江西省宜春市丰城市2024-2025学年高二上册期末考试数学检测试题(含解析)
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这是一份江西省宜春市丰城市2024-2025学年高二上册期末考试数学检测试题(含解析),共31页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、单选题:(共8个小题,每小题5分,共40分.)
1. 已知i为虚数单位,若复数对应的点在复平面的虚轴上,则实数( )
A. B. C. 6D.
2. “”是“方程表示的曲线为椭圆”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 记为等比数列的前项和,若,,则( )
A. 48B. 81C. 93D. 243
4. 已知抛物线焦点为F,准线为l,过点F且倾斜角为的直线交抛物线于点M(M在第一象限),,垂足为N,直线NF交x轴于点D,则( )
A. 2B. C. 4D.
5. 过直线上一点P作⊙M:两条切线,切点分别为A,B,若使得的点P有两个,则实数m的取值范围为( )
A. B.
C. 或D. 或
6. 在形状、大小完全相同4个小球上分别写上4位学生的名字,放入袋子中,现在4位学生从袋子中依次抽取球,每次不放回随机取出一个,则恰有1位学生摸到写有自己名字的小球的概率为( )
A. B. C. D.
7. 已知函数,若实数满足,则的最大值为( )
A. B. C. D.
8. 如图,在直三棱柱中,分别为线段的中点,,平面平面,则四面体的外接球的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题:(共3个小题,每小题6分,共18分.)
9. 函数的大致图象可能是( )
A. B.
C. D.
10. 已知函数,则下列四个命题正确的是( )
A. 函数在上是增函数
B. 函数的图象关于中心对称
C. 不存在斜率小于且与数的图象相切的直线
D. 函数的导函数不存在极小值
11. 著名的德国数学家狄利克雷在19世纪提出了这样一个“奇怪的”函数:定义在上的函数.后来数学家研究发现该函数在其定义域上处处不连续、处处不可导.根据该函数,以下是真命题的有( )
A.
B. 的图象关于轴对称
C. 的图象关于轴对称
D. 存在一个正三角形,其顶点均在的图象上
三、填空题:(共3个小题,每小题5分,共15分.)
12. 等差数列中是函数的极值点,则______.
13. 若,是双曲线:的两个焦点,,为上关于坐标原点对称的两点,且,设四边形的面积为,四边形的外接圆的面积为,则______.
14. 已知正项数列的前n项和满足(n为正整数),则_________;记,若函数的值域为,则实数k的取值范围是__________.
四、解答题:(5题,共计77分.)
15. 公差不为0的等差数列{an}中,前n项和记为Sn.若a1=1,且S1,2S2,4S4成等比数列,
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列的前项n项和Tn.
16. 如图,在三棱柱中,,,D,E分别是CB,CA的中点,.
(1)若平面平面,求点到平面ABC的距离;
(2)若,求平面与平面夹角的余弦值.
17. 如图所示,一只蚂蚁从正方体的顶点出发沿棱爬行,记蚂蚁从一个顶点到另一个顶点为一次爬行,每次爬行的方向是随机的,蚂蚁沿正方体上、下底面上的棱爬行的概率为,沿正方体的侧棱爬行的概率为.
(1)若蚂蚁爬行次,求蚂蚁在下底面顶点的概率;
(2)若蚂蚁爬行5次,记它在顶点出现的次数为,求的分布列与数学期望.
18. 如图,一张圆形纸片的圆心为点E,F是圆内的一个定点,P是圆E上任意一点,把纸片折叠使得点F与P重合,折痕与直线PE相交于点Q,当点P在圆上运动时,得到点Q的轨迹,记为曲线C.建立适当坐标系,点,纸片圆方程为,点在C上.
(1)求C的方程;
(2)若点坐标为,过F且不与x轴重合直线交C于A,B两点,设直线,与C的另一个交点分别为M,N,记直线的倾斜角分别为,,当取得最大值时,求直线AB的方程.
19. 已知函数有两个零点.
(1)求实数a的取值范围;
(2)求证:;
(3)求证:.
江西省宜春市丰城市2024-2025学年高二上学期期末考试数学
检测试题
一、单选题:(共8个小题,每小题5分,共40分.)
1. 已知i为虚数单位,若复数对应的点在复平面的虚轴上,则实数( )
A. B. C. 6D.
【正确答案】D
【分析】利用复数的除法运算整理一般式,可得答案.
【详解】由,
结合题意,则,解得
故选:D.
2. “”是“方程表示的曲线为椭圆”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】B
【分析】首先求方程表示椭圆的的取值范围,再根据集合的包含关系,即可判断选项.
详解】若方程表示椭圆,则
,解得:,且,
所以“”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件.
故选:B
3. 记为等比数列的前项和,若,,则( )
A. 48B. 81C. 93D. 243
【正确答案】C
【分析】根据等比数列的前项和先确定公比,再计算得,从而计算得的值,即可得的值.
【详解】设等比数列的公比为,因为,,
若,则,得,则,故,
则,所以,
所以,所以.
故选:C.
4. 已知抛物线的焦点为F,准线为l,过点F且倾斜角为的直线交抛物线于点M(M在第一象限),,垂足为N,直线NF交x轴于点D,则( )
A. 2B. C. 4D.
【正确答案】A
【分析】由已知条件证得是等边三角形,在中,利用三角函数求.
【详解】由已知可得,,.
如图所示,过点F作,垂足为A.
由题得,所以.
根据抛物线的定义可知,
所以是等边三角形.
因为,所以.
在中,.
故选:A.
5. 过直线上一点P作⊙M:的两条切线,切点分别为A,B,若使得的点P有两个,则实数m的取值范围为( )
A. B.
C. 或D. 或
【正确答案】B
【分析】易得,根据题意可得圆心到直线的距离,进而可得出答案.
【详解】⊙M:的圆心,半径,
由,得,
由题意可得圆心到直线的距离,
即,解得.
故选:B.
6. 在形状、大小完全相同的4个小球上分别写上4位学生的名字,放入袋子中,现在4位学生从袋子中依次抽取球,每次不放回随机取出一个,则恰有1位学生摸到写有自己名字的小球的概率为( )
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】利用计数方法结合古典概型求解.
【详解】4位学生从袋子中依次抽取球,每次不放回随机取出一个的方法总数为种,
恰有1位学生摸到写有自己名字的小球,可以先从4人中选出1人摸到写有自己名字的小球,另外三人摸到的都不是写有自己名字的小球共种,
所以恰有1位学生摸到写有自己名字的小球的概率为.
故选:B
7. 已知函数,若实数满足,则的最大值为( )
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】首先对进行变形,构造函数,,推得其对称中心为,且上在单调递增,再结合对称性和单调性将转化为,再利用基本不等式求解的最大值.
【详解】由,
记,,
则,,
且单调递增,单调递增,
则与都关于中心对称且为上的增函数,
所以,
故关于中心对称且为上增函数,
则由,得,可得,
记,
则,
可得,当且仅当,即取等号,
故的最大值为.
故选:C.
关键点睛:本题解决的关键是求得的对称中心,从而得到,的关系,进而利用基本不等式求解最值.
8. 如图,在直三棱柱中,分别为线段的中点,,平面平面,则四面体的外接球的体积为( )
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】取的中点,连接,由等腰三角形的性质与面面垂直的性质定理证平面,由线面垂直的性质及判定定理证平面,进而推出,利用勾股定理及勾股定理的逆定理等证,从而确定四面体的外接球的球心与半径,利用球的体积公式求解即可.
【详解】如图,取的中点,连接,
因为,所以.
又平面平面,平面平面平面,
所以平面,
又平面,所以.
依题意平面平面,
所以,又平面,
所以平面.
又平面,
所以,所以,
所以.
连接,则,
所以.
又,
所以,
所以.
因为与共斜边,
所以四面体的外接球的球心为的中点,
且外接球半径,
所以该球的体积.
故选:A
确定简单几何体外接球的球心有如下结论:(1)正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点;(2)正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点;(3)直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点;(4)正棱锥的外接球的球心在其高线上;(5)若三棱锥的其中两个面是共斜边的直角三角形,则公共斜边的中点就是外接球的球心.
二、多选题:(共3个小题,每小题6分,共18分.)
9. 函数的大致图象可能是( )
A. B.
C. D.
【正确答案】BCD
【分析】对的取值进行分类讨论,利用导数对函数的单调性进行分析即可判断函数的大致图象.
【详解】当时,是偶函数,当时,为减函数,此时对应图象可能是C;
当时,,令得,为非奇非偶函数,且,
令其对应方程的,设其对应方程的两根分别为,,,
所以,,,,,,
即函数在和上单调递减,在上单调递增,由单调性判断此时对应图象可能是B;
当时,为非奇非偶函数,在处无定义,
取时且单增,
时且单增,时单增,
此时对应图象可能是D;
对于A,由于图象无间断点,故,但此时在上不可能恒正,
故选:BCD.
10. 已知函数,则下列四个命题正确的是( )
A. 函数在上是增函数
B. 函数的图象关于中心对称
C. 不存在斜率小于且与数的图象相切的直线
D. 函数的导函数不存在极小值
【正确答案】ABC
【分析】先确定函数的定义域,再求导函数,有导函数的符号判断函数的单调性,判断A的真假;判断是否成立,从而判断B的真假;对函数的导函数进行分析,求导函数的值域,可判断CD的真假.
【详解】因为,所以函数的定义域为.
因为:,,所以时,恒成立,所以在为增函数,故A正确;
因为:,,故,即得图象关于点对称,故B正确;
因为:,,
当时,为的最小值,
所以的切线的斜率一定大于或等于,不存在斜率小于的切线,故C正确;
有最小值,故D错误.
故选:ABC
关键点睛:
(1)证明函数图象关于点对称,需要证明或恒成立即可;
(2)证明函数的图象关于直线对称,需要证明或恒成立即可.
11. 著名的德国数学家狄利克雷在19世纪提出了这样一个“奇怪的”函数:定义在上的函数.后来数学家研究发现该函数在其定义域上处处不连续、处处不可导.根据该函数,以下是真命题的有( )
A.
B. 的图象关于轴对称
C. 的图象关于轴对称
D. 存在一个正三角形,其顶点均在的图象上
【正确答案】BCD
【分析】特殊值代入验证A,D;利用偶函数定义判断B,C.
【详解】对于A,当,时,,,,故A错误;
对于B,因为的定义域为,关于原点对称,
若是无理数,则是无理数,所以,;
若是有理数,则是有理数,所以,;
所以,
故是偶函数,图象关于轴对称,B正确;
对于C,由B可知,,所以,
故偶函数,图象关于轴对称,C正确;
对于D,设, ,,
则,所以是等边三角形,
又因为,,,所以的顶点均在的图象上,D正确.
故选:BCD
三、填空题:(共3个小题,每小题5分,共15分.)
12. 等差数列中的是函数的极值点,则______.
【正确答案】##
【分析】先由题意求出,再利用等差中项求出,最后利用对数的运算法则即可求解.
【详解】函数的定义域为,
,
因为是函数的极值点,
所以是方程的两根,
所以,
因为是等差数列,
所以,
所以.
故答案为.
13. 若,是双曲线:的两个焦点,,为上关于坐标原点对称的两点,且,设四边形的面积为,四边形的外接圆的面积为,则______.
【正确答案】
【分析】根据给定条件,探求四边形的形状,结合双曲线的定义及勾股定理求出,再求出作答.
【详解】依题意,点与,与都关于原点O对称,且,因此四边形是矩形,如图,
由双曲线:得:,,
于是,
显然四边形的外接圆半径为,因此,
所以.
故
14. 已知正项数列的前n项和满足(n为正整数),则_________;记,若函数的值域为,则实数k的取值范围是__________.
【正确答案】 ①. ②.
【分析】因式分解即可求出,再利用求出数列的通项公式,由裂项相消求和法计算可得.设函数,将函数写出分段函数,根据函数的值域为R和极限的思想可得当时、当时,解不等式即可求解.
【详解】因为,所以,
又因为是正项数列,所以,即,
当得,当得,
经检验符合上式,所以.
所以.
设函数,
当时,
;
同理可得,当时,,
当时,,
当时,,
当时,,
即,其中,
由函数的值域为R知,当时,,
所以,即,解得;
当时,,
所以,即,解得,
综上,实数k的取值范围为.
故;.
关键点点睛:本题的关键点是将函数转化为分段函数,利用函数的值域确定关于k的不等式即可求解,其中涉及到极限思想以及数列的求通项公式和求和知识点,平时练习都要熟练应用.
四、解答题:(5题,共计77分.)
15. 公差不为0的等差数列{an}中,前n项和记为Sn.若a1=1,且S1,2S2,4S4成等比数列,
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列的前项n项和Tn.
【正确答案】(1);(2).
【分析】
(1)由条件可知,代入等差数列的前项和公式,整理为关于的方程求解通项公式;(2)由(1)可知,利用裂项相消法求和.
【详解】解:(1)由已知可得:,
即:,
解得(舍)或
所以,
(2)由(1)可得,
所以;
所以
.
本题考查等差数列和等比数列的点到综合,以及裂项相消法求和,属于基础题型,本题的难点是第二问,注意能使用裂项相消法的类型.
16. 如图,在三棱柱中,,,D,E分别是CB,CA的中点,.
(1)若平面平面,求点到平面ABC的距离;
(2)若,求平面与平面夹角的余弦值.
【正确答案】(1)
(2).
【分析】(1)建立空间直角坐标系,利用点点距离公式可得点,进而根据面面垂直得法向量垂直,即可根据向量的坐标运算求解,根据线面垂直即可求解距离,
(2)根据法向量的夹角即可求解.
【小问1详解】
以C为坐标原点,CA,CB所在的直线分别为x轴,y轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
设,因为,,,
所以,则,,,.
设平面的一个法向量,则,即
令,则,,所以,
设平面的一个法向量,则,即令,则,,所以.
因为平面平面,所以,
所以,即,所以,
所以,所以点在z轴上,即平面ABC,
因为平面ABC,所以,
又,,所以,
故到平面ABC的距离为.
【小问2详解】
由(1)知,由,则,
因为,所以,
所以,,所以.
由(1)知平面的一个法向量,平面的一个法向量,
设平面与平面的夹角为,
则,
即平面与平面的夹角的余弦值为.
17. 如图所示,一只蚂蚁从正方体的顶点出发沿棱爬行,记蚂蚁从一个顶点到另一个顶点为一次爬行,每次爬行的方向是随机的,蚂蚁沿正方体上、下底面上的棱爬行的概率为,沿正方体的侧棱爬行的概率为.
(1)若蚂蚁爬行次,求蚂蚁在下底面顶点的概率;
(2)若蚂蚁爬行5次,记它在顶点出现的次数为,求的分布列与数学期望.
【正确答案】(1)
(2)分布列见解析,
【分析】(1)记蚂蚁爬行次在底面的概率为,则它前一步只有两种情况:在下底面或在上底面,找到关系构造等比数列可得答案.
(2)结合题意易知,求出对应得概率,列出分布列,计算期望即可.
【小问1详解】
记蚂蚁爬行次在底面的概率为,则它前一步只有两种情况:在下底面或在上底面,
结合题意易得,,
是等比数列,首项为,公比为,
【小问2详解】
结合题意易得:,
当时,蚂蚁第3次、第5次都在处,
当时,蚂蚁第3次在处或第5次在处,
设蚂蚁第3次在处概率为,
设蚂蚁第5次在处的概率为,
设蚂蚁不过点且第3次在的概率为,设蚂蚁不过点且第3次在的概率为,
设蚂蚁不过点且第3次在的概率为,由对称性知,,
,又,
得,
,
,
的分布列为:
的数学期望.
18. 如图,一张圆形纸片的圆心为点E,F是圆内的一个定点,P是圆E上任意一点,把纸片折叠使得点F与P重合,折痕与直线PE相交于点Q,当点P在圆上运动时,得到点Q的轨迹,记为曲线C.建立适当坐标系,点,纸片圆方程为,点在C上.
(1)求C的方程;
(2)若点坐标为,过F且不与x轴重合的直线交C于A,B两点,设直线,与C的另一个交点分别为M,N,记直线的倾斜角分别为,,当取得最大值时,求直线AB的方程.
【正确答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据椭圆的定义可判断轨迹形状,继而确定的值,即得答案;
(2)讨论是否为直角,不为直角时,设直线的方程为,设直线的方程为,联立椭圆方程,结合根与系数的关系式,求出坐标的表达式,从而化简得到的关系,利用两角差的正切公式,求出的表达式,分类讨论,结合基本不等式,求出符合题意的k的值,即可求得答案.
【小问1详解】
由题意知,以中点为原点O,以所在直线为x轴,以的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,
F是圆内的一个定点,故圆的半径,
则,
故点Q的轨迹为以为焦点的椭圆,设椭圆方程为,
则其焦距为,
又点在C上,则,
故C的方程为;
【小问2详解】
当时,由椭圆对称性得;
当时,设直线的方程为,
设,
则,
当时,设直线的方程为,则,
联立,则,
由于直线过椭圆焦点,则必有,故
,
则,
同理当时,设直线的方程为,则,
则,
故
,
当时,,根据椭圆的对称性,不妨设,
则,
,满足,
同理当时,也满足,
故,
当时,,
当时,
且,
当且仅当,即时取得等号,此时取得最大值,
综上取得最大值时,,直线的方程为.
难点点睛:本题考查了椭圆方程的求解以及直线和椭圆位置关系中的最值问题,综合性强,难度大,解答时要设直线方程,联立椭圆方程,利用根与系数的关系式,求出相关点的坐标,结合两角差的正切公式化简求解,解答的难点在于计算过程比较复杂,计算量大,并且都是关于字母参数的运算,因此需要十分细心.
19. 已知函数有两个零点.
(1)求实数a的取值范围;
(2)求证:;
(3)求证:.
【正确答案】(1)
(2)证明见解析 (3)证明见解析
【分析】(1)首先求函数的导数,并判断函数的单调性和最值,求实数的取值范围,再结合函数的单调性和零点存在性定理,说明零点的情况;
(2)构造新函数,并利用导数判断函数的单调性,并结合,即可证明;
(3)设,并求导,可证明,即可证明,设
,设,并求导,证明.
【小问1详解】
,
又因为函数单调递增,且,
所以,
所以在上单调递减,在上单调递增,
当,即时,
,
,
所以在和上各有一个零点,
当时,的最小值为,且,
所以在内至多只有一个零点,
综上,实数的取值范围是;
【小问2详解】
设,,
,
,
当时,,
,
所以,
所以在上单调递增,
当时,,
即当时,,
又因为函数有两个零点,
由(1)知,,,
所以,
【小问3详解】
设,
,
,当时,
因为,
令,,
设,,
令,解得:,令,解得:,
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以,
所以恒成立,显然,
令,解得:,令,解得:,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以,
即,
设的零点为,,
易知,
所以,
设,
设,,
令,解得:,令,解得:,
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以,
所以恒成立,即,
设的零点为,,
易知,,
所以,
所以,
所以
方法点睛:利用导数证明不等式有如下方法,
方法一,等价转化是证明不等式的常见方法,其中利用函数的对称性,构造对称差函数是解决极值点偏移问题的基本处理策略;
方法二,比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径,构造函数利用函数的单调性证明的不等式即可,
方法三,利用不等式 的性质对原不等式作等价转换后,利用导数证明相关的式子成立.
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