辉南县第六中学2024-2025学年高二上学期12月第四次周测（理普）数学试卷(含答案)

这是一份辉南县第六中学2024-2025学年高二上学期12月第四次周测（理普）数学试卷(含答案)，共8页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．抛物线的焦点坐标为( )
A.B.C.D.
2．已知动点满足，则动点P的轨迹是( )
A.双曲线B.双曲线左支
C.双曲线右支D.一条射线
3．如果直线与直线平行，则( )
A.0B.C.0或1D.0或
4．已知抛物线的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l与抛物线分别交于A，B两点，则( )
A.1B.3C.6D.8
5．直线被圆所截得的最短弦长等于( )
A.B.C.D.
6．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是( )
A.B.C.D.
7．已知向量，，则下列结论不正确的是( )
A.B.
C.D.，不平行
8．已知数列是正项等比数列，若，，数列的前n项和为，则时n的最大值为( )
A.5B.6C.10D.11
二、多项选择题
9．已知圆，则下列说法正确的是( ).
A.圆C的圆心为
B.点在圆C外
C.圆C关于直线对称
D.直线截圆C所得的弦长为2
10．加斯帕尔•蒙日（如图1）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆则被称为“蒙日圆”（如图2）已知矩形R的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是( )
A.椭圆C的离心率为
B.椭圆与椭圆C有相同的焦点
C.椭圆C的蒙日圆方程为
D.矩形R的面积最大值为50
三、填空题
11．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率_________.
12．已知等差数列的前n项和，若，且P，A，B，C四点共面（O为该平面外一点），则_________.
四、解答题
13．已知数列的首项为，且满足.
(1)求证：是等比数列
(2)求数列的前n项和.
参考答案
1．答案：C
解析：抛物线化为标准方程可得，
故，焦点坐标为.
故选:C.
2．答案：C
解析：因为的几何意义是动点到点与的距离之差为2，
又因为，
所以由双曲线的定义，知动点P的轨迹是双曲线右支
故选：C
3．答案：D
解析：由题意知直线与直线平行，
则且，
解得或，
故选：D
4．答案：D
解析：由题意可知，所以直线l与的方程为，
联立直线方程和抛物线方程，
可得，
设，
则，
所以.
故选：D.
5．答案：C
解析：圆的圆心为，半径，
又直线，
直线恒过定点，
当圆被直线截得的弦最短时，圆心与定点的连线垂直于弦，
此时弦心距为.
所截得的最短弦长：.
故选：C.
6．答案：A
解析：易知向量在向量上的投影向量为.
故选：A
7．答案：C
解析：，A正确；
，B正确；
，，C错误；
，，不平行，D正确
故选：C.
8．答案：C
解析：
，
故选C.
9．答案：AC
解析：对于A，圆，圆心：，半径：，所以A正确；
对于B，∵，∴点在圆C上，B错误；
对于C，∵，∴直线过圆心，
∴圆C关于直线对称，C正确；
对于D，圆心到直线的距离为，
∴直线截圆C所得的弦长为：，D错误
故选：AC.
10．答案：ABD
解析：由椭圆，可得，，
则，
所以椭圆的离心率为，所以A正确；
由椭圆，可得，，
则，
故椭圆的焦点与椭圆C相同，所以B正确；
因为矩形R的四边均与椭圆相切，
所以点，即在蒙日圆上，
可得半径，
可得椭圆C的蒙日圆方程为，所以C错误；
设矩形R的边长分别为m和n，则有，
所以矩形R的面积等于，
当且仅当时取等号，所以D正确
故选：ABD.
11．答案：2
解析：对于双曲线，标准方程为，则，，
又双曲线的渐近线方程为，
所以，解得，
则，，
.
故答案为：2.
12．答案：2024
解析：由，
得到，
又P，A，B，C四点共面，
所以，得到，
所以，
故答案为：2024.
13．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)由题意，数列满足，
即，
则，
又由，可得，
所以数列是首项为-1，公比为-1的等比数列
(2)由(1)知，
得到，
所以数列的前n项和.