2024-2025学年黑龙江省伊春市南岔县高二上册11月期中考试数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年黑龙江省伊春市南岔县高二上册11月期中考试数学检测试题（附解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】结合向量的夹角公式，以及向量的夹角的范围，即可求解；
【详解】因为，设向量与的夹角为
所以，
又因为，所以
故选：B.
2. “”是“”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】根据题意由得出或，然后根据充分和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】由得或，
所以由可以得到，但由不一定得到，
所以是的充分不必要条件.
故选：A.
3. 已知，则的最小值是
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式求出代数式的最小值，然后在不等式两边同时除以可得出答案．
【详解】因为 ，
又，所以，
当且仅当时取，故选B．
本题考查利用基本不等式求代数式的最值，在利用基本不等式求最值时，要注意配凑“定值”的条件，注意“一正、二定、三相等”基本思想的应用．
4. 2020年第1期深圳车牌摇号竞价指标共6668个，某机构从参加这期车牌竞拍且报价在1～8万元的人员中，随机抽取了若干人的报价，得到的部分数据整理结果如下：
则在这些竞拍人员中，报价不低于5万元的人数为（ ）
A. 30B. 42C. 54D. 80
【正确答案】C
【分析】先设竞拍人员总数，再根据频率等于频数除以总数得出总数，根据低于5万元的人数计算求出不低于5万元得人数.
【详解】设竞拍人员总数为，由解得；
第三组的频数为
报价低于5万元的人数为，
报价不低于5万元得人数为人.
故选：C.
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 方程表示过点且斜率为k的直线
B. 直线与y轴的交点为，其中截距
C. 在x轴、y轴上的截距分别为a、b的直线方程为
D. 方程表示过任意不同两点，的直线
【正确答案】D
【分析】分别由直线的点斜式方程、直线在轴上的截距、直线的截距式方程、两点式方程的变形逐一核对，即可求解.
【详解】对于A中，由表示过点且斜率存在，且不含点Px1,y1直线，所以A不正确；
对于B中，直线与y轴交于一点，其中截距不是距离，截距为点的坐标，其值可正可负可为0，所以B不正确；
对于C中，当直线经过原点时，此时直线在坐标轴上的截距都是，不能表示为，所以C不正确；
对于D中，方程为直线的两点式方程的变形，可以表示过任意两点，的直线，所以D正确.
故选：D.
6. 求过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】先计算出两圆的交点所在直线，进而求出线段的垂直平分线，与联立求出圆心坐标，再求出半径，写出圆的标准方程，从而求出圆的一般方程.
【详解】与相减得：，
将代入得：，
即，
设两圆和的交点为，
则，，则，
不妨设，
所以线段的中点坐标为，
因为直线的斜率为1，所以线段的垂直平分线的斜率为-1，
所以线段的垂直平分线为，
与联立得：，
故圆心坐标为，半径，
所以圆的方程为，
整理得：
故选：D
7. 若过直线上一点M向圆Γ：作一条切线于切点T，则的最小值为（ ）
A. B. 4C. D.
【正确答案】D
【分析】要使最小，则圆心到直线的距离最小，求出圆心到直线的距离，再由勾股定理求解.
【详解】圆Γ：的圆心坐标为，半径为2，
要求的最小，则圆心到直线的距离最小，为，
∴的最小值为，
故选：D.
本题主要考查圆的切线方程，考查直线与圆的位置关系的应用，考查数学转化思想方法，属于基础题.
8. 已知点是椭圆的焦点，点在椭圆上且满足，则的面积为
A. B. C. 2D. 1
【正确答案】D
【详解】 ，所以，所以 ， ， ，解得： ，所以三角形的面积为 ，故选D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 袋内有个白球和个红球，有放回的从中抽取两次，每次从中随机取出一个球，则（ ）
A. 次取到的都是红球的概率为
B. 次取到的都是红球的概率为
C. 次取到的球恰好是一红一白的概率为
D. 次取到的球恰好是一红一白的概率为
【正确答案】AD
【分析】利用独立事件的概率公式可判断AB选项；利用独立事件和互斥事件的概率公式可判断CD选项.
【详解】记事件第次取到白球，事件第次取到红球，
则事件与、与、与、与相互独立，
且，，
对于AB选项，次取到的都是红球为事件，
其概率为，A对B错；
对于CD选项，次取到的球恰好是一红一白为事件，
其概率为
，C错D对.
故选：AD.
10. 如图，在棱长为1的正方体中（ ）
A. 与的夹角为
B. 平面与平面夹角正切值为
C. 与平面所成角的正切值
D. 点到平面的距离为
【正确答案】BCD
【分析】如图，以为原点，所在有直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量逐个求解判断即可.
【详解】如图，以为原点，所在有直线分别为轴建立空间直角坐标系，则
，
对于A，设与的夹角为，因为，，
所以，
因为，所以，所以A错误，
对于B，设平面的法向量为，
因为，,
所以，令，则，
因为平面，
平面的一个法向量为，
所以，
设平面与平面夹角为（为锐角），则，
所以，所以，
所以平面与平面夹角的正切值为，所以B正确，
对于C，，平面的法向量为，
设与平面所成角为，则
因为为锐角，所以，
所以，
所以与平面所成角正切值，所以C正确，
对于D，因为，平面的法向量为，
所以点到平面的距离为
，所以D正确，
故选：BCD
11. 已知椭圆，、分别为它的左右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A. 点到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1
B. 的最小值为
C. 若为直角三角形，则的面积为
D. 的范围为
【正确答案】ACD
【分析】对于A,利用焦半径的范围求解即可；对于B，利用位于椭圆上顶点时最大求解即可；对于C，利用点坐标求的面积即可；对于D，设利用二次函数求的范围即可.
【详解】对A，易知，则，故A正确；
对B，位于椭圆上顶点时最大，
此时最小，且
故此时为等边三角形，，故B错误；
对C，若为直角三角形，由B知， ，
所以或，不妨设，
则此时点横坐标，代入，得，
故的面积为：，故C正确；
对D，,设
则，
由得：，
故，
故，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 两圆与上的点之间的最短距离是________.
【正确答案】
【分析】判断两圆的位置关系，计算出圆心距，结合圆的几何性质可求得两圆上的点之间的最短距离.
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，
圆标准方程为，圆心为，半径为，
圆心距为C1C2=−1−22+2+12=32>r1+r2，即两圆外离，
故两圆上的点之间的最短距离为.
故答案为.
13. 在三棱锥中，平面，设三棱锥外接球体积为，则__________.
【正确答案】
【分析】根据长方体外接球得半径公式求出半径，再求出外接球体积及三棱锥体积，最后求出比列即可.
【详解】由于，故.
将三棱锥补形为边长分别为的长方体，
则其外接球半径，
故.
故答案为.
14. 设椭圆的左、右焦点分别为，A是椭圆上一点，，若原点到直线的距离为，则该椭圆的离心率为____．
【正确答案】
【分析】由，求得，过作，根据题意得到，根据，得到，整理得到，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】因为，不妨设点，其中，
代入椭圆方程，可得，解得，
所以，即，
过作，因为原点到直线的距离为，即，
由，可得，即，
又由，整理得，即，
因为，解得，即椭圆的离心率为.
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 记的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，求面积．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据余弦定理即可解出；
（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．
【小问1详解】
因为，所以，解得：．
【小问2详解】
由正弦定理可得
，
变形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面积为．
16. 已知圆：，直线过定点．
（1）若与圆相切，求直线的方程；
（2）若点为圆上一点，求的最大值和最小值．
【正确答案】（1），；
（2）最大值 ，最小值.
【分析】（1）根据直线和圆相切，即圆心到直线的距离等于半径列式子求得值；
（2）将式子化简得到，转化为点点距，进而转化为圆心到的距离，加减半径，即求得最值.
【小问1详解】
①若直线的斜率不存在，即直线是，符合题意；
②若直线斜率存在，设直线为，即．
由题意知，圆心到已知直线的距离等于半径2，即，解得．
故所求直线方程为，．
【小问2详解】
，可以看作圆上的点与点距离的平方．把点代入圆的方程：，所以点在圆外．所以圆上的点到的最大距离为，最小距离为（其中为圆心到的距离），又，故最大距离为，最小距离为，所以，．
17. 近两年旅游业迎来强劲复苏，外出旅游的人越来越多．A，B两家旅游公司过去6个月的利润率统计如下：
利润率，盈利为正，亏损为负，且每个月的成本不变．
（1）比较A，B两公司过去6个月平均每月利润率的大小；
（2）用频率估计概率，且假设A，B两公司每个月的盈利情况是相互独立的，求未来的某个月A，B两公司至少有一家盈利的概率．
【正确答案】（1）公司过去6个月平均每月的利润率大于B公司过去6个月平均每月的利润率；
（2）.
【小问1详解】
A公司过去6个月平均每月的利润率为，
B公司过去6个月平均每月的利润率为，
因为，
所以A公司过去6个月平均每月的利润率大于B公司过去6个月平均每月的利润率．
【小问2详解】
A公司过去6个月盈利的频率为，
B公司过去6个月盈利的频率为，
用频率代替概率，可知A，B两公司未来某个月盈利的概率分别为．
设A，B两公司盈利分别为事件，，由题知与相互独立，
所以所求概率为．
18. 如图所示，正方体的棱长为，若是的中点，
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）直线与平面是否垂直？请说明理由：
（3）求到平面的距离.
【正确答案】（1）
（2）不垂直，理由见解析
（3）
【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值；
（2）利用空间向量数量积的坐标运算判断可得出结论；
（3）利用空间向量法可求得点到平面的距离.
【小问1详解】
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
，，
所以，，
所以，异面直线与所成角的余弦值为.
【小问2详解】
，则，所以，与不垂直，
故与平面不垂直.
【小问3详解】
设平面的法向量为，，
则，取，可得，
因为，则点到平面的距离为.
19. 已知，分别是椭圆的左，右焦点，，分是椭圆的上顶点和右顶点，且，离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）设经过的直线与椭圆相交于，两点，求的最大值．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用所给条件，列出关于、、的方程组，解方程组可得、、值，即可得解；
（2）可设出过焦点的直线方程与椭圆方程联立，消去，利用根与系数的关系，可用表示三角形的面积，在根据对勾函数的性质计算可得．
【小问1详解】
解：依题意得， 解得，
故所求椭圆方程为.
【小问2详解】
解：由（1）知，设、，的方程为，
代入椭圆的方程，整理得，
所以，，
，
令，则，又在上单调递增，
所以，当且仅当时上式取等号，
所以的最大值为．报价区间
（单位：万元）
3,4
频数
10
36
40
A公司
3
2
1
B公司
2
2
2