新高考数学二轮复习巩固训练 专题09《数列》小题综合练（2份，原卷版+教师版）

这是一份新高考数学二轮复习巩固训练 专题09《数列》小题综合练（2份，原卷版+教师版），文件包含新高考数学二轮复习巩固训练专题09《数列》小题综合练教师版docx、新高考数学二轮复习巩固训练专题09《数列》小题综合练教师版pdf、新高考数学二轮复习巩固训练专题09《数列》小题综合练原卷版docx、新高考数学二轮复习巩固训练专题09《数列》小题综合练原卷版pdf等4份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。
等差数列通项公式： 或
等差中项：若，，三个数成等差数列，则，其中叫做，的等差中项
若，为等差数列，则，仍为等差数列
等差数列前n项和公式：或
等差数列的前项和中，，（为奇数）
等比数列通项公式：
等比中项：若，，三个数成等比数列，则,其中叫做，的等比中项
若，为等比数列，则，仍为等比数列
等比数列前项和公式：
已知与的关系
分组求和
若为等差数列，为等比数列，则可用分组求和
裂项相消求和

冲刺训练
1.数列{an}满足，，数列的前项积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件，利用等比数列的定义得到数列为等比数列，从而求出通项，利用通项即可求出结果.
【详解】因为数列满足a1＝，an+1＝2an，易知，所以为常数，又，所以数列是以2为首项，公比为的等比数列，所以，所以，故选：C．
2.斐波那契数列可以用如下方法定义：，且，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，则数列的第100项为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】由题意有，且，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，可得是以6为周期的周期数列，然后求解即可．
【详解】由题意有，且，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，
则，，，，，，，，，则数列是以6为周期的周期数列，则，则数列的第100项为3，故选：．
3.已知数列的前n项和为．若数列是等比数列；，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】结合等比数列性质，判断命题之间的逻辑推理关系，即得答案.
【详解】若是等比数列，设公比为k，则，
，
于是，即成立；
若，取，显然不是等比数列，故是的充分不必要条件．答案：A
4.已知是数列的前项和，，，，数列是公差为1的等差数列，则（ ）
A．366 B．367 C．368 D．369
【答案】A
【分析】把前项拆开成第项，后项，根据数列是等差数列，可将后面的项每项一个分组进行分组求和.
【详解】设，由题意是公差为的等差数列，则，
故，则，
故
于是.故选：A
5.已知数列满足：，，则数列的前项的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据对的分类讨论，令可得，，进行归纳可得规律，，再进行求和即可得解.
【详解】由，，令、、、，，可得，，
两式相加可得，，，两式相加，
进行推论归纳可得，，所以，对任意的,，
所以，数列的前项的和为.故选：C.
6．（多选）已知为等差数列，前项和为，，公差d = −2 ，则（ ）
A．=
B．当n = 6或7时，取得最小值
C．数列的前10项和为50
D．当n≤2023时，与数列（m N）共有671项互为相反数．
【答案】AC
【分析】由等差数列的首项和公差求出等差数列的通项公式，即可结合等差数列的性质判断ACD,由数列的单调性可判断B.
【详解】对于A，等差数列中，，公差，则，，故A正确；
对于B，由A的结论，，则，由d = −2当时，，，当时，，则当或6时，取得最大值，且其最大值为，B错误；
对于C,,故C正确，
对于D，由，则，则数列中与数列中的项互为相反数的项依次为：，，，，，可以组成以为首项，为公差的等差数列，设该数列为，则，
若，解可得，即两个数列共有670项互为相反数，D错误．故选：AC．
7．（多选）已知数列满足为的前项和．则下列说法正确的是（ ）
A．取最大值时， B．当取最小值时，
C．当取最大值时， D．的最大值为
【答案】AD
【分析】由题意知，即可得到的取值范围，从而得到令，即可得到，从而得到，即可判断A、B，再利用基本不等式求出，即可判断C、D.
【详解】由题意知，则，因为，所以，
令，所以，所以，所以，即或，又，故．当取最大值时，，此时，则，，故，故A正确；当取最小值时，，此时，则，，故，故B不正确；由，知，即，当且仅当时取等号，故当取最大值时，，此时，故C不正确，D正确．故选：AD
8．（多选）在公差不为零的等差数列中，已知其前项和为，且等比数列，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．设数列的前项和为，则
【答案】BC
【分析】设等差数列的公差为，利用，等比数列求出、，可判断A；求出可判断B，利用等差数列求和公式求出可判断C；求出，再利用错位相减求和可判断D.
【详解】对于A，设等差数列的公差为，由得，①
由等比数列得，，②
由①②解得，，所以，故A错误；
对于B，
，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，所以所以，①
，② ①②得，，
则，故D错误.故选：BC.
9.设等比数列的前项和为，前项积为，若满足，，，则下列选项正确的是（ ）
A．为递减数列 B．
C．当时，最小 D．当时，的最小值为4047
【答案】BC
【分析】首先讨论数列的单调性，判断A；根据单调性，确定，判断B；根据的意义，结合AB选项的判断，再判断C；结合等比数列的性质，以及AB选项的判断，即可判断D.
【详解】A.由条件可知，，与同号，所以，则，而，则公比，
若，数列单调递减，则，那么，与已知矛盾，
若，则，则那么，与已知矛盾，
只有当，才存在，使，所以等比数列单调递增，故A错误；
B.因为，单调递增，所以，
则，即，故B正确；
C.因为，且，所以当时，最小，故C正确；
D.根据等比数列的性质可知，，，
所以当时，的最小值为4046，故D错误.故选：BC
10.若数列中，，，且（），记数列的前n项积为，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据数列的周期性，即可求解.
【详解】因为，，且，所以，则，，，，，，发现数列是以6为周期的数列，且前6项积为1，则，，
所以.故答案为：.
11.已知定义域为R的偶函数满足，且当时，，若将方程实数解的个数记为，则 ．
【答案】
【分析】由条件分析得函数的周期性，结合对称性作出草图，分析两函数的交点个数，得出数列通项，裂项相消求和即可.
【详解】因为定义域为R的偶函数满足，所以，则，所以函数是以为周期得周期函数，方程的实数解个数，即函数的交点个数，不难发现也是偶函数，所以两函数的交点是关于纵轴对称的，这里只分析的情况.结合条件作出两函数简要图象如下：
当时，此时有两个交点，即，
当时，此时有4个交点，即，
当时，此时有6个交点，即，以此类推，可知，
故，所以，故答案为：.
12.已知数列满足：，若，且数列为递增数列，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据题意，两边同时取倒数，然后变形即可得到数列是等比数列，从而得到，再根据其为递增数列，列出不等式，即可得到结果.
【详解】因为，两边取倒数可得：，变形可得，所以数列是等比数列，且首项为，公比为，所以，则，又，数列为递增数列，所以，即.当时，，即，解得.所以实数的取值范围为.故答案为:.
13.设数列的通项公式为，其前项和为，则 .
【答案】100
【分析】讨论，，， 时的值，可得，从而可求的值.
【详解】当或，时，，；
当，时，，，
当，时.
∴，∴.故答案为：100.
14.已知等比数列满足：，.数列满足，其前项和为，若恒成立，则的最小值为 .
【答案】
【分析】设等比数列的公比为，求出、的值，可得出数列的通项公式，可求出的通项公式，求出，利用对勾函数的单调性求出的最大值，即可得出实数的最小值.
【详解】设等比数列的公比为，则，解得，
所以，，解得，则，所以，，
，所以，数列为等差数列，所以，，
则，因为函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，.又因为，故的最大值为.
因此，对任意的恒成立，所以，，故的最小值为.故答案为：.
15.已知无穷等差数列中的各项均大于0，且，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据题意，设等差数列的公差为，分析可得的取值范围，由求出，则有，构造函数，利用导数可求出其最值，从而可得答案.
【详解】根据题意，设等差数列的公差为，由于无穷等差数列中的各项均大于0，则，
由于，则，解得或（舍去），
所以，因为，所以，
令（），则，
由，得，得，解得或（舍去）。
当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，
所以当时，取得最小值，所以的最小值为，
故答案为：
数列 随堂检测
1.已知为等差数列，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】利用基本量法可求公差和首项，从而可求.
【详解】设等差数列的公差为，则，故，故，故选：A.
2.已知公比不为1的等比数列满足，则（ ）
A．40 B．81 C．121 D．156
【答案】C
【分析】设出公比，列出方程，求出公比，利用等比数列求和公式求出答案.
【详解】设公比为，由可得，，因为，所以，因为，解得，所以，所以.故选：C.
3.若数列的前项积，则的最大值与最小值的和为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】由题可得，利用数列的增减性可得最值.
【详解】∵数列的前项积，当时，，当时，，
，时也适合上式，∴，
∴当时，数列单调递减，且，当时，数列单调递减，且，
故的最大值为，最小值为，∴的最大值与最小值之和为2.故选：C.
4.设等比数列的前项和为，已知，，则（ ）
A．80 B．160 C．121 D．242
【答案】D
【分析】由，得（），两式相减可求了公比，再将代入中化简可求出，从而可求出.
【详解】由，得（），所以，得，
所以等比数列的公比为，所以由，得，
所以，解得，所以，故选：D
5．（多选）已知数列的前n项和为，且满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．数列的前n项和为 B．数列的通项公式为
C．数列不是递增数列 D．数列为递增数列
【答案】CD
【分析】确定得到是首项为，公差为的等差数列，得到即的通项公式，再依次判断每个选项得到答案.
【详解】，则，即，
故是首项为，公差为的等差数列，故，即，
，.对选项A：，错误；
对选项B：，错误；对选项C：，，故数列不是递增数列，正确；
对选项D：，故数列为递增数列，正确；故选：CD.
6．（多选）已知数列，下列结论正确的有（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，则数列是等比数列
D．若为等差数列的前项和，则数列为等差数列
【答案】ABD
【分析】直接利用累加法可判断选项A项；构造为等比数列可判断B项；利用与的关系可求得通项公式即可判断C项；利用等差数列的前n项和公式及定义法判断等差数列即可判断D项.
【详解】对于选项A，由，得，
则，故A项正确；对于选项B，由得，所以为等比数列，首项为，公比为2，所以，所以，故B项正确；
对于选项C，因为，当时，，当时，，
将代入，得，所以，所以数列不是等比数列，故C项错误.
对于选项D，设等差数列的公差为d，由等差数列前项和公式可得，
所以与n无关，所以数列为等差数列，故D项正确.故选：ABD.
7.在公差不为零的等差数列中，为其前n项和，若，则 ．
【答案】
【分析】设等差数列的公差为d，利用等差数列的通项公式和前n项和公式将已知条件转化为的方程，即可求解．
【详解】设等差数列的公差为d，∵，∴，
∴，∵，∴．故答案为：4．
8.数列满足下列条件：，且，恒有，则 ．
【答案】
【分析】由条件，恒有，得出
，按照此规律计算到，再分组求和即可得出答案．
【详解】，

，故答案为：．