专题06 平面向量与解三角形（7大易错点 典例 避错 举一反三 通关）-备战2025年高考数学考试易错题（新高考通用）

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题型一：平面向量
易错点01 对平面向量的基本概念理解不到位
易错点02 忽略平面向量夹角的范围与方向性
易错点03 忽略向量共线时的两种情况
易错点04 错用平面向量的运算律
题型二： 解三角形
易错点05 解三角形时错判解的个数
易错点06 忽略边角互化条件
易错点07 忽略三角形中的隐含条件
题型一：平面向量
易错点01：对平面向量的基本概念理解不到位

典例 （24-25高二下·全国·课后作业）在下列结论中，其中正确的是（ ）
A．若向量，共线，则向量，所在的直线平行
B．若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面
C．若三个向量，，两两共面，则向量，，共面
D．已知空间的两个不共线向量，，对于空间的一个向量，存在实数x，y，使得，则向量与向量，共面
【答案】D
【分析】根据向量共线共面的判断，对选项逐一判断即可.
【详解】选项A，向量共线，则向量所在的直线平行或重合，故A错误；
选项B，根据空间向量的意义知，空间任意两个向量都共面，故B错误.
选项C，由于三个向量两两共面，但是不一定共面，故C错误；
选项D，已知向量是空间的一个基底，若，则向量共面，D选项正确.
故选：D.
【易错剖析】
在解题时容易混淆向量平行与直线平行的不同而出错，另外也容易忽略零向量的特殊性.
【避错攻略】
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量统称为向量，向量的大小叫作向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，记作0.
(3)单位向量：模等于1个单位长度的向量．
(4)共线向量：若两个非零向量a，b的方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量，规定：零向量与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
【解读】(1)利用三角形法则时，两向量要首尾相连，利用平行四边形法则时，两向量要有相同的起点．
(2)当两个向量共线时，三角形法则仍然适用，而平行四边形法则不适用．
3．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
【解读】共线向量定理中规定a≠0原因：(1)当a＝0时，若b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa，但此时向量a与b共线；(2)当a＝0时，若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa，与有唯一一个实数λ矛盾．
因此限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性．
易错提醒：(1)注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0；(2)单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同；(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性；(4)任一组平行向量都可以平移到同一直线上；（5）向量平行与向量共线是完全相同的一个概念，指两个向量的方向相同或相反，亦即向量所在的直线可以平行，也可以重合；但直线平行不包含直线重合的情况．
1．（2024高三·北京·专题练习）给出下列命题：①任一非零向量都可以平行移动，零向量的长度为零，方向是任意的；②若，都是单位向量，则；③向量与相等.其中正确命题的序号为（ ）
A．①B．③C．①③D．①②
【答案】A
【分析】由向量的有关概念逐项判断即可.
【详解】因为同方向且模相等的向量相等，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，
且零向量的长度为零，方向是任意的，故①正确；
根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，
故两个单位向量不一定相等，故②错误；
向量与互为相反向量，故③错误.
故选：A.
2．（2024高三·全国·专题练习）下列命题错误的是（ ）
A．若与都是单位向量，则.
B．“”是“”的必要不充分条件.
C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线.
D．若，则.
【答案】A
【分析】根据平面向量的定义以及向量共线的概念一一判断.
【详解】对A，都是单位向量，则模长相等，但方向不一定相同，
所以得不到，A错误；
对B，“”推不出“”，但 “”能推出 “”，
所以“”是“”的必要不充分条件，B正确；
对C，因为与反向共线，
且，都为单位向量，则，C正确；
对D，若，则，D正确，
3．（23-24高一下·四川·期中）下列命题正确的是（ ）
A．若与都是单位向量，则
B．方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量
C．若与是平行向量，则
D．若用有向线段表示的向量与不相等，则点与不重合
【答案】BD
【分析】利用向量相等的条件，可判断出选项A和C的正误，利用共线向量的定义可判断出选项B的正误，根据向量的几何表示，可判断出选项D的正误，从而得出结果.
【详解】对于选项A，若与都是单位向量，则，但与可以方向不同，故选项A错误，
对于选项B，因为方向为南偏西的向量与北偏东的向量方向相反，所以选项B正确，
对于选项C，若与是平行向量，但当或与方向相反，不满足，所以选项C错误，
对于选项D，由向量的几何表示知，选项D正确，
故选：BD.
1．（2024高三·北京·专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．长度相等的向量叫做相等向量
B．共线向量是在同一条直线上的向量
C．零向量的长度为零，方向是任意的
D．就是所在的直线平行于所在的直线
【答案】C
【分析】AB根据相等向量和共线向量的定义作出判断；C选项，根据零向量的定义得到C正确；D选项，举出反例.
【详解】A选项，长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A不正确；
B选项，方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，共线向量不一定在同一条直线上，故B不正确；
C选项，零向量的长度为零，方向是任意的，C正确；
D选项，当时，所在的直线与所在的直线可能重合，故D不正确．
故选：C．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知非零向量与共线，下列说法不正确的是（ ）
A．或
B．与平行
C．与方向相同或相反
D．存在实数，使得
【答案】A
【分析】根据共线向量的概念，以及向量共线定理，逐项判断，即可得出结果.
【详解】非零向量与共线，
对于A，，，故A错误；
对于B，∵向量与共线，∴向量与平行，故B正确；
对于C，∵向量与共线，∴与方向相同或相反，故C正确；
对于D，∵与共线，∴存在实数，使得，故D正确．
故选：A．
3．（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】根据向量的概念逐一判断.
【详解】对于A：若，则只是大小相同，并不能说方向相同，A错误；
对于B：向量不能比较大小，只能相同，B错误；
对于C：若，则方向相同，C 正确；
对于D：若，如果为零向量，则不能推出平行，D错误.
故选：C.
4．设是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（ ）
A．与的方向相反B．与的方向相同
C．D．
【答案】B
【分析】由平面向量的基本概念及数乘运算一一判定即可.
【详解】对于A，当时，与的方向相同，当时，与的方向相反，故A不正确；对于B，显然，即B正确；
对于C，，由于与1的大小不确定，故与的大小关系不确定，故C不正确；
对于D，是向量，而表示长度，两者不能比较大小，故D不正确．
故选：B
5．（2024高三·全国·专题练习）（多选）下列命题中错误的有（ ）
A．平行向量就是共线向量
B．相反向量就是方向相反的向量
C．与同向，且，则
D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件
【答案】BC
【分析】根据向量的相关概念，即可得出答案.
【详解】对于A，由平行向量和共线向量的定义可知，A正确；
对于B，因为相反向量是方向相反，长度相等的两个向量，所以B错误；
对于C，因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，所以C错误；
对于D，因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等可以推出这两个向量平行，
因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，所以D正确．
故选：BC.
6．（23-24高二上·安徽阜阳·阶段练习）（多选）给出下列命题，其中假命题为（ ）
A．向量的长度与向量的长度相等
B．向量与平行，则与的方向相同或相反
C．⇔与方向相反
D．若非零向量与非零向量的方向相同或相反，则与，之一的方向相同
【答案】BCD
【分析】根据平面向量的定义与性质逐项判断即可.
【详解】对于A，向量与向量，长度相等，方向相反，命题成立；
对于B，当时，命题不成立；
对于C，当，之一为零向量时，命题不成立；
对于D，当时，的方向是任意的，它可以与，的方向都不相同，命题不成立；
故选：BCD.
7．（2024高三·江苏·专题练习）（多选）下列说法不正确的是（ ）
A．若，则与的方向相同或者相反
B．若，为非零向量，且，则与共线
C．若，则存在唯一的实数使得
D．若是两个单位向量，且，则
【答案】CD
【分析】根据题意，结合零向量的性质，共线向量的概念，以及向量的线性运算法则，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，若，则与的方向相同或相反，所以A正确；
对于B中，由为非零向量，表示与方向相同的单位向量，表示与方向相同的单位相同，因为，所以与共线，所以B正确；
对于C中，当，且为非零向量时，此时不存在，所以C错误；
对于D中，由，可得，
所以，所以D错误．
故选：CD．
8．（多选）下列叙述中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．已知非零向量与且//，则与的方向相同或相反
D．对任一非零向量是一个单位向量
【答案】CD
【分析】A注意即可判断；B根据向量的性质判断；C由共线向量的定义判断；D由单位向量的定义判断.
【详解】A：若时，不一定有，错误；
B：向量不能比较大小，错误；
C：非零向量与且//，则与的方向相同或相反，正确；
D：非零向量，则是一个单位向量，正确.
故选：CD
9．（多选）下列说法错误的是（ ）
A．就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫相等向量
C．零向量的长度等于0
D．
【答案】AB
【分析】对于A，利用平行向量的定义即可判断；
对于B，利用相等向量的定义即可判断；
对于C，根据零向量的定义即可判断；
对于D，根据向量的加法即可求解.
【详解】对于A，若，则的方向相同或相反，所在的直线与所在的直线平行或在同一直线上，故A不正确；
对于B，长度相等且方向相同的向量叫相等向量，故B不正确；
对于C，长度为0的向量为零向量，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：AB.
易错点02：忽略平面向量夹角的范围与方向性

典例 （23-24高三上·山东聊城·期末）已知向量，，若与所成的角为钝角，则实数的取值范围： .
【答案】
【分析】与所成的角为钝角即且与不平行，列式求解即可.
【详解】与所成的角为钝角即且与不平行，
即，
所以.
故答案为：.
【易错剖析】
本题容易误认为是与夹角为钝角的充要条件而出错，因为当时与夹角可能为.
【避错攻略】
1.向量的模
（1）向量的大小叫向量的模. 向量的模为.
（2）若，则向量的模.
2.向量的夹角
（1）已知两个非零向量a，b(如图)，O是平面上的任意一点，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向．
设是两个非零向量，它们的夹角为，则
3．垂直：如果a与b的夹角是eq \f(π,2)，则称a与b垂直，记作a⊥b.
易错提醒： （1）两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角（2）向量的夹角是指向量方向的夹角；（3）向量的夹角范围是，这一点是与直线的夹角范围是不同的，要注意区分.
1．（23-24高三下·湖南湘潭·阶段练习）已知向量，，若与所成的角为锐角，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据数量积为正可求参数的取值范围，注意与不共线同向.
【详解】因为与所成的角为锐角，故且不共线同向.
故即.
若共线，则即，
故实数的取值范围为.
故答案为：.
2．（24-25高三上·北京顺义·期中）设点，，不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】将向量的模用向量的数量积来表示，化简后结合向量夹角的范围，即可判断.
【详解】
由题意知，，不共线，所以，
所以与的夹角为锐角，
故“与的夹角为锐角”是“”的充分必要条件；
故选：C.
3．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）如图，在边长为2的正三角形ABC中，D为BC的中点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】应用向量加减法的几何意义及数量积的运算律，将作转化，再应用数量积的定义求结果.
【详解】由题设
.
故选：C
1．（23-24高三上·北京·开学考试）已知不共线的两个非零向量，则“与所成角为钝角”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】结合向量数量积运算法则计算即可.
【详解】因为“与所成角为钝角,所以，
所以“与所成角为钝角”是“”的充要条件.
故选：C.
2．（24-25高三上·河南安阳·期中）设非零向量的夹角为，若，则“为钝角”是“”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据数量积和模长关系分析可知等价于，进而结合充分、必要条件分析判断.
【详解】因为，
则，解得，
即等价于，
若为钝角，则，即充分性成立；
若，则为钝角或平角，即必要性不成立；
综上所述：“为钝角”是“”的充分不必要条件.
故选：C.
3．（24-25高三上·山西大同·期中）已知向量满足，且与的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据条件计算出以及，结合夹角余弦公式求解出结果.
【详解】因为，
所以，
因为，
所以，
故选：D．
4．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知为单位圆的内接正三角形，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】先根据内接正各边以及与单位圆半径的关系，求出各边长度，再根据的模长与夹角代入平面向量数量积公式求解答案.
【详解】如图所示:

因为单位圆半径为1，为单位圆的内接正三角形，
可得，又也是正的中心，延长交于，
可得，，，
设的边长为，则由勾股定理得，
即，解得.
所以，.又因为的夹角为的补角，
，所以的夹角为，
所以.
故选：A.
5．（2024·云南贵州·二模）设向量，且，则 ，和所成角为
【答案】
【分析】将化简变形，并将坐标代入求出，根据判断两个向量夹角为直角．
【详解】因为，所以，
化简整理得，所以，所以．
因为，所以和所成角为．
故答案为：；.
6．（2024·四川绵阳·模拟预测）平面向量与相互垂直，已知，，且与向量的夹角是钝角，则 .
【答案】
【分析】设，根据向量垂直和向量模的坐标表示得到方程组，再结合与向量的夹角为钝角得到，最后解出方程组即可.
【详解】设，，，①，，②，
因为与向量夹角为钝角，，③，
由①②③解得，.
故答案为：.
7．（24-25高三上·福建福州·期中）已知，为单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为 .
【答案】
【分析】利用投影向量的意义，结合向量的夹角公式计算即得.
【详解】依题意，在上的投影向量为，则，
，而，
所以.
故答案为：
8．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知，，若与的夹角是钝角，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据向量数量积的坐标表示及平行坐标公式判断钝角即可求出参数范围.
【详解】因为与夹角为钝角，
可以得出，解得：，
且不平行，则，
即且，即.
故答案为：
易错点03：忽略向量共线时的两种情况

典例 （24-25高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知单位向量与向量共线，则向量的坐标是 ．
【答案】或.
【解析】根据与向量共线的单位向量的计算公式，即可求解.
【详解】由题意，单位向量与向量共线，
则向量，即向量的坐标是或.
【易错剖析】共线向量的定义指出方向相同或相反的非零向量称为共线向量，并规定零向量与任意向量共线，本题容易忽略方向相反的情况而造成漏解.
【避错攻略】
1.向量数乘的定义
规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：，它的长度与方向规定如下：①；②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反.当或时，.
2.向量共线（平行）定理
向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.
3.平面向量共线的坐标表示
（1）设，其中共线的充要条件是存在实数，使.
（2）如果用坐标表示，向量共线的充要条件是.
易错提醒：处理平面向量的共线问题一般有两个思路：一是从几何的角度，二是从坐标的角度，这类问题的求解过程有两类特殊情况需要特别注意，一种是向量为零向量的情况；二是要考虑向量方向相同或相反的情况.
1．（2025高三·全国·专题练习）已知向量不共线，且，若与反共线，则实数λ的值为（ ）
A．1B．C．1或D．或
【答案】B
【分析】根据题意设，然后将，代入化简，可得，从而可求出实数λ的值.
【详解】解：由于与反向共线，则存在实数k使，
于是，
整理得．
由于不共线，所以有，整理得，
解得或．
又因为，故．
故选：B．
2．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，若，则（ ）
A．B．1C．或1D．0或2
【答案】C
【分析】根据直线平行可得，结合向量平行的坐标表示运算求解即可.
【详解】因为，，
若，可知，
则，解得或.
故选：C.
3．（24-25高一下·四川泸州·期中）（多选）与共线的单位向量有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】设，结合模长公式可得，即可得结果.
【详解】设，且，解得，
所以或.
故选：BC.
1．（24-25高三上·山东日照·阶段练习）已知向量，不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（ ）
A．1B．
C．1或D．或
【答案】B
【分析】先根据向量平行求参数，再根据向量同向进行取舍.
【详解】因为与共线，所以，解得或.
若，则，，所以，所以与方向相反，故舍去；
若，则，，所以，所以与方向相同，故为所求.
故选：B
2．（2024·全国·模拟预测）已知向量，单位向量与向量同向共线，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，由投影向量的定义代入计算，即可得到结果.
【详解】由已知得，
则在方向上的投影向量为，
故选：B．
3．（23-24高一下·全国·随堂练习）下列关于向量的描述正确的是（ ）
A．若向量，都是单位向量，则
B．若向量，都是单位向量，则
C．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量
D．平面内起点相同的所有单位向量的终点共线
【答案】B
【分析】利用单位向量的定义，即可判断出选项ABD的正误；选项C，利用共线向量的定义，即可判断出选项C的正误.
【详解】对于选项A，向量包括长度和方向，单位向量的长度相同均为，方向不定，
故向量和不一定相同，故选项A错误；
对于选项B，单位向量的长度相同均为，所以，故选项B正确；
对于选项C，任意一个非零向量有两个与之共线的单位向量，故选项C错误；
对于选项D，因为所有单位向量的模为，且共起点，
所以所有单位向量的终点在半径为的圆周上，故选项D错误；
故选：B.
4．（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）已知向量，则与共线且反向的单位向量为 （ ）
A．B．
C．或D．
【答案】B
【分析】可设与共线且反向的单位向量，由，即可求解.
【详解】因为，所以可设与共线且反向的单位向量，
又
解得，或（舍去），
故.
故选：B
5．（24-25高一上·云南·期末）（多选）设，是互相垂直的单位向量，，，下列选项正确的是（ ）
A．若点C在线段AB上，则
B．若，则
C．当时，与共线的单位向量是
D．当时，在上的投影向量为
【答案】ABD
【分析】对A：根据向量共线分析运算；对B：根据向量垂直运算求解；对C：根据单位向量分析运算；对D：根据投影向量分析运算.
【详解】由题意可得：，
对A：若点C在线段AB上，则，则，
可得，解得或（舍去），故A正确；
对B：由，可得，
解得，故B正确；
对C：当时，则，
与共线的单位向量是，故C错误；
对D：当时，可得，
则在上的投影向量为，故D正确.
故选：ABD．
6．（24-25高一上·上海·课前预习）设、是两个不平行的向量，则向量（）与向量平行的充要条件是 ．
【答案】
【分析】运用向量平行的结论可解.
【详解】设、是两个不平行的向量，则向量（）与向量平行，
则，即，即，解得.
故答案为：.
7．（24-25高一下·河南·期末）已知向量，与共线且方向相反的单位向量 ．
【答案】
【分析】求出的模，除以这个模再取相反向量可得．
【详解】，，所以与共线且方向相反的单位向量是．
故答案为：
8．（23-24高一下·广东佛山·期中）已知，，与的夹角为45°.
(1)求在方向上的投影向量；
(2)求的值；
(3)若向量与平行且方向相同，求实数.
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）根据投影向量求解公式求出答案；
（2）平方后求出，得到模长；
（3）根据两向量平行得到方程，求出的两个解，检验是否方向相同，得到答案.
【详解】（1）∵，，与的夹角为45°，
∴，
∴在方向上的投影向量为；
（2）∵，
∴；
（3）∵与平行，
∴
∴，解得：或，
当时，，此时方向相同
当时，，此时方向相反，故舍去.
∴
易错点04：错用平面向量的运算律

典例 (24-25高二上·山东青岛·期中）已知，下列关系一定正确的是（ ）
B. C. D.∥
【答案】C
解析】由已知，所以，即，所以，故选C.
【易错剖析】本题容易混淆了向量数量积与实数的积的概念而出错，如由，两边同除以，所以.
【避错攻略】
1.向量数量积的性质
设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则
（1）；
（2）；
（3）当与同向时，；当与反向时，；
特别地，或；
（4）；
（5）
2.向量数量积的运算律
（1）；
（2）(λ为实数)；
（3）；
（4）常用公式

易错提醒：（1）在实数中：若，且，则，但在向量的数量积中，若，且，不能推出．
（2）已知实数，且ab=bc，则a=c，但在向量的数量积中没有．
（3）在实数中有，但是在向量数量积中，这是因为左边是与共线的向量，而右边是与共线的向量．
1.（24-25高三·河北石家庄期末）已知均为非零向量，则下列结论中正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，，且，则的最大值与最小值之和为
【答案】CD
【分析】对于A选项，通过运算可知，与的夹角为，即可判断与不一定相等；
对于B选项，举出一个反例即可；
对于C选项，运算得；
对于D选项，建立直角坐标系，可设，，，由此可求出在平面对应的点C的轨迹是圆，即可得出的最值.
【详解】对于A选项，因为，当与的夹角为时，也符合要求，所以选项A不正确；
对于B选项，若，，，则，但，所以选项B不正确；
对于C选项，，所以选项C正确；
对于D选项，不妨设，，，所以，整理得，即在平面对应的点C的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
因此的最大值为，最小值为，所以选项D正确，
故选：CD.
2.（2025全国高三第一次模拟）已知为非零平面向量，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. 若，则D.
【答案】AB
【分析】A．利用平面向量的数量积运算判断；B.利用平面向量共线定理判断；C.利用平面向量数量积的运算律判断；D.利用平面向量的共线定理判断.
【详解】A. 因为，所以，则，故正确；
B. 若为非零平面向量，且，由共线向量定理知：，故正确；
C.若，则，则，故错误；
D. 与共线，与共线，故错误；
故选：AB
3.（2025·全国·高三课时练习）已知平面向量，，且，则（ ）
A．1 B．14 C． D．
【答案】B
【解析】因为，，，所以，
所以.故选：B
1．（2025高三·全国·专题练习）设，为非零向量：，，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【分析】理解向量垂直的表示、共线的性质判断A、B、C；应用向量数量积的运算律判断D.
【详解】对于A，，不一定，结论不成立，命题为假；
对于B，当与方向相反时，结论不成立，命题为假；
对于C，当与共线时，结论不成立，命题为假；
对于D，若，则，即，则，
所以，命题为真．
故选：D
2．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）下列叙述中正确的个数是：（ ）
①若，，为平面向量，则；
②向量与垂直；
③，，若与的夹角是钝角，则实数m的取值范围是
④.记，则向量在向量上的投影向量为
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】对①，举反例说明；对②，由两向量垂直的向量关系运算验证；对③，由向量夹角是钝角，则向量数量积小于0，并挖去共线情况；对④，由投影向量的定义运算判断.
【详解】对于①，如，，，所以，，
所以，而，所以，故①错误；
对于②，因为，故②正确；
对于③，由题意，，且与不共线，即，解得且，故③错误；
对于④，由，即，
所以向量在向量上的投影向量为，故④正确.
综上，正确的为②④.
故选：C.
3．（24-25高三上·山东济宁·阶段练习）若向量满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量垂直及数量积的运算律计算可得.
【详解】由已知有，故.
所以，故.
故选：A.
4．（24-25高三上·山西太原·期中）（多选）已知非零向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若则
C．向量与向量垂直
D．若，则
【答案】ABC
【分析】选项A，根据条件，利用数乘向量的定义得到，即可判断选项A的正误；选项B，根据条件，利用数量积的运算律及模的定义，即可判断选项B的正误；选项C，根据条件，利用数量积的定义，得到，即可求解；选项D，根据条件，结合数量积的运算律，得到，即可求解.
【详解】对于A：因为为非零向量，若，则，故，故A正确；
对于B：若，故，故В正确；
对于C：因为
，
所以，故C正确；
对于D：若，则，
得到，不能确定，故D错误；
故选：ABC．
题型二：解三角形
易错点05：解三角形时错判解的个数

典例 （24-25高三上·山东济宁·阶段练习）在三角形中，，，，则（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】由正弦定理求得，即可求解.
【详解】由可得：，
所以，又，
所以或，
结合内角和定理，所以或，
故选：C
【易错剖析】
已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，容易忽略对解的个数的讨论而出错.
【避错攻略】
在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
由上表可以得出：已知两边一对角：
易错提醒：两边和其中一边的对角，求其它的边和角时，由于正弦函数在在区间内不单调，此时三角形解的情况可能是无解、一解、两解，此时可通过大边对大角进行分析，也通过几何法来判断三角形解的个数。
1.（24-25高二上·河南洛阳·期末）在中，已知，，，则（ ）
A．或B．C．D．或
【答案】C
【分析】运用正弦定理计算即可.
【详解】因为在中，，，，
由正弦定理，得，
解得或，
又因为可得，所以不符合题意，舍去．
可得，故A，B，D错误．
故选：C.
2．（24-25高二上·山西晋城·阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则角的大小为（ ）
A．B．C．或D．
【答案】B
【分析】利用余弦定理求出，再由正弦定理计算可得.
【详解】由余弦定理可得，
所以.
由正弦定理可得，则，又，故.
3．（24-25高三下·江苏扬州·开学考试）在中，内角、、的对边分别为、、，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】A
【分析】由条件利用正弦定理以及大边对大角，逐项判断解的个数即可得解．
【详解】对于A，若，，，由正弦定理可得，得，
得，再根据，可得，得可能是锐角也可能是钝角，
即角有个值，故有两解；
对于B，若，，，由正弦定理可得，得，
得，再根据，可得，只能是锐角，故有一个解；
对于C，若，，，
由正弦定理可得，得，得，
再根据，则只能是锐角，故有一解；
对于D，若，，，
则由正弦定理可得，得，求得，故无解，得不存在.
故选：A．
1．在中，，，则角A的大小为（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】D
【分析】
利用正弦定理求得角C，根据三角形内角和，即可求得答案.
【详解】由题意知中，，，
故，即，
由于，故，则或，
故A的大小为或，
故选：D
2．（24-25高二上·重庆·开学考试）若满足的恰有一个，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由只有一个三角形的条件可得或，再由题意可得的取值范围.
【详解】
因为的恰有一个，
所以或，
即则，或者，
所以可得；
故选：B.
3．（24-25高三上·江苏淮安·期中）在外接圆半径为4的中，，若符合上述条件的三角形有两个，则边的长可能为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】根据给定条件，由三角形有两解的条件，结合正弦定理求出边的范围.
【详解】在中，，由有两解，得，且，
则，由外接圆半径为4及正弦定理，得，
所以边的长可能为5.
故选：D
4．在中，，，延长到点，使得，，则的长为 ．
【答案】
【分析】利用正弦定理可求的值，进而可求的值，可求，的值，进而利用正弦定理可得的值．
【详解】在中，，，延长到点，使得，，
在由正弦定理得，
可得，
又，所以或，
若，则，
则，
在中，由正弦定理得，即，
所以．
若，则，
则，不符合题意，故舍去；
综上可得．
故答案为：．
5．已知的三个内角，，的对边分别为，，，若，，且，则面积为．
【答案】或
【详解】由已知，即为，化简得，，故或，所以或，若，为边长为的等边三角形，其面积为；若，为以，分别作为高和底的直角三角形，其面积为.
易错点06：忽略边角互化条件

典例 ．在中，内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)为边上一点，，，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过正弦定理将中的边化为角，可求出的值；
（2）由题可知为等边三角形，，在中运用余弦定理可求出的值，进而求得的面积.
【详解】（1）∵，由正弦定理得：，
∴，即，
则.
（2）由题可知为等边三角形，则，，
∵，在中，由余弦定理可得：
，
即，解得，
∴的面积为.
【易错剖析】
本题在对题设条件的应用过程中容易错用正弦定理进行边角转化，将化为而出错.
【避错攻略】
1.正弦定理
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径
2.正弦定理的变形
①；；；
②
③
④，，（可实现边到角的转化）
⑤，，（可实现角到边的转化）
3. 正弦定理的应用
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①边化角，角化边
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②大边对大角 大角对大边
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③合分比：
易错提醒：若等式中每一项的边或者三角的正弦的个数相同，可以考虑直接改成对应角的正弦或者对应角的边，否则就得利用进行等量代换.
1．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据正弦定理角化边得到，结合基本不等式得到，再由中线长公式求解.
【详解】，由正弦定理可得，
即，则，
又，所以，因为，当且仅当时等号成立，
所以，则．
设边上中线的长度为，则，
所以边上中线长度的最大值为．
故选：C
2．（23-24高一下·江苏盐城·期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰或直角三角形D．等边三角形
【答案】A
【分析】利用正弦定理化边为角，逆用和角公式即得结论.
【详解】由，利用正弦定理，，
即,因,则或（不合题意舍去），
故△ABC一定是等腰三角形.
故选：A.
3．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，点D是AB的中点．若且，，则 ．
【答案】
【分析】根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换，求得，再由，列出方程求得，结合余弦定理，即可求解.
【详解】根据题意，，由，即为，
由正弦定理得，
又因为，
所以，
因为，可得，所以
又因为为的一条中线，可得，
所以，
即，解得或（舍）.
由余弦定理得.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：发现，从而可变为，利用正弦定理可进行边化角.
1．（2024·四川成都·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由正弦定理角化边，再由余弦定理求，可得角.
【详解】由，根据正弦定理有，
所以，有，
根据余弦定理，有，由，所以．
故选：C.
2．（2024·陕西·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若的面积为，周长为，则AC边上的高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理及三角形面积公式求解即得.
【详解】在中，由正弦定理及，
得，即，由余弦定理得，
则，由的面积为，得，解得，
由，得，又，因此，
令AC边上的高为，则，所以.
故选：B
3．（2024·全国·二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则△ABC周长的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据正弦定理及三角形角度关系可得角的大小，再根据正弦定理边化角结合三角恒等变换与正弦型函数的性质求得的取值范围，从而得△ABC周长的最大值.
【详解】因为，
由正弦定理得，
因为，所以，由于，故，则，
由正弦定理得，
故，
又，则，所以，则，
故△ABC周长的最大值为.
故选：D.
4．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）在中，若，且AB边上的中线长为2，则面积的最大值为 ．
【答案】
【分析】根据正弦定理以及余弦定理进行转化求出，由题设两边同时平方计算，再由基本不等式和三角形面积公式求解即可.
【详解】因，由正弦定理可得，
即，所以，又，
所以，，设边上的中线为，
则，则，
所以，当且仅当时等号成立，
所以.
故答案为：.
5．（2024·山东·模拟预测）内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为 .
【答案】1
【分析】由正弦定理可得，再由三角形的面积公式代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，由正弦定理可得，且,
所以，则.
故答案为：1
6．（2024·陕西西安·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则面积的最大值为 .
【答案】/
【分析】由已知条件，运用正弦定理把边化角，求得，再利用余弦定理和基本不等式求解面积的最大值.
【详解】因为，，所以，
由正弦定理可得，即，
，因为，所以，故，
由余弦定理得，
所以，即，当且仅当时取等号，
由，，得，
所以.
故答案为：.
7．（2025高三·全国·专题练习）在中，内角所对的边分别为，.
(1)求；
(2)若的面积为，为的中点，当取得最小值时，求的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通解：利用正弦定理边角互化，又，化简可以得到的值；
优解：利用射影定理化简求解（需证明）；
（2）利用面积公式得到的值，在利用余弦定理和基本不等式得到取最小值时的取值，再由余弦定理得到的长.
【详解】（1）通解：由及正弦定理，
得，
即，
即，
因为，所以，所以.
优解：因为，
所以，
由题意得，即，
所以，得，即，
所以，
又，所以.
（2）由（1）得，
所以.
在中，由余弦定理可得，
，
当且仅当，即，时等号成立，
此时，
故.
易错点07：忽略三角形中的隐含条件

典例 （2025高三·全国·期末）设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据已知条件，利用正弦定理边角互化结合三角恒等变换将目标式化为角的函数关系，再求的取值范围，根据函数值域即可求得结果．
【详解】因为，则，，
又，
故由正弦定理可得：
，
又为锐角三角形，故可得，
解得，则，
由于，在上单调递增，
当当，
故，
即．
故答案为：．
【易错剖析】
本题在求解过程中容易忽略条件中三角形是锐角三角形这一限制条件， 以致求错A的取值范围而出错.
【避错攻略】
1.内角和定理：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①
同理有：，．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③斜三角形中，
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④；
= 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤在中，内角成等差数列．
2.三角形中的射影定理
在 中，；；
3.中线、角分线
（1）中线：
在中，设是的中点角,,所对的边分别为，，
①向量形式：
结论：
②角形式：

在中有：;
在中有：;
（2）角平分线
如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，
①内角平分线定理：
或
②等面积法

③角形式：

在中有：;
在中有：;
易错提醒：处理三角形中的三角函数问题时一定深挖三角形中的隐含条件，如三角形是锐角三角形时，则三角形的三个内角都是锐角，而三角形是钝角三角形时，只需要三角形最大的内角是钝角.
1．（24-25高三上陕西·期末）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的外接圆半径为，若的面积，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用正弦定理及三角形面积公式求得，进而求得，再利用正弦定理及两角和正弦公式化简得，再利用正切函数性质结合锐角三角形的性质求解范围即可.
【详解】由正弦定理得，所以，
又三角形面积公式，可知，所以，
又，所以，
由正弦定理得，
锐角中，有，因为正切函数在上单调递增，
所以，从而.
故选：A
2．（24-25高三上广东·期末）在钝角中，角所对的边分别为，为钝角，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】首先由正弦定理将边化角可得，即可得到，再求出，最后根据求出的最大值；
【详解】解：因为，
所以
因为
所以
，即，，
时
故选：
3．（2025高三全国联考）已知函数.
(1)求函数的单调递减区间和最值；
(2)若是锐角三角形，且，的外接圆半径为2，求面积的取值范围.
【答案】(1)的单调递减区间为，最大值为，最小值为；
(2)
【分析】（1）根据诱导公式、降幂公式、辅助角公式等，化简整理，可得，令，可得的单调减区间，根据解析式，可得的最值.
（2）根据，代入可得角A的大小，根据正弦定理，可得b，c的表达式，代入面积公式，结合两角差的正弦公式、二倍角公式、降幂公式、辅助角公式等，化简整理，可得面积S的表达式，根据锐角，可得角B的范围，根据三角函数的性质，可得答案.
【详解】（1）由题意得
，
令，解得，
所以的单调递减区间为，
的最大值为，最小值为
（2）因为，
所以，则，
因为，所以
所以，解得，
设角A、B、C对边为a，b，c，
因为的外接圆半径为2，由正弦定理得，
所以，
所以面积
因为是锐角三角形，
所以，解得，
所以，
所以，
所以，即面积的取值范围为.
1．（24-25高三上上海·期末）在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，，且，则 ，面积的取值范围为 .
【答案】
【详解】解：在锐角中， ，且，
由余弦定理得：，解得；
由余弦定理得，
因为是锐角三角形，所以 ，
即 ，解得 ，
所以，
故答案为：，
2．（24-25高三上石家庄·期末）已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）在锐角中，设角、、所对的边分别是、、，若且，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）最小正周期为，，；（Ⅱ）.
【详解】（Ⅰ）由题意，函数，
所以函数的最小正周期为，
令，解得，
所以函数的单调递增区间是，.
（Ⅱ）由（1）可得，因为，可得，
由正弦定理可知，所以，，
由及为锐角三角形，解得，
则
.
因为，可得，所以，
所以.
3．已知函数.
(1)求函数的定义域和值域；
(2)已知锐角的三个内角分别为A，B，C，若，求的最大值.
【答案】(1)；
(2)2
【详解】（1），
所以要使有意义，
只需，即，
所以，解得
所以函数的定义域为，
由于，所以，
所以函数的值域为；
（2）由于，所以，
因为0