河北省石家庄市2024-2025学年高三上册1月期末数学学情检测试题

这是一份河北省石家庄市2024-2025学年高三上册1月期末数学学情检测试题，共7页。试卷主要包含了 已知，则， 若数列有，为前n项积，有，则等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区城内．
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8个小题，每题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 若，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
3. 在△ABC中，O为重心，D为BC边上近C点四等分点，，则m＋n＝（ ）
A. B. C. D.
4. 一个灯罩可看作侧面有布料的圆台，在原形态下测得的布料最短宽度为13，将其压扁变为圆环，测得布料最短宽度为5，则灯罩占空间最小为（ ）
A. B. C. D. 不存在
5 若六位老师前去某三位学生家中辅导，每一位学生至少有一位老师辅导，每一位老师都要前去辅导且仅能辅导一位同学，由于就近考虑，甲老师不去辅导同学1，则有（ ）种安排方法
A. 335B. 100C. 360D. 340
6. 已知函数将其向右平移个单位长度后得到，若在上有三个极大值点，则一定满足单调递增区间为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 若已知函数，，，若函数存在零点（参考数据），则的取值范围充分不必要条件为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4个小题，每题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9. 在正方体中，分别为棱中点，为近C三等分点，P在面上运动，则（ ）
A. ∥平面
B. 若，则C点到平面PBH的距离与P点位置有关
C.
D. 若，则P点轨迹长度为
10. 若数列有，为前n项积，有，则（ ）
A. 为等差数列（）B. 可能
C. 为等差数列D. 第n项可能与n无关
11. 已知抛物线C：，过点P（0，p）直线，AB中点为，过A，B两点作抛物线的切线轴＝N，抛物线准线与交于M，下列说法正确的是（ ）
A. 轴B. O为PN中点
C. D. M为近四等分点
12. 已知奇函数，，且，当时，，当时，，下列说法正确的是（ ）
A. 是周期为的函数
B. 是最小正周期为的函数
C. 关于中心对称
D. 直线与若有3个交点，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 中常数项是_________．（写出数字）
14. 若⊙C：，⊙D：，M，N分别为⊙C，⊙D上一动点，最小值为4，则取值范围为_________．
15. 已知双曲线，，分别为双曲线左右焦点，作斜率为的直线交于点，连接交双曲线于点，若，则双曲线的离心率_________．
16. 已知函数，，使得，的取值范围为_________．
四、解答题：本题共六个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知O为△ABC外心，S为△ABC面积，r为⊙O半径，且满足
（1）求∠A大小；
（2）若D为BC上近C三等分点（即），且，求S最大值．
18. 张老师在2022年市统测后统计了1班和3班的数学成绩如下图所示
，
，
（1）根据卡方独立进行检验，说明是否有99.9%的把握数学成绩与班级有关；
（2）现在根据分层抽样原理，从1班和3班中抽取10人，再让数学评价优秀的同学辅导一位数学评价一般的同学，每个人必有一人辅导，求在抽到甲辅导乙的情况下丙辅导丁的概率．
（3）以频率估计概率，若从全年级中随机抽取3人，求至少抽到一人数学成绩为优秀的概率．
（4）以频率估计概率，若从三班中随机抽取8人，求抽到人数学成绩为优秀的分布列（列出通式即可）及期望，并说明x取何值时概率最大．
19. 在△ABC中，，A、B、C、D四点共球，R（已知）为球半径，O为球心，为外接圆圆心，（未知）为⊙半径．
（1）求和此时O到面ABC距离h；
（2）在的条件下，面OAB（可以无限延伸）上是否存在一点K，使得KC⊥平面OAB？若存在，求出K点距距离和到面ABC距离，若不存在请给出理由．
20. 在高中的数学课上，张老师教会了我们用如下方法求解数列的前n项和：形如的数列，我们可以错位相减的方法对其进行求和；形如的数列，我们可以使用裂项相消的方法对其进行求和．李华同学在思考错位相减和裂项相消后的本质后对其进行如下思考：
错位相减：设，
综上：当中间项可以相消时，可将求解的问题用错位相减化简
裂项相消：设或为公比为1等比数列；
①当时，
②当为公比为1的等比数列时，；
故可为简便计算省去②的讨论，
综上：可将求解的问题用裂项相消转化为求解的问题
你看了他的思考后虽觉得这是“废话文学”，但是你立刻脑子里灵光一闪，回到座位上开始写下了这三个问题：
（1）用错位相减的方法“温故”张老师课堂上举的例子，求解数列{}前n项和；
（2）用裂项相消的方法“知新”张老师课堂上举的例子，求解数列{}前n项和；
（3）融会贯通，求证：前n项和满．
请基于李华同学的思考做出解答，并写出裂项具体过程．
21. 在平面直角坐标系中，分别为，，⊙，为⊙上一点，为线段上一点，⊙C过和．
（1）求点轨迹方程，并判断轨迹形状；
（2）过两直线交分别于、和、，，分别为和中点，求、轨迹方程，并判断轨迹形状；
（3）在（2）条件下，若PQ//x轴，，求点轨迹方程，并判断轨迹形状．
22 已知函数.
（1）求证：；
（2）若，都，求k满足的取值范围．
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828