2024-2025学年四川省绵阳市高二上册期末数学质量检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年四川省绵阳市高二上册期末数学质量检测试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）抛物线y＝4x2的焦点坐标是（ ）
A．（0，1）B．（1，0）C．(0，116)D．(116，0)
2．（5分）已知点A（2，1，﹣1）关于y轴的对称点为B，则|AB→|等于（ ）
A．32B．26C．2D．25
3．（5分）我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有1200人，其中一、二、三年级的人数比为3：4：3，要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则应抽取的一年级学生的人数为（ ）
A．52B．48C．36D．24
4．（5分）若直线l过点（﹣3，﹣2），且与双曲线x24−y2=1过第一和第三象限的渐近线互相垂直，则直线l的方程为（ ）
A．2x+y﹣8＝0B．2x+y+8＝0C．2x﹣y+8＝0D．2x﹣y﹣6＝0
5．（5分）安排甲，乙，丙三位志愿者到编号为1，2，3的三个教室打扫卫生，每个教室恰好安排一位志愿者，则甲恰好不安排到3号教室的概率为（ ）
A．23B．34C．14D．13
6．（5分）已知直线l：kx+y+2﹣k＝0过定点M，点P（x，y）在直线2x﹣y+1＝0上，则|MP|的最小值是（ ）
A．5B．5C．355D．55
7．（5分）已知 M（﹣2，0），圆C：x2﹣4x+y2＝0，动圆P经过M点且与圆C相切，则动圆圆心P的轨迹方程是（ ）
A．x2−y23=1（x≥1）B．x23−y2＝1（x≥3）
C．x2−y23=1D．x23−y2＝1
8．（5分）已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点，B是C的下顶点，直线BF2与C的另一个交点为A，且满足F1A→⊥F1B→，则C的离心率为（ ）
A．55B．255C．12D．32
二、多选题：（本题共3小题，每题6分，共18分）
（多选）9．（6分）一只不透明的口袋内装有9张相同的卡片，上面分别标有1∼9这9个数字（每张卡片上标1个数），“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字为2或5或8”记为事件A，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字不超过6”记为事件B，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字大于等于7”记为事件C．则下列说法正确的是（ ）
A．事件A与事件C是互斥事件
B．事件B与事件C是对立事件
C．事件A与事件B相互独立
D．P（A∪B）＝P（A）+P（B）
（多选）10．（6分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若M（m，2）是线段AB的中点，则（ ）
A．p＝4
B．抛物线的方程为y2＝16x
C．直线l的方程为y＝2x﹣4
D．|AB|＝10
（多选）11．（6分）如图，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=π2，∠BAA1=2π3，∠CAA1=π3，AB＝AC＝1，AA1＝2，点O是B1C与BC1的交点，则下列结论正确的是（ ）
A．AO→=12(AB→+AC→+AA1→)B．|AO→|=62
C．AO⊥BCD．平面ABC⊥平面B1BCC1
三、填空题：（本题共3小题，每题5分，共15分）
12．（5分）两平行直线l1：ax+3y+1＝0，l2：x+（a﹣2）y+a＝0的距离为 ．
13．（5分）已知1，x1，x2，x3，x4这5个数的平均数为3，方差为2，则x1，x2，x3，x4这4个数的方差为 ．
14．（5分）已知圆O：x2+y2＝9，椭圆C：x25+y22=1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P为椭圆C上一点，直线OP与圆O交于点M，N，若|PF1|•|PF2|＝4，则|PM|•|PN|＝ ．
四、解答题：（第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分）
15．（13分）已知圆M与y轴相切，其圆心在x轴的负半轴上，且圆M被直线x﹣y＝0截得的弦长为22．
（1）求圆M的标准方程；
（2）若过点P（0，3）的直线l与圆M相切，求直线l的方程．
16．（15分）在2024年法国巴黎奥运会上，中国乒乓球队包揽了乒乓球项目全部5枚金牌，国球运动再掀热潮．现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（五局三胜制），其中每局中甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，每局比赛都是相互独立的．
（1）求比赛只需打三局的概率；
（2）已知甲在前两局比赛中获胜，求甲最终获胜的概率．
17．（15分）高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15）…第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）若成绩大于等于14秒且小于16秒规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数．
（2）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数和中位数（精确到0.01）．
（3）设m，n表示该班两个学生的百米测试成绩，已知m，n∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|m﹣n|＞2”的概率．
18．（17分）如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝BC＝2AD＝2，四边形EDCF为矩形，CF=3，平面EDCF⊥平面ABCD．
（1）求证：DF∥平面ABE；
（2）求平面ABE与平面EFB夹角的余弦值；
（3）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的余弦值为134，若存在，求出线段BP的长度，若不存在，请说明理由．
19．（17分）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点为F1、F2，虚轴长为42，离心率为2，过C的左焦点F1作直线l交C的左支于A、B两点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若AF1=42，求∠F1AF2的大小；
（3）若M（﹣2，0），试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？请说明理由．
答案与试题解析
一、单选题：（本题共8小题，每题5分，共40分）
1．（5分）抛物线y＝4x2的焦点坐标是（ ）
A．（0，1）B．（1，0）C．(0，116)D．(116，0)
【分析】把抛物线y＝4x2的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标．
解：抛物线y＝4x2的标准方程为 x2=14y，p=18，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，
故焦点坐标为（0，116），
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y＝4x2的方程化为标准形式，是解题的关键．
2．（5分）已知点A（2，1，﹣1）关于y轴的对称点为B，则|AB→|等于（ ）
A．32B．26C．2D．25
【分析】根据点对称的性质可得点B的坐标，由两点间的距离公式可得|AB→|．
解：由题意，点A（2，1，﹣1）关于y轴的对称点为B（﹣2，1，1），
由两点间的距离公式可得|AB|=(−2−2)2+(1−1)2+(−1−1)2=25．
故选：D．
【点评】本题考查点关于y轴的对称点的坐标的求法及空间中两点间的距离公式的应用，属于基础题．
3．（5分）我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有1200人，其中一、二、三年级的人数比为3：4：3，要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则应抽取的一年级学生的人数为（ ）
A．52B．48C．36D．24
【分析】根据给定条件，利用分层抽样的抽样比列式计算即得．
解：用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则应抽取的一年级学生的人数为：33+4+3×120=36．
故选：C．
【点评】本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
4．（5分）若直线l过点（﹣3，﹣2），且与双曲线x24−y2=1过第一和第三象限的渐近线互相垂直，则直线l的方程为（ ）
A．2x+y﹣8＝0B．2x+y+8＝0C．2x﹣y+8＝0D．2x﹣y﹣6＝0
【分析】由双曲线方程写出其渐近线方程，根据两直线垂直求出直线l的斜率，由点斜式即得l的方程．
解：直线l过点（﹣3，﹣2），且与双曲线x24−y2=1过第一和第三象限的渐近线互相垂直，
如图，由x24−y2=1可知双曲线在第一和第三象限的渐近线方程为：y=12x，
直线l与之垂直，则直线l的斜率为﹣2，
又直线l过点（﹣3，﹣2），故直线l的方程为y+2＝﹣2（x+3），即2x+y+8＝0．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线方程的求法，是基础题．
5．（5分）安排甲，乙，丙三位志愿者到编号为1，2，3的三个教室打扫卫生，每个教室恰好安排一位志愿者，则甲恰好不安排到3号教室的概率为（ ）
A．23B．34C．14D．13
【分析】基本事件总数n=A33=6，甲恰好不安排到3号教室包含的基本事件个数m=C21A22=4，由此能求出甲恰好不安排到3号教室的概率．
解：安排甲，乙，丙三位志愿者到编号为1，2，3的三个教室打扫卫生，
每个教室恰好安排一位志愿者，
基本事件总数n=A33=6，
甲恰好不安排到3号教室包含的基本事件个数m=C21A22=4，
则甲恰好不安排到3号教室的概率为P=mn=46=23．
故选：A．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．（5分）已知直线l：kx+y+2﹣k＝0过定点M，点P（x，y）在直线2x﹣y+1＝0上，则|MP|的最小值是（ ）
A．5B．5C．355D．55
【分析】先求定点，再根据点到直线距离公式求解点到直线上动点距离最小值即可．
解：由kx+y+2﹣k＝0得y+2＝k（1﹣x），所以直线l过定点M（1，﹣2），
依题意可知|MP|的最小值就是点M到直线2x﹣y+1＝0的距离，
由点到直线的距离公式可得|MP|min=|2+2+1|4+1=5．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
7．（5分）已知 M（﹣2，0），圆C：x2﹣4x+y2＝0，动圆P经过M点且与圆C相切，则动圆圆心P的轨迹方程是（ ）
A．x2−y23=1（x≥1）B．x23−y2＝1（x≥3）
C．x2−y23=1D．x23−y2＝1
【分析】由题意，得到圆C的圆心和半径，设出动圆P的半径，分别讨论动圆P与圆C相内切和外切两种情况，结合双曲线的定义以及a，b，c之间的关系，列出等式进行求解即可．
解：易知圆C的标准方程为（x﹣2）2+y2＝4，
所以圆C是以C（2，0）为圆心，2为半径的圆，
不妨设动圆P的半径为r，
若动圆P与圆C相内切，
此时圆C在动圆P内，
可得|PM|＝r，|PC|＝r﹣2
所以|PM|﹣|PC|＝2＜|MC|＝4，
则动点P是以M，C为焦点的双曲线的右支，
此时a＝1，c＝2，
所以b=c2−a2=3，
则动圆圆心P的轨迹方程为x2−y23=1（x≥1），
若动圆P与圆C相外切，
可得|PM|＝r，|PC|＝r+2
所以|PC|﹣|PM|＝2＜|MC|＝4，
则动点P是以M，C为焦点的双曲线的左支，
此时a＝1，c＝2，
所以b=c2−a2=3，
则动圆圆心P的轨迹方程为x2−y23=1（x≤﹣1），
综上，动圆圆心P的轨迹方程为x2−y23=1．
故选：C．
【点评】本题考查轨迹方程，考查了逻辑推理和运算能力．
8．（5分）已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点，B是C的下顶点，直线BF2与C的另一个交点为A，且满足F1A→⊥F1B→，则C的离心率为（ ）
A．55B．255C．12D．32
【分析】利用椭圆的定义及勾股定理用a表示出|AF1|，|AF2|，在Rt△AF1B中求出csA，再在△AF1F2中，通过余弦定理得到|F1F2|2与a2的关系，即可求出离心率．
解：如图，|BF1|＝|BF2|＝a，令|AF2|＝m，则|AF1|＝2a﹣m，
∵F1A→⊥F1B→，∴F1A⊥F1B，得|AB|2=|AF1|2+|BF1|2，
即（m+a）2＝（2a﹣m）2+a2，得m=2a3，
则|AF1|=4a3，|AB|＝a+23a=53a，
在Rt△AF1B中，有csA=|AF1||AB|=4a35a3=45，
在△AF1F2中，由余弦定理得：|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2−2|AF1|⋅|AF2|csA，
∴4c2=(4a3)2+(2a3)2−2×4a3×2a3×45=45a2，
解得ca=55．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查焦点三角形的解法，是中档题．
二、多选题：（本题共3小题，每题6分，共18分）
（多选）9．（6分）一只不透明的口袋内装有9张相同的卡片，上面分别标有1∼9这9个数字（每张卡片上标1个数），“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字为2或5或8”记为事件A，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字不超过6”记为事件B，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字大于等于7”记为事件C．则下列说法正确的是（ ）
A．事件A与事件C是互斥事件
B．事件B与事件C是对立事件
C．事件A与事件B相互独立
D．P（A∪B）＝P（A）+P（B）
【分析】利用互斥事件的定义判断A；利用对立事件的定义判断B；利用相互独立事件的定义判断C；利用古典概型、列举法判断D．
解：一只不透明的口袋内装有9张相同的卡片，上面分别标有1∼9这9个数字（每张卡片上标1个数），
“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字为2或5或8”记为事件A，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字不超过6”记为事件B，
“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字大于等于7”记为事件C．
样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，
A＝{2，5，8}，B＝{1，2，3，4，5，6}，C＝{7，8，9}．
∵A∩C＝{8}，∴事件A与事件C不是互斥事件，故A错误；
∵B∪C＝{1，2，3，4，5，6，8，9}，B∩C＝∅，
∴事件B与事件C为对立事件，故B正确；
∵P(AB)=29，P(A)=39=13，P(B)=69=23，
∴P（AB）＝P（A）P（B），即事件A与事件B相互独立，故C正确；
∵P(A∪B)=79，
∴P（A∪B）≠P（A）+P（B），故D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查互斥事件、对立事件、相互独立事件、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）10．（6分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若M（m，2）是线段AB的中点，则（ ）
A．p＝4
B．抛物线的方程为y2＝16x
C．直线l的方程为y＝2x﹣4
D．|AB|＝10
【分析】由焦点到准线的距离可求得p＝4，则可判断A正确，B错误；利用斜率坐标计算公式几何中点坐标计算公式可求得直线l的斜率，从而求得l的方程，可判断C正确；y1+y2＝2（x1+x2）﹣8＝4，所以x1+x2＝6从而|AB|＝|AF|+|BF|＝x1+x2+4＝10判断D正确．
解：根据题意及抛物线的几何性质可得p＝4，故A正确；
故抛物线的方程为y2＝8x，焦点F（2，0），故B错误；
又y12=8x1，y22=8x2，且M（m，2）是AB的中点，
∴y1+y2＝4，∴y12−y22=8x1−8x2，
∴y1−y2x1−x2=8y1+y2=2，∴直线l的方程为y＝2x﹣4．故C正确；
∵y1+y2＝2（x1+x2）﹣8＝4，∴x1+x2＝6，
∴|AB|＝|AF|+|BF|＝x1+x2+4＝10，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，点差法的应用，化归转化思想，属中档题．
（多选）11．（6分）如图，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=π2，∠BAA1=2π3，∠CAA1=π3，AB＝AC＝1，AA1＝2，点O是B1C与BC1的交点，则下列结论正确的是（ ）
A．AO→=12(AB→+AC→+AA1→)B．|AO→|=62
C．AO⊥BCD．平面ABC⊥平面B1BCC1
【分析】利用空间向量的线性运算，逐步把AO→用基向量表示出来即可判断A；对于B，C，D，则可以选择AB→=a→，AC→=b→，AA1→=c→为平面的一组基，分别用a→，b→，c→表示出相关向量，再运用向量数量积的运算律求向量模长和验证向量垂直，即可判断B，C；对于D项，计算AE→⋅BB1→推得AE⊥BB1，再由AE⊥BC即可证得AE⊥平面B1BCC1，最后由线面垂直得面面垂直即可．
解：对于A，因AO→=AB→+BO→=AB→+12(AC→−AB→+AA1→)=12(AB→+AC→+AA1→)，故A正确；
对于B，不妨设AB→=a→，AC→=b→，AA1→=c→，则{a→，b→，c→}构成空间的一个基底．
则依题意：|a→|=|b→|=1，|c→|=2，a→⋅b→=0，b→⋅c→=1，a→⋅c→=−1，
由A可得，AO→=12(a→+b→+c→)，
则|AO→|2=14(a→2+b→2+c→2+2a→⋅b→+2b→⋅c→+2a→⋅c→)=32，即|AO→|=62，故B正确；
对于C，因BC→=b→−a→，故AO→⋅BC→=12(a→+b→+c→)⋅(b→−a→)=12(−1+1+1+1)=1≠0，
故C错误；
对于D，如图取BC的中点E，连接AE，
则AE→=12(AB→+AC→)=12(a→+b→)，
因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC，
又AE→⋅BB1→=12(a→⋅c→+b→⋅c→)=12(−1+1)=0，故有AE⊥BB1，
因为BC∩BB1＝B，BC，BB1⊂平面B1BCC1，
所以AE⊥平面B1BCC1，又AE⊂平面ABC，
故平面ABC⊥平面B1BCC1，即D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查空间向量的线性运算及数量积运算，属中档题．
三、填空题：（本题共3小题，每题5分，共15分）
12．（5分）两平行直线l1：ax+3y+1＝0，l2：x+（a﹣2）y+a＝0的距离为 423 ．
【分析】利用平行线求解a，结合距离公式求解即可．
解：由l1∥l2时，求出a＝3，由此能求出直线l1与l2之间距离．
解析：当l1∥l2时，有a(a−2)−3=03a−(a−2)≠0，
解得a＝3，∴l1：3x+3y+1＝0，l2：x+y+3＝0，即3x+3y+9＝0，
∴直线l1与l2之间距离为d=|9−1|32+32=423．
故423．
【点评】本题考查两直线间距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意距离公式的合理运用．
13．（5分）已知1，x1，x2，x3，x4这5个数的平均数为3，方差为2，则x1，x2，x3，x4这4个数的方差为 54 ．
【分析】根据1，x1，x2，x3，x4这5个数的平均数求出x1，x2，x3，x4这4个数的平均数，再利用公式计算出x12+x22+x32+x42=54和x1，x2，x3，x4这4个数的方差．
解：因为1，x1，x2，x3，x4这5个数的平均数为3，方差为2，
所以15(x1+x2+x3+x4+1)=3，即x1+x2+x3+x4＝14，
所以x1，x2，x3，x4这4个数的平均数为x=14×(x1+x2+x3+x4)=72，
所以x12+x22+x32+x42+125−32=2，即x12+x22+x32+x42=54，
所以x1，x2，x3，x4这4个数的方差为14(x12+x22+x32+x42)−x2=14×54−(72)2=54．
故54．
【点评】本题考查了平均数，方差的计算公式，是基础题．
14．（5分）已知圆O：x2+y2＝9，椭圆C：x25+y22=1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P为椭圆C上一点，直线OP与圆O交于点M，N，若|PF1|•|PF2|＝4，则|PM|•|PN|＝ 6 ．
【分析】利用|PF1|+|PF2|＝2a求出|OP|，然后将|PM|•|PN|转化为|OM|2﹣|OP|2求解即可．
解：根据已知圆O：x2+y2＝9，椭圆C：x25+y22=1的左、右焦点分别为F1，F2，
作图如下，
令点P（x0，y0），因为|PF1|+|PF2|=2a⇒|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=4a2，
并且根据题意知|PF1|•|PF2|＝4，所以(x0+c)2+y02+(x0−c)2+y02+8=4a2，
因此x02+y02=2a2﹣c2﹣4
＝10﹣3﹣4
＝3，
所以|PM|⋅|PN|=(|OM|−|OP|)(|ON|+|OP|)=|OM|2−|OP|2=9−(x02+y02)=6．
故6．
【点评】本题考查圆与圆锥曲线综合应用，属于中档题．
四、解答题：（第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分）
15．（13分）已知圆M与y轴相切，其圆心在x轴的负半轴上，且圆M被直线x﹣y＝0截得的弦长为22．
（1）求圆M的标准方程；
（2）若过点P（0，3）的直线l与圆M相切，求直线l的方程．
【分析】（1）根据弦长及圆的几何性质求出圆心半径得解；
（2）分类讨论直线的斜率是否存在，根据点到直线距离等于半径得解．
解：（1）因为圆心在x轴的负半轴上，所以设圆M：（x﹣a）2+y2＝r2（a＜0）
又圆M与y轴相切，所以|a|＝r，即r＝﹣a．
圆心M（a，0）到直线x﹣y＝0的距离为|a|2，
所以(|a|2)2+(2)2=a2，解得a＝﹣2，则r＝2．
故圆的标准方程为（x+2）2+y2＝4．
（2）由（1）知，圆心为M（﹣2，0），r＝2，
因为22+32＞4，所以点P在圆M外，过圆M外一点作圆M的切线，其切线有2条．
①当l的斜率k不存在时，直线l的方程为x＝0，
圆心M（﹣2，0）到直线x＝0的距离为2，
所以直线x＝0与圆M相切．
②当l的斜率k存在时，设l的方程为y＝kx+3，即kx﹣y+3＝0，
则圆心M到l的距离d=|−2k+3|1+k2=2，解得k=512，
此时l的方程为5x﹣12y+36＝0．
综上，l的方程为5x﹣12y+36＝0或x＝0．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
16．（15分）在2024年法国巴黎奥运会上，中国乒乓球队包揽了乒乓球项目全部5枚金牌，国球运动再掀热潮．现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（五局三胜制），其中每局中甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，每局比赛都是相互独立的．
（1）求比赛只需打三局的概率；
（2）已知甲在前两局比赛中获胜，求甲最终获胜的概率．
【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式可解；
（2）根据相互独立和时间事件乘法公式可解．
解：（1）设事件A＝“甲前三局都获胜”，事件B＝“乙前三局都获胜”，
则P(B)=13×13×13=127，P(A)=23×23×23=827，
比赛只需打三局的概率为：P=P(A∪B)=P(A)+P(B)=927=13，
（2）甲需要打三局的概率为：P1=23，
甲需要打五局的概率为：P3=13×13×23=227，
甲需要打四局的概率为：P2=13×23=29，
则甲最终获胜的概率为：P=23+29+227=2627，
【点评】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
17．（15分）高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15）…第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）若成绩大于等于14秒且小于16秒规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数．
（2）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数和中位数（精确到0.01）．
（3）设m，n表示该班两个学生的百米测试成绩，已知m，n∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|m﹣n|＞2”的概率．
【分析】（1）根据频率分布直方图能求出成绩在[14，16）内的人数，由此得到该班在这次百米测试中成绩为良好的人数．
（2）由频率分布直方图能求出众数落在第二组[15，16）内，由此能求出众数；数据落在第一、二组的频率是0.22＜0.5，数据落在第一、二、三组的频率是0.6＞0.5，所以中位数一定落在第三组中，假设中位数是x，则0.22+（x﹣15）×0.38＝0.5，由此能求出中位数．
（3）成绩在[13，14）的人数有2人，成绩在[17，18）的人数有3人，由此能求出结果．
解：（1）根据频率分布直方图知成绩在[14，16）内的人数为：
50×0.18+50×0.38＝28人．
∴该班在这次百米测试中成绩为良好的人数为28人．
（2）由频率分布直方图知众数落在第三组[15，16）内，
众数是15+162=15.5．
∵数据落在第一、二组的频率＝1×0.04+1×0.18＝0.22＜0.5，
数据落在第一、二、三组的频率＝1×0.04+1×0.18+1×0.38＝0.6＞0.5，
∴中位数一定落在第三组中，
假设中位数是x，则0.22+（x﹣15）×0.38＝0.5，
解得x=29919≈15.74，
∴中位数是15.74．
（3）成绩在[13，14）的人数有50×0.04＝2人，
成绩在[17，18）的人数有；50×0.06＝3人，
设m，n表示该班两个学生的百米测试成绩
∵m，n∈[13，14）∪[17，18]，
∴事件“|m﹣n|＞2”的概率
p=C21C31C52=35．
【点评】本题考查众数、中位数的求法，考查概率的计算，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．
18．（17分）如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝BC＝2AD＝2，四边形EDCF为矩形，CF=3，平面EDCF⊥平面ABCD．
（1）求证：DF∥平面ABE；
（2）求平面ABE与平面EFB夹角的余弦值；
（3）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的余弦值为134，若存在，求出线段BP的长度，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）取D为原点，DA所在直线为x轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，求出平面ABE的法向量n→与向量DF→，根据DF→•n→=0证明DF→⊥n→；从而证明DF∥平面ABE；
（2）求平面BEF的法向量m→，再计算平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值；
（3）设DP→=λDF→，λ∈[0，1]，求向量BP→与平面ABE的法向量n→所成角的余弦值，列出方程解方程得λ的值，从而求出|BP→|的值．
解：（1）证明：取D为原点，DA所在直线为x轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
如图所示；
则A（1，0，0），B（1，2，0），E（0，0，3），F（﹣1，2，3），
BE→=（﹣1，﹣2，3），AB→=（0，2，0），
设平面ABE的法向量为n→=（x，y，z），
∴−x−2y+3z=02y=0，
不妨设n→=（3，0，1），
又DF→=（﹣1，2，3），
∴DF→•n→=−3+0+3=0，
∴DF→⊥n→；
又∵DF⊄平面ABE，
∴DF∥平面ABE；
（2）∵BE→=（﹣1，﹣2，3），BF→=（﹣2，0，3），
设平面BEF的法向量为m→=（a，b，c），
∴−a−2b+3c=0−2a+3c=0，
令c＝4，则a＝23，b=3，
∴m→=（23，3，4），
∴|csθ|＝|m→⋅n→|m→|×|n→||=102×31=53131，
∴平面ABE与平面EFB夹角的余弦值是53131；
（3）设DP→=λDF→=λ（﹣1，2，3）＝（﹣λ，2λ，3λ），λ∈[0，1]；
∴P（﹣λ，2λ，3λ），BP→=（﹣λ﹣1，2λ﹣2，3λ），
又平面ABE的法向量为n→=（3，0，1），
∵直线BP与平面ABE所成角的余弦值为134，
设BP与平面ABE所成角为θ，
∴sinθ＝|cs＜BP→，n→＞|
＝|BP→⋅n→|BP→|×|n→||
=|3(−λ−1)+3λ|(−λ−1)2+(2λ−2)2+(3λ)2×2
=34，
化简得8λ2﹣6λ+1＝0，
解得λ=12或λ=14；
当λ=12时，BP→=（−32，﹣1，32），∴|BP→|＝2；
当λ=14时，BP→=（−54，−32，34），∴|BP→|＝2；
综上，|BP→|＝2．
【点评】本题考查了利用向量方法解决立体几何的应用问题，属于中档题．
19．（17分）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点为F1、F2，虚轴长为42，离心率为2，过C的左焦点F1作直线l交C的左支于A、B两点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若AF1=42，求∠F1AF2的大小；
（3）若M（﹣2，0），试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？请说明理由．
【分析】（1）由短轴长及离心率的值，以及a，b，c之间的关系，可得a，c，b的值，进而求出双曲线的方程；
（2）由双曲线的定义可得|AF2|的值，在△F1AF2中，由余弦定理可得∠F1AF2的余弦值，进而可得角∠F1AF2的大小；
（3）假设存在满足条件的直线l，设直线l的方程没有双曲线的方程联立，可得两根之和及两根之积，由题意可得MA→•MB→=0，代入整理可得这样的参数不存在．
解：（1）由题意可得2b=42e=ca=2c2=a2+b2，解得a2＝b2＝8，c2＝16，
所以双曲线的方程为：x28−y28=1；
（2）由双曲线的定义可得|AF2|＝2a+|AF1|＝42+42=82，|F1F2|＝2c＝8，
在△F1AF2中，由余弦定理可得cs∠F1AF2=|AF1|2+|AF2|2−|F1F2|22|AF1|⋅|AF2|=32+128−642×42×82=34，
所以∠F1AF2＝arccs34；
（3）假设存在直线l满足条件，
显然直线l的斜率不为0，设直线l的方程为：x＝my﹣4，m≠1且m≠﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立x=my−4x2−y2=8，整理可得：（m2﹣1）y2﹣8my+8＝0，
可得Δ＝64m2﹣32（m2﹣1）＞0，即m2＞12，且m≠1且m≠﹣1，
y1+y2=8mm2−1，y1y2=8m2−1，
因为点M在以AB为直径的圆上，所以MA→•MB→=0，
即（x1+2，y1）•（x2+2，y2）＝0，
可得（x1+2）•（x2+2）+y1y2＝0，
即（my1﹣2）（my2﹣2）+y1y2＝0，
整理可得：（1+m2）y1y2﹣2m（y1+y2）+4＝0，
即（1+m2）•8m2−1−2m•8mm2−1+4＝0，
整理可得：m2＝1，
解得m＝±1（舍），
所以假设不成立，即不存在这样的直线l满足条件．
【点评】本题考查双曲线的方程的求法，直线与双曲线的综合应用，属于中档题．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
C
B
A
B
C
A