的选法规则，结合排列问题，即可求解；
（2）根据题意，结合排列，组合问题，以及古典概型概率公式，即可求解；
（3）根据（2）的结果，以及全概率公式求，再构造函数，利用导数求函数的最值.
【小问1详解】
由题意可知，，
依题意，4个产品的位置从第一个到第4个排序，有种情况，同学乙要取最贵价值产品，有以下两种情况：
最贵价值产品是第3个，其它的随意在哪个位置，有种情况；最贵价值产品是第4个，第二贵价值产品是第1个或第2个，
其它的随意在哪个位置，有种情况，所以所求概率
【小问2详解】
法一：若考虑全部产品排序，价值最大的产品是第件，共有种排法，
先从件产品中挑件产品出来，
其中价值最大的产品放在前，剩下的全排列，共种排法，剩下的件产品全排列，
即
；
法二：若价值最大的产品是第件，则乙同学能取到该产品，
只需要前件产品中价值最大的产品排在前件，即；
【小问3详解】
记事件表示最贵价值产品被乙同学取到，事件表示最贵价值产品排在第个，则，
由全概率公式可知，，
当时，最贵价值产品在前个中，不会被取到，此时,
当时，最贵价值产品被取到，当且仅当前件产品中最贵的一个在前个之中，此时，
此时，
令，，由，得，
当时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
则，于是当时，取得最大值，
所以的最大值为，此时的值为.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解同学乙的选法规则，利用排列，组合，解决概率问题.