2024-2025学年广东省广州市高三上册12月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年广东省广州市高三上册12月考数学检测试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．设集合，，则（ ）
A．0,3B．C．D．
2．若复数z满足，则z在复平面中对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．记正项等差数列的前n项和为，，则的最大值为（ ）
A．9B．16C．25D．50
5．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．若，，，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，则（ ）
A．B．C．2D．
8．定义方程的实根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．若，给出下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数（ ）
A．在上单调递增B．在上单调递增
C．在上有唯一零点D．在上有最小值为
11．已知函数，则（ ）
A．的定义域为
B．的值域为
C．当时，为奇函数
D．当时，
三、填空题（本大题共3小题）
12．在平面直角坐标系中，、、，当时.写出的一个值为 .
13．已知数列满足，，则 ．
14．已知函数，若存在实数，满足，则af(a)+bf(b)+cf(c)的最大值是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．等差数列的公差d不为0，其中，，，成等比数列．数列满足
（1）求数列与的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
16．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求C；
(2)若且，求的外接圆半径．
17．已知向量，，函数，相邻对称轴之间的距离为．
(1)求的单调递减区间；
(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于x的方程在上只有一个解，求实数m的取值范围．
18．已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围．
19．已知函数．
(1)若，证明：；
(2)记数列的前项和为．
（i）若，证明：．
（ii）已知函数，若，，，证明.
答案
1．【正确答案】D
【详解】由，，
所以.
故选：D.
2．【正确答案】D
【详解】设，
则由得，
整理得，
所以，解得，
所以在复平面中对应的点为，在第四象限.
故选：D.
3．【正确答案】C
【分析】利用三角函数和对数函数的单调性，放缩求解即可.
【详解】因为，所以，
因为，所以，即，
综上.
故选C.
4．【正确答案】C
【分析】根据等差数列的求和公式计算可得，利用基本不等式计算即可得出结果.
【详解】∵，
，
又∵，
∴，当且仅当时，取“=”，
∴的最大值为25.
故选C.
5．【正确答案】A
【分析】根据基本不等式与不等式的性质，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．
【详解】若，，，则，充分性成立；
若，可能，，此时，所以必要性不成立．
综上所述，“”是“”的充分不必要条件．
故选A．
6．【正确答案】A
【详解】由，，，
则，
而，即得，
所以，又，
所以.
故选：A.
7．【正确答案】D
【分析】根据，结合两角和差的正余弦公式与同角三角函数的关系化简求解即可.
【详解】因为，所以，
所以．
故选D．
8．【正确答案】B
【详解】由题意：，
所以分别为的根，即为函数
的零点，
可解得；
为单调递增函数，
且，所以，
令，解得，或，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，由，，，
，所以，
所以.
故选：B.
9．【正确答案】AC
【详解】因为，所以 ，
故对于A选项，，故A选项正确；
对于B选项，由于，，即：，故B 选项错误；
对于C选项，由于，故，所以，所以，故C选项正确；
对于D选项，由于，所以，所以，故D选项错误.
故选：AC
10．【正确答案】BD
【详解】，
令，当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增；
在上取极小值为，，，在上有两个零点，，所以，A C错，B D对，
故选：BD．
11．【正确答案】ACD
【详解】对于函数，令，解得，
所以的定义域为，故A正确；
因为，当时，所以，
当时，所以，
综上可得的值域为，故B错误；
当时，则，
所以为奇函数，故C正确；
当时，则，
故D正确.
故选：ACD
12．【正确答案】（满足或的其中一值）
【详解】由题意可得，，
所以，，同理可得，
则
，
所以，或，
解得或，
故（满足或的其中一值）.
13．【正确答案】/
【详解】由题意：，，，，，
所以满足.
所以
故
14．【正确答案】3e3−12
【详解】解：作出的函数图象如图所示：
∵存在实数，满足，
∴a+b=−4 ，
∴af(a)+bf(b)+cf(c)=(a+b+c)f(c)=(c−4)f(c)=(c−4)lnc，
由图可知，10，
∴x∈(e,e3]，，
在x∈(e,e3]单调递增，
在x∈(e,e3]的最大值为g(e3)=3(e3−4)=3e3−12，
∴(c−4)f(c)的最大值为3e3−12，
故3e3−12．
15．【正确答案】（1）；；（2）．
【分析】（1）根据和，，成等比数列可列出关于公差的方程，求出公差的值，再结合，即可写出通项.根据前项和与第项的关系，由可求出，进而可求出；
（2）利用“错位相减法”，可求出数列的前n项和.
【详解】解：（1）由已知，又
故
解得（舍去），或
∴
∵①
故当时，可知
∴
当时，可知②
①②得
∴
又也满足，故当时，都有；
（2）由（1）知
故③
∴④
由③—④得
解得.
16．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，即，
且，
即，则，
且，则，可得，
且，所以.
（2）因为且，则，可得，
由余弦定理可得，即，
整理可得，解得或（舍去），
所以的外接圆半径.
17．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1），
，
，
因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为，
所以，得，所以，
令,
则，
所以的单调递减区间为;
（2）由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数，
再向左平移个单位得，
令，则，
所以，
因为在上只有一个解，

由的图象可得，−3≤m