河南省南阳市六校2024-2025学年高二上学期12月第二次联考数学试卷(含答案)

这是一份河南省南阳市六校2024-2025学年高二上学期12月第二次联考数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知，，，若，，共面，则实数的值为( )
A.B.C.2D.3
2．设向量与满足，在方向上的投影向量为，则在方向上的投影数量为( )
A.B.C.D.
3．学校教师运动会设置有“跳绳”、“立定跳远”、“定点投篮”、“沙包掷准”四个比赛项目，每个项目各需要一位裁判，现有甲、乙、丙、丁四位体育老师，每人做且仅做一项裁判工作，因为时间问题，甲不能安排“跳绳”裁判，乙不能安排“定点投篮”裁判，则不同的安排方法共有( )
A.12种B.14种C.7种D.9种
4．如图，在四面体OABC中，，，，点M为线段OA上靠近点A的三等分点，N为BC的中点，则( )
A.B.
C.D.
5．已知三棱锥中，平面，，且，D，E分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
6．已知椭圆，过点且方向向量为的光线，经直线反射后过C的右焦点，则C的离心率为( )
A.B.C.D.
7．已知，，若圆上存在点P满足，则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．正八面体可由连接正方体每个面的中心构成，如图所示，在棱长为2的正八面体中，则有( )
A.直线与是异面直线
B.平面平面
C.该几何体的体积为
D.平面与平面间的距离为
二、多项选择题
9．以下命题正确的是( )
A.直线与直线垂直的充要条件是
B.已知圆，过点的直线与圆C交于P，Q两点，则的最小值为4
C.方程表示椭圆的充要条件是
D.直线和以、为端点的线段相交，则k的取值范围是
10．已知直线，双曲线.以下说法正确的是( )
A.当时，直线l与双曲线只有一个公共点
B.直线l与双曲线只有一个公共点时，或
C.当或时，直线l与双曲线没有公共点
D.当时，直线l与双曲线有两个公共点
11．正方体的8个顶点分别在4个互相平行的平面内，每个平面内至少有一个顶点，且相邻两个平面间的距离为1，则该正方体的棱长为( )
A.B.C.2D.
三、填空题
12．已知直线，圆，若圆C上至少存在两点到直线l的距离等于，则实数k的取值范围是___________.
13．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑在鳖臑中，平面，，，点P在棱上运动则面积的最小值为___________.
14．已知正方体的棱长为2，M为棱的中点，平面过点B，，则平面截正方体所得截面的周长为___________.
四、解答题
15．已知函数的图像与直线l均过定点A.
(1)若直线l在x，y轴上的截距相等，求直线的方程；
(2)若点P是圆上的动点，点Q满足，求的最大值
16．已知圆.
(1)若直线平分圆M，求的最小值；
(2)顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线C的准线与圆M相切，F为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点，求的最大值
17．在图1的直角梯形ABCD中，，，，点E是DC边上靠近于点D的三等分点，AC交BE于点F，以BE为折痕将折起，使点C到达的位置，且，如图2.
(1)求四棱锥的体积V；
(2)求与平面所成角的正弦值
18．如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为正方形，E为棱PD的中点，O为边AB的中点
(1)求证：平面POC；
(2)若侧面底面ABCD，且，，求二面角的余弦值
19．焦距为的椭圆，如果满足，则称此椭圆为“等差椭圆”.
(1)如果椭圆是等差椭圆，求的值；
(2)对于焦距为6的等差椭圆T，点A，B分别为椭圆的左、右顶点，直线交椭圆于P，Q两点，（P，Q异于A，B），设直线AP，BQ的斜率分别为，，是否存在实数，使得，若存在，求出，不存在说明理由
参考答案
1．答案：C
解析：由题设且x，，
则，
所以，
可得.
故选：C
2．答案：B
解析：由在方向上的投影向量为，
得，则，
所以在方向上的投影数量为.
故选：B
3．答案：B
解析：当甲安排“定点投篮”，另外3人任意安排工作有6种方法
当甲不安排“定点投篮”时，先安排甲有2种，
再安排乙有2种，另外剩余2人有2种，
此时有种方法，
共有种，
故选：B
4．答案：C
解析：由图知
故选：C
5．答案：D
解析：取AC的中点H，SC的中点F，
连接DH，EH，EF，DF，如图所示：
在中，因为D，F分别为SA，SC的中点，
故，
故或其补角即为所求角，
设，
在中，，
又有，
由平面，平面，
可得，则，，
由于，可得平面ABC，
又面ABC，则，
可得，
所以.
故选：D.
6．答案：A
解析：设过点且方向向量为的光线，
交直线的点为B，右焦点为F，
如下图所示：
因为方向向量的直线斜率为-1，
则，直线AB的斜率为-1，
又由反射光线的性质可得的斜率为1，故，
所以为等腰直角三角形，且B到的距离为b，
又，故，
所以，
则，
故，离心率.
故选：A
7．答案：A
解析：设点，则由得点P的轨迹方程为，
圆心为，半径为2，
由此可知圆与有公共点，
又圆的圆心为，半径为3，
所以，
解得，即a的取值范围是.
故选：A.
8．答案：D
解析：正八面体可由正方体每个面的中心构成，如图：
因为正八面体的棱长为2，所以正方体的棱长为.
∵A，E，C，F四点共面，直线与是共面的，故A错；
设二面角为，，，
所以.
所以：二面角，故B错；
，故C错；
由八面体的构成可知：
平面和平面之间的距离是正方体体对角线的，
所以两个平面之间的距离为：，故D对
故选：D
9．答案：ABD
解析：对于A，，所以，
解得，故A正确；
对于B，点A在C圆内，当时，取最小值，
，，所以的最小值是，故B正确；
对于C，方程表示椭圆的充要条件是，
解得且，故C错误；
对于D，由直线可得，
所以直线过定点，
又，，
画图可知k的取值范围是，故D正确；
故选：ABD
10．答案：AC
解析：由直线方程知，直线过，
双曲线的渐近线为，所以时一个交点，
联立直线与双曲线，得，
则，
当，即时直线与双曲线相切，
当，即或时没有公共点，
当且，
即或或时两个公共点
所以A、C对，B、D错
故选：AC
11．答案：BD
解析：设该正方体为，且其棱长为a，
若考虑4个平面中最中间的两个平面，共有两种情况
①若中间的两个平面为平面和平面，如图1所示，
则过，A，C作截面，截面图如图2所示，
其中E，F分别为，中点，
则，，
设相邻两平面间距离即为A到的距离h，
可得，解得，
即相邻两平面间距离即为A到的距离，
可知，解得；
②若中间的两个平面如图3所示，过B，C，作截面，截面图如图4所示，
其中M，N分别为，中点，
则，，
设相邻两平面间距离即为B到的距离d，
可得，解得，
即相邻两平面间距离即为B到的距离，
则，解得；
故选：BD.
12．答案：
解析：圆心到直线l的距离，
且圆的半径，
圆C上至少存在两点到直线l的距离为，
则，即，
所以，
解得，
故k的取值范围是.
故答案为：
13．答案：
解析：如图，作于点Q，作，
交于点M，连接.得到，
，平面，
，又，，
所以面PQM，所以.
设，，由，
得到，
在中，，
得到，，
，
当且仅当时，等号成立
.
故答案为：.
14．答案：
解析：取，的中点N，E，
连接，，，
在正方形中，因为E，N分别为，的中点，
可得，
所以，
因为，
所以，可得，
在正方体中，平面，
因为平面，所以
又因为M，N分别为，的中点，
所以，所以，
因为，且，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
在正方体中，由平面，
且平面，可得，
因为，且，
，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为且，平面，
所以平面，
即平面为平面，取的中点F，连接，
因为E、F分别为、的中点，则，
因为且，
故四边形为平行四边形，故，
所以，，故E、F、B、D四点共面，则截面为，
由正方体的棱长为2，
可得，，
，
所以所得截面周长为.
故答案为：.
15．答案：(1)或；
(2)
解析：(1)因为，所以定点
因为直线在x，y轴上的截距相等，设截距分别为m，n，
当时，直线经过原点，设，又经过点A，
则有，直线l的方程为；
当时，设直线l的方程为，
代入点，解得，
所以直线l的方程为.
综上可得直线l的方程为或.
(2)设，，由
可得，
代入，
得
即为点Q的轨迹方程，如下图所示：
圆心，半径，点A在圆外，
点A到圆心的距离为，
所以的最大值为.
16．答案：(1)4
(2)
解析：(1)由圆M的方程，
即，
则圆M的圆心，半径，
由题意知，直线过圆心M，
则，
即，，，
由，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值是4.
(2)由题意，抛物线的准线为，
所以抛物线方程为，焦点，
所以，，
，其中，
所以，时有
，
当且仅当，即时等号成立；
而时，，，则.
所以的最大值是.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)根据题意，由直角梯形边长，，
可知
故，；
又点E是边上靠近于点D的三等分点，
所以，可得为等边三角形；
连接，如下图所示：
可得四边形为菱形，所以，
即折起后，，
如图所示，易知，
又，满足，
即；
又，AF，平面，
所以平面，且，
梯形的面积为，
所以
(2)以D为坐标原点，分别以，为x，y轴，
方向为z轴正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：
则，，，，，
可得，，，
设平面的法向量，
则，
令，则得为平面一个法向量，
设与平面所成的角为，
所以.
18．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：(1)取线段PC的中点M，连接OM，EM，
在中，E，M分别为PD，PC的中点
∴，且，
又∵底面ABCD是正方形，且O是AB的中点，
∴，且，
∴，且
∴四边形AOME为平行四边形，则，
又平面POC，平面POC，
∴平面POC.
(2)由，，可知为等边三角形，
设OA中点为Q，则，
又∵平面平面ABCD，
平面平面，平面，
所以平面ABCD，
设CD上靠近点D的四等分点为N，
则，，
以Q为原点，分别以QB，QN，QP所在直线为x，y，z轴
建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面PBD的法向量为，则，
取，得，，
所以为平面PBD的一个法向量
取平面ABD的法向量为
设平面PBD与平面ABD所成的平面角为，且为锐角，
则.
所以二面角的余弦值为.
19．答案：(1)
(2)存在，.
解析：(1)因为椭圆是等差椭圆，
所以，
所以，又，
所以，
化简得.
(2)由且
可知，，.
所以椭圆方程为，如图，
联立直线得，
，，设，，
则，，
，，
，，，
把，代入，
得，
所以存在实数，使得.