四川省成都市嘉祥外国语高级中学2024-2025学年高一上学期12月阶段性学业反馈数学试卷（Word版附解析）

这是一份四川省成都市嘉祥外国语高级中学2024-2025学年高一上学期12月阶段性学业反馈数学试卷（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了答非选择题时，必须使用0，考试结束后，只将答题卡交回， “学如逆水行舟，不进则退， 下列表述正确的是等内容，欢迎下载使用。
2024年12月27日
本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名､考籍号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
5.考试结束后，只将答题卡交回.
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1. 用二分法求函数在内的唯一零点时，当精确度时，结束计算的条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二分法的步骤，即可得出结果.
【详解】二分法求函数在内的唯一零点时，当精确度时，结束计算，
根据二分法的步骤知当区间长度小于精确度时，便可结束计算.
所以当时，便可结束计算.
故选：B.
2. 已知集合，集合，则（ ）
A. 或B. 或
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先解分式不等式，求得集合，再利用交集的定义求解即得.
【详解】由可得且，解得或，
即或，又，
故.
故选：D.
3. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A. 与
B. 与且
C. 与
D. 与
【答案】B
【解析】
【分析】根据两函数定义域和对应法则一一判断即可.
【详解】A选项，的定义域为，的定义域为R，定义域不同，
故不是同一函数，A错误；
B选项，的定义域为R，且的定义域为R，
且，故两函数为同一函数，B正确；
C选项，两函数定义域均为R，且与对应法则不同，不是同一函数，C错误；
D选项，的定义域为，的定义域为，
定义域不同，不同一函数，D错误.
故选：B
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】对于选项A，B，利用赋值法即可判断正误；对于选项C，D，利用中间量结合指数函数与对数函数的单调性比较大小即可判断.
【详解】对于A，由，当时，，故A错误；
对于B，，当，时，
，故B错误；
对于C，，，所以，故C错误；
对于D，，，所以，故D正确；
故选：D
5. 已知扇形的周长为，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设扇形的半径为，可得出扇形的弧长为，利用二次函数的基本性质可求得扇形面积的最大值，求出对应的的值，进而求出扇形的圆心角的弧度数，然后利用等腰三角形的性质可求出扇形的弦长.
【详解】设扇形的半径为，可得出扇形的弧长为，
所以，扇形的面积为，
当时，该扇形的面积取到最大值，扇形的弧长为，此时，
如下图所示：
取的中点，则，且，因此，.
故选：C.
【点睛】本题考查扇形面积最值的计算，同时也考查了扇形弦长的计算，涉及二次函数基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.
6. 已知且，若函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数以及二次函数的性质即可结合分类求解.
【详解】当时，
时，，时，，
要使值域为，则，解得，
当时，
时，，
时，，
此时无法使得值域为，
综上可得
故选：A
7. “学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明：《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假
设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（ ）天“进步者”是“退步者”的2倍（参考数据：，，）
A. 35B. 37C. 38D. 39
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意列出不等式，利用指数和对数的运算性质求解即可．
【详解】假设经过天，“进步者”是“退步者”的2倍，
列方程得，
解得，
即经过约35天，“进步者”是“退步者”的2倍．
故选：A．
8. 已知函数，若，则图象与两坐标轴围成的图形面积为（ ）
A. 6B. C. 4D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】将图象与两坐标轴围成的图形面积，转化为图象与所围成的图象面积.利用的单调性、对称性等知识求得围成图形的面积.
【详解】由题可知函数图象为图象向左平移一个单位得到，
图象与两坐标轴围成的图形面积即为图象与所围成的图形面积，
，由得，解得，
所以的定义域为，
则有，函数的图象关于点成中心对称，
又，且点与点也关于点成中心对称，
，
由复合函数单调性可得函数在区间上单调递减，
如图，根据对称性可知图象与所围成的图形面积是，
也即图象与两坐标轴围成的图形面积为.
故选：C
【点睛】本题涉及到多个函数的性质，如函数定义域的求法、函数图象变换（左加右减）、函数图象的对称性的判断方法、复合函数单调性的判断，还有对称图形面积的求法，需要利用数形结合的数学思想方法来求解.
二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得全部分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列表述正确的是（ ）
A. “”是的终边落在第一象限或落在第四象限的既不充分又不必要条件
B. 连续函数在区间内有且仅有一个零点，则必有
C. 函数的单调递减区间是
D. 恒成立，则
【答案】AD
【解析】
【分析】A选项，举出反例得到充分性和必要性均不成立，A正确；B选项，举出反例；C选项，解不等式，得到定义域，并结合复合函数单调性满足同增异减进行求解；D选项，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案.
【详解】A选项，满足，但的终边不在第一象限且不在第四象限，充分性不成立，
的终边落在第一象限，但，故必要性不成立，
所以 “”是终边落在第一象限或落在第四象限的既不充分又不必要条件，A正确；
B选项，定义域为R，其中，且在上有唯一的零点0，
但，B错误；
C选项，令，解得或，
故的定义域为，
由于在上单调递增，且在上单调递减，
由复合函数单调性满足同增异减可知，的单调递减区间是，C错误；
D选项，恒成立，
若，此时，满足要求，
若，需满足，解得，
综上，，D正确.
故选：AD
10. 函数且过定点A，若，则下列结论正确的是（ ）
A. 定点A的坐标为
B. 的最小值为3
C. 的最小值为
D. 的最大值为0
【答案】BD
【解析】
【分析】根据对数函数过定点确定的坐标即可判断A；根据定点可得，结合基本不等式“1”的巧用求解的最值即可判断B；由等式，可得，结合二次函数求最值即可判断C；根据不等式结合对数函数的性质求解最值即可判断D.
【详解】函数且中，令得，又，
则函数过定点，故A不正确；
又，所以，即，
则，
当且仅当，即时，取到最小值为3，故B正确；
由可得，
又，所以，即，当且仅当，即时，等号成立，
所以
，
故当且，即时，的最小值
为，故C不正确；
由于，又，
所以，即，当且仅当时等号成立，
则，
当且仅当时等号成立，所以的最大值为0，故D正确.
故选：BD.
11. 已知函数，函数，则（ ）
A. 函数的值域为
B. 不存在实数，使得
C. 若恒成立，则实数的取值范围为
D. 若函数恰好有5个零点，则函数的5个零点之积的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据指数以及对数函数的性质即可求解A，根据即可求解B，根据二次函数的性质即可求解C，根据函数图象，结合对数的运算即可求解D.
【详解】对于A，由于,，故函数的值域为，A正确，
对于B，当时，有，故B错误，
对于C，
由于，要使恒成立，则或，解得，故
C正确
对于D，
令，则或，
作出的图象如下：要使有5个零点，如图，则，
由于，同理可得，
故，故D正确，

故选：ACD
【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 函数是幂函数，且在上为增函数，则实数的值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】结合幂函数的定义列方程，结合幂函数的性质列不等式，由此可求.
【详解】因为函数是幂函数，
所以，①
因为函数在上为增函数，
所以，②
由①可得或，
又，
所以.
故答案为：.
13. 已知是关于的方程的两个实根，且，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】由条件结合二次方程根与系数关系可得，，结合的范围可得所以，再由同角关系结合齐次化的方法求结果.
【详解】因为是关于的方程的两个实根，
所以，，
又，所以，故，
所以，，
所以，
所以，
因为，所以，故，
所以.
故答案为：.
14. 已知实数p，q满足，，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】由已知等式分别化简，，转化为两个函数的交点，利用数形结合的方法即可求得.
【详解】由，可得，由可知，即，则
即，即，则方程的解即为交点的横坐标，
方程，即关于的方程的解，即交点的横坐标，
因为互为反函数，所以它们关于对称，所以
的交点即为的交点和的交点的中点，作出函数图像如图所示，
联立方程，解得，即，所以
则.
故答案为：3
四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 已知集合，非空集合
（1）若“命题”是真命题，求的取值范围；
（2）若“命题”是真命题，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据且列不等式组求解；
（2）由求解．
【小问1详解】
解得，则，
“命题”是真命题，且，
，解得;
【小问2详解】
；
由为真，则，
.
16. 在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆交于点，已知.
（1）若A的横坐标为，求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）先化简，根据A的横坐标为求出余弦值，再分情况讨论求出正弦值，即可求的值；
（2）根据求出，将原式变形为，再弦化切即可求得答案.
【小问1详解】
由题，
若A的横坐标为，则
当时，；
当时，；
【小问2详解】
因为，所以.
所以.
17. 某公司的股票在交易市场过去的一个月内（以30天计），第天每股的交易价格满足函数关系（单位：元），第天的日交易量（万股）的部分数据如下表，给出以下四个函数模型：
①；②；③；④.
（1）请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该股票日交易量（万股）与时间第天的函数关系（简要说明理由），并求出该函数的关系式；
（2）根据（1）的结论，求出该股票在过去一个月内第天的日交易额的函数关系式，并求其最小值.
10
15
20
25
30
50
55
60
55
50
【答案】（1）选择模型②，
（2），441（万元）
【解析】
【分析】（1）股票价格不可能是单调的得出选择模型②，代入具体值求出函数解析式；
（2）首先写出的解析式，然后再根据函数单调性和基本不等式求出最值.
【小问1详解】
由表格数据知，当时间变换时，先增后减，而①③④都是单调函数所以选择模型②，
由，可得，解得，
由，解得，
所以与时间的变化的关系式为.
【小问2详解】
由（1）知：
所以.
当时，由基本不等式，可得，
当且仅当时，即时等号成立，
当时，为减函数，
所以函数的最小值为，
综上，当时，函数取得最小值441（万元）.
18. 已知函数，函数
（1）证明函数的奇偶性，并求的值；
（2）判断函数在上的单调性，并利用定义法证明；
（3），使在区间上的值域为，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析，0；
（2）单调递减，证明见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质即可求解；
（2）根据函数的单调性即可求解；
（3）根据函数的单调性，将问题转化为，进而转化为在内有两不等实根，利用换元法和分离参数，结合对勾函数的性质求解.
【小问1详解】
由于函数的定义域为且，关于原点对称；
又，故为奇函数；
则；
【小问2详解】
函数上单调递减，证明如下：
当时，，
设
由于且，
故，则，
因此，
故函数在上单调递减.
【小问3详解】
因为，且在上单调递减，为单调递增函数，
所以在上单调递减，
所以在上的值域为，
，即
整理得：
即在内有两不等实根，
令，当时，则关于的方程在内有两个不等实根，
整理得：，令，则，
故题设等价于函数与在有两个不同的交点，
由对勾函数性质知函数在上递减，在上递增，且时，，如图，
所以函数在上值域为.
，即.
【点睛】方法点睛：处理多变量函数最值问题的方法有：
（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.
（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化.
19. 如图，成都天府新区标志性悬索桥——云龙湾大桥，其悬索形态宛如平面几何中的悬链线.历史上，莱布尼兹等人曾研究并得出了悬链线的一般方程，其中双曲余弦函数尤为特殊.类似的有双曲正弦函数，双曲正切函数.已知函数和满足以下条件：①；②

（1）请基于以上信息求函数和的初等函数表达式，并证明：.
（2）设.证明：有唯一的正零点，并比较和的大小.
（3）关于的不等式对任意恒成立，求实数
取值范围.
【答案】（1），证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由已知联立解方程组可得，代入所求表达式可证明题设中等式；
（2）化简函数，然后由函数的单调性及零点存在定理确定零点的范围，根据零点满足的等式变形（都化为对数函数形式，然后由对数运算化简函数式，进而证明它小于0，得证结论成立；
（3）确定函数的奇偶性与单调性，然后化简不等式为，由换元法，令，由单调性求得的范围，问题转化为一元二次不等式在某个区间上恒成立，通过分类讨论求函数的最值，解不等式得参数范围．
【小问1详解】
，
所以，；
下面证明：，
所以；
【小问2详解】
由（1）知，
所以，显然在上为增函数，
且，
则在上存在唯一实数，使，
所以有唯一的正零点；
由，得，两边同时取对数得，
于是，
而在上是增函数，则有，
因此，所以
【小问3详解】
因为，该函数的定义域为，
，故函数为奇函数，
又因为，
因为内层函数在上为增函数，且，
外层函数在上为增函数，所以函数在上为增函数，
由，
得，即，即，
因为函数在上是增函数，
令，则函数在上是增函数，
当时，，且，则，
于是有，即对任意的恒成立，
令，其中，
当时，即当时，函数在上单调递增，
则，解得，此时，；
当时，即当时，只需，
解得，此时，；
当时，即当时，函数在上单调递减，
则，解得，此时，.
综上所述，实数的取值范围是．
【点睛】方法点睛：函数新定义问题，解题方法是抓住新定义，把新定义转化为已知函数的表达式，函数不等式恒成立问题，首先需要通过函数的单调性与奇偶性化简不等式，对于较复杂的不等式，需要用换元法等进行化简转化，如本题指数函数的不等式转化为一元二次不等式恒成立，其次一元二次不等式恒成立，常常需要分类讨论求相应二次函数的最值后求得参数范围．