2025常州五校高三上学期12月联合调研试题数学含解析

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2024.12
出卷老师：朱文光 审卷老师：潘玲
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 命题“，使得”的否定是（ ）
A. ，使得B. ，使得
C. ，使得D. ，使得
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定是特称量词命题分析判断即可.
【详解】命题“，使得”的否定是“，使得”.
故选：A.
2. 已知角的终边经过点，则的值为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据任意角三角函数的定义求，代入运算即可.
【详解】因为角的终边经过点，则，
可得，
所以.
故选：C.
3. 已知集合，则的子集个数为（ ）
A. 8B. 16C. 32D. 64
【答案】B
【解析】
【分析】先根据题意求出集合，然后利用公式可求出其子集的个数.
【详解】因为，，
所以当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以，
所以集合的子集个数为.
故选：B
4. 设，则“且”是“”的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】运用充分条件，必要条件概念，结合不等式性质判断.
【详解】且，有不等式性质可以知道，但是，如且,得不到
且.故“且”是“”的充分不必要条件.
故选：B.
5. 在周长为定值的扇形中，面积最大时扇形的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用半径表示出面积，结合二次函数性质可得结论.
【详解】设扇形半径为，则扇形的弧长为，
则扇形面积为，
所以时，取得最大值.
故选：C.
6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抽象函数定义域法以及指数函数单调性运算求解即可.
【详解】因为函数的定义域为，
所以对于函数有，解得，
所以函数的定义域是.
故选：D.
7. 设函数满足对，都有，且在上单调递增，，，则函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
判断的奇偶性排除BD，再由当时，得出答案.
【详解】令，
则函数为偶函数，故排除BD
当时，，则，故排除C
故选：A
【点睛】关键点睛：本题关键是采用排除法，由奇偶性排除BD，再由当时，排除C.
8. 已知函数（且，若有最小值，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对分类讨论，利用的不同取值范围，结合分段函数的单调性，分析函数的最小值情况，即可求得实数的取值范围．
【详解】因为，则，
可知在内单调递减，且；
当时，，
当时，则在为增函数，且，
若有最小值，则，解得；
当时，则在为减函数，且，
若使有最小值，则，解得；
综上所述：实数的取值范围是．
故选：C．
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．已知为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于ACD：根据不等式性质分析判断即可；对于B：举反例说明即可.
【详解】因为，
对于选项A：因为，可得，故A正确；
对于选项B：例如，则，故B错误；
对于选项C：由不等式性质可得，故C正确；
对于选项D：由不等式性质可得，故D正确；
故选：ACD.
10. 已知，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由，得，然后逐个分析判断即可.
【详解】由，得，
对于A，因为，所以，所以A正确，
对于B，因为，所以
，所以B错误，
对于C，因为，所以
，所以C正确，
对于D，因为，所以
，所以D正确.
故选：ACD
11. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则下列判断正确的是（ ）
A. 是偶函数
B. 是奇函数
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的解析式易判断其在上的单调性，利用奇偶函数的定义判断的奇偶性，从而得到函数在上单调递增，结合函数的奇偶性和在与上的单调性，分别判断各选项即得.
【详解】易知函数的定义域均为．当时，易得函数在上单调递增，
又，所以为奇函数，
易知，所以函数在上单调递增．
因为是定义在上的偶函数，且在上单调递增，所以在上单调递减．
对于选项A：因为，所以是奇函数，所以A错误；
对于选项B：因为，所以是偶函数，所以B错误；
对于选项C：因为，所以，所以C错误；
对于选项D：因为所以，所以D正确．
故选：D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 求值：__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用分数指数幂、分数指数幂与根式的互化和对数运算法则计算出答案.
【详解】由题意可得：
.
故答案为：.
13. 已知，若方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】首先分析函数的单调性，即可得到函数图象，依题意与有三个交点，数形结合即可得到，解得即可.
【详解】因为，
当时，，
所以在上单调递减，且；
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，又，
可得的图象如下所示：
因为方程有三个不同的实数解，即与有三个交点，
则，解得或，
即实数的取值范围为.
故答案为：
14. 定义运算：．若关于不等式恒成立，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得，原不等式等价于恒成立，结合二次不等式恒成立问题运算求解即可.
【详解】因为，即，
整理可得，
原题意等价于恒成立，
则，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 已知集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据对数函数单调性求集合，再根据集合交并补求解；
（2）由集合间基本关系可得：，对集合进行讨论，即可得到答案；
【小问1详解】
由题意知：，解得：，
即或，
当时，，
所以；
【小问2详解】
因为，所以，
当时，；
当时，且，解得：，
综上所述：.
16. 已知是定义域为的奇函数，当时，，且．
（1）当时，求的解析式；
（2）判断在区间上的单调性，并证明．
【答案】（1）
（2）证明见详解
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的性质可得，再利用奇偶性的定义求出解析式即可；
（2）利用单调性定义证明即可.
【小问1详解】
由是定义在上的奇函数，且，可得，
当时，，所以，解得，
所以当时，，
当时，，，
因为是定义在上的奇函数，所以，
所以当时，.
【小问2详解】
在区间上单调递增，
证明如下：任取，且，
则
，
因为，且，
所以，，，
故，所以在区间单调递增.
17. 已知，函数
（1）当时，解不等式；
（2）设，若对任意的在区间上的最大值与最小值的和不大于，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据对数函数单调性可得，再结合指数函数单调性分析求解；
（2）分析可知在上单调递减，结合单调性可得，换元令，根据恒成立问题结合二次函数最值运算求解即可.
【小问1详解】
当时，，可得，解得，
所以不等式的解集为.
【小问2详解】
若，则，可知的定义域为，
因为在定义域内单调递增，在上单调递减，
可知在上单调递减，则，
由题意可得：，
则对任意的恒成立，
令，则，
因为的图像开口向上，对称轴为，
可知在内单调递增，则，
可得，解得，
所以的取值范围为.
18. 在国家大力推广新能源汽车的背景下，各大车企纷纷加大对新能源汽车的研发投入，某车企研发部有100名研发人员，原年人均投入40万元，现准备将这100名研发人员分成两部分：燃油车研发部和新能源
车研发部，其中燃油车研发部有x名研究人员，调整后新能源车研发部的年人均投入比原来增加，而燃油车研发部的年人均投入调整为万元.
（1）若要使新能源车研发部的年总投入不低于调整前原100名研发人员的年总投入，求调整后新能源车研发人员最少为多少人？
（2）若要使新能源车研发部的年总投入始终不低于燃油车研发部的年总投入，求正整数m的最大值.
【答案】（1）34 （2）6
【解析】
【分析】（1）列出新能源车研发部的年总投表达式，建立不等式，求得的最大值，即可得到调整后新能源车研发人员最少人数；
（2）列出燃油车研发部的年总投入，令恒大于0，求出m的取值范围，从而找到最大值.
【小问1详解】
令新能源车研发部的年总投入，
则，
令，则，
∵，∴，
故调整后新能源车研发人员最少为34人
【小问2详解】
令燃油车研发部的年总投入
则，
即恒成立.
令，即在上恒成立，
，
是开口向上的二次函数，∵
①对称轴时，即，时在上恒成立；
②当对称轴时，即，，解得
综上所述：
∴的最大值为：6.
19. 设，用表示不超过的最大整数，则称为取整函数，例如，，．取整函数是德国数学家高斯最先使用的，所以也称高斯函数．该函数具有以下性质：
①的定义域为，值域为；
②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即，其中为的整数部分，为的小数部分．
（1）若，求关于的方程的解；
（2）求关于的不等式的解集；
（3）若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）或或
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）分，，，三种情况进行讨论，结合取整函数的定义求方程的解；
（2）分，，，，四种情况进行讨论，结合取整函数的定义求不等式的解集；
（3）分，两种情况进行讨论，结合分离参数求最值和函数的单调性求最值确定的取值范围.
【小问1详解】
①，此时，，
则方程可化为，解得，符合题意．
②，此时，，
则方程可化为，解得，符合题意．
③，此时，，
则方程可化为，解得，符合题意．
综上所述，若，关于的方程的解为或或．
【小问2详解】
①，此时，，，此时不等式恒成立．
②，此时，，则不等式可化为，
解得，又，．
③，此时，，则不等式可化为，
解得，又，．
④，此时，，，此时不等式无解．
综上所述，关于的不等式的解集为．
【小问3详解】
①，此时，则不等式可化为，
整理得：在上恒成立，
设，则，又，
，当且仅当时等号成立，
，．
②，此时，则不等式可化为，
整理得：在上恒成立，
设，，
令，， 则，
，且，
则，
又，则，，，
，故在上单调递减．
即在上单调递减．
，．又，
综上所述，．
【点睛】方法点睛：高斯函数常见处理策略：
（1）高斯函数本质是分段函数,分段讨论是处理此函数的常用方法.
（2）由求时直接按高斯函数的定义求即可.由求时，因为不是一个确定的实数，可设处理.
（3）求由构成的方程时先求出的范围，再求的取值范围.
（4）求由与混合构成的方程时，可用放缩为只有构成的不等式求解.