安徽省安庆市2024-2025学年高三上册11月期中数学质量检测试题（附解析）

这是一份安徽省安庆市2024-2025学年高三上册11月期中数学质量检测试题（附解析），共18页。试卷主要包含了 函数在区间上的最小值为， 已知，则， 如图，在正八边形中，，则， 已知向量，则下列说法错误的是， 朱世杰， 已知函数等内容，欢迎下载使用。
1.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
3本卷命题范围：集合与常用逻辑用语､不等式､函数､一元函数的导数及其应用､三角函数､平面向量､数列（数列的概念､等差数列）.
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则中元素的个数为（ ）
A. 9B. 8C. 5D. 4
【正确答案】B
【分析】利用列举法表示出集合A，再求出并集即可得解.
【详解】依题意，解不等式，得，，
而，因此，
所以中元素的个数为8．
故选：B
2. 等差数列满足，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据等差数列通项公式可得与，进而可得解.
【详解】设等差数列的公差为，则，
则，
解得，
则，
所以，
故选：A.
3. 函数在区间上的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【正确答案】D
【分析】根据基本不等式即可求解.
【详解】由于，所以，
故，
当且仅当，即时取等号，故函数的最小值为5.
故选：D.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D. 1
【正确答案】C
【分析】运用两角和差的正弦公式，结合同角三角函数关系式中商关系进行求解即可.
【详解】由，
由，
可得，
所以.
故选：C
5. 在中，若，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
【正确答案】D
【分析】利用余弦定理将化简为，从而可求解.
【详解】由，得，
化简得，
当时，即，则为直角三角形；
当时，得，则为等腰三角形；
综上：为等腰或直角三角形，故D正确.
故选：D.
6. 如图，在正八边形中，，则（ ）
A. 1B. C. D.
【正确答案】D
【分析】分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求出向量的坐标运算得解.
【详解】分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图.设正八边形的边长为1，
可得，，，，
所以，，.
因为，所以，
所以，解得，则.
故选：D.
7. 已知函数，其中，若在区间内恰有两个极值点，且，则实数的取值集合是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】根据题干先求出的范围，进而求出的范围，再根据得出函数的图象关于点中心对称，最后根据图像的对称中心得出结论.
【详解】由题意知，函数在内有两个极值点，
设两个极值点分别为，则，则（为函数的最小正周期），
解得.又，所以，
由，得函数的图象关于点中心对称，
即，即，
由，得，即的取值集合为.
故选：B
8 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据题意，化简得到，构造函数，利用导数求得在上单调递减，得到，再由，得到，即可求解.
【详解】由指数幂与对数的运算法则，可得，
构造函数，则在上恒成立，
所以在上单调递减，所以，故，即，
又由，而，
其中且，所以，即，
因为，所以，所以，所以.
故选：C.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，则下列说法错误的是（ ）
A.
B. 若，则的值为
C. 若，则的值为
D. 若，则与的夹角为锐角
【正确答案】BCD
【分析】根据平面向量的模公式、垂直向量、共线向量的性质，结合平面向量夹角公式进行逐一判断即可.
【详解】对于A，因为，故A正确；
对于B，因为，所以，故B不正确；
对于C，因为，所以，故C不正确；
对于D，当时，，所以，故D不正确.
故选：BCD.
10. 朱世杰（1249年—1314年），字汉卿，号松庭，元代数学家､教育家，毕生从事数学教育，有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉.他的一部名著《算学启蒙》是中国最早的科普著作，该书中有名的是“堆垛问题”，其中有一道问题如下：今有三角锥垛果子，每面底子四十四个，问共积几何？含义如下：把一样大小的果子堆垛成正三棱锥形（如图所示，给出了5层三角锥垛从上往下看的示意图），底面每边44个果子，顶部仅一个果子，从顶层向下数，每层的果子数分别为，共有44层，问全垛共有多少个果子？现有一个层三角锥垛，设从顶层向下数，每层的果子数组成数列，其前项和为，则下列结论正确的是（ ）（参考公式：）
A.
B. 是等差数列
C. 函数单调递增
D. 原书中该“堆垛问题”的结果为15080
【正确答案】BC
【分析】根据三角锥垛层的果子数可以观察得数列的通项公式，求和即可.
【详解】对于A，每层的果子数分别为，
构成数列，则易知，故A错误；
对于B，时，，
故为等差数列，故B正确；
对于C，
，则，故单调递增，C正确；
对于D，，故D错误.
故选：BC.
11. 设与其导函数的定义域均为，若的图象关于对称，在上单调递减，且，则（ ）
A. 为偶函数B. 的图象关于原点对称
C. D. 的极小值为3
【正确答案】AB
【分析】利用函数对称性的恒等式来证明函数奇偶性和周期性，从而问题得解.
【详解】因为的图象关于对称，所以，
即，则为偶函数，故A正确；
由得，，两边取导数得，，
即，所以，则是奇函数，
所以图象关于点原点对称，故B正确；
由上可知，，又由得，
所以，则，
所以有，即函数是一个周期函数且周期为8；
又由，令得，，
则，故C错误；
由在上单调递减，又的图象关于点对称可知，
在上单调递减，所以在上单调递减，
又的图象关于对称，所以在上单调递增，
由周期性可知，在上单调递增，
所以当时，取得极小值，即，故D错误，
故选：AB.
结论点睛：函数的对称性与周期性：
（1）若，则函数关于中心对称；
（2）若，则函数关于对称；
（3）若，则函数的周期为2a；
（4）若，则函数的周期为2a.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知扇形的半径为，圆心角为，若，则该扇形的面积为__________.
【正确答案】或
【分析】根据余弦值确定圆心角，再根据扇形面积公式可得解.
【详解】，，
或，
该扇形的面积或，
故或.
13. 已知等差数列的首项为，前项和为，若，且，则的取值范围为__________.
【正确答案】
【分析】由等差数列前项和公式求得公差，再由得到求解即可.
【详解】设公差为，由得，则.
由得即解得.
故
14. 若对任意，不等式恒成立，则实数的值是__________.
【正确答案】
【分析】不等式转化成，结合和在0,+∞上的单调性即可求解.
【详解】因为x∈0,+∞，所以恒成立，即恒成立，
因为在0,+∞上单调递减，在0,+∞上单调递增，
若要满足不等式恒成立，则必须两函数图象交于轴正半轴上一点（否则必存在，使），
所以当，即且时，原不等式恒成立，
所以（负值舍去）.
故
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15. 已知、、为的三个内角，向量与共线，且.
（1）求角的大小；
（2）求函数值域．
【正确答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用共线向量的坐标表示可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用三角恒等变换思想化简函数解析式为，计算出角取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得函数的值域.
【详解】（1）由已知条件可得，
即，可得，即，
，则，
，则，所以，，故；
（2）
，
因为，则，所以，，则.
所以，
方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围是一种常见的类型，主要方法有两类：
（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.
16. 已知数列的前项和为且.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设，求数列的前90项的和.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）由，可得，两式相减化简可得，即可的证；
（2）由（1）得，讨论可得，或，则得的前90项的和为
又，计算可得答案.
【小问1详解】
因为，
所以，
两式相减得，
则，
因为，，
所以，数列是公差为2，首项为1的等差数列.
【小问2详解】
由（1）得，
当或时，，
当或时，，
所以数列的前90项的和为
，
因为，
则上式
.
17. 如图，在四边形中．，，，平分且与相交于点．
（1）若的面积为，求；
（2）若，求与的面积之比．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）在中，明确，，，利用余弦定理可求.
（2）在中，先用正弦定理求出，求出的面积，进一步求出的面积，即可求与的面积之比.
【小问1详解】
在中，，，.
所以.
在中，，，.
所以，.
在中，，，，
由得：，
由余弦定理，得：
所以.
【小问2详解】
因为.
在中，，，，
所以.
由正弦定理，得.
所以.
所以.
所以.
18. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，求证.
【正确答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【分析】（1）求出导函数，然后根据和分类讨论，解导函数不等式即可求得单调区间；
（2）根据（1）的结论知，令得，结合对数运算累加法即可证明.
【小问1详解】
的定义域为.
，
①当时，在上单调递增；
②当时，时，在上是增函数．
时，在上是减函数，
时，在上是增函数.
【小问2详解】
由（1）得，当时，，在0,3上是减函数，
即当时，，所以，
令得，，即，
所以，得证.
19. 对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”．
（1）求证：对任意正常数，都不是“同比不减函数”；
（2）若函数是“同比不减函数”，求的取值范围；
（3）是否存在正常数，使得函数为“同比不减函数”，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
【正确答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，
【分析】（1）取特殊值使得不成立，即可证明；
（2）根据“同比不减函数”的定义，恒成立，分离参数，构造函数，转化为与函数的最值关系，即可求出结果；
（3）去绝对值化简函数解析式，根据“同比不减函数”的定义，取，因为成立，求出的范围，然后证明对任意的，恒成立，即可求出结论.
【详解】证明：（1）任取正常数，存在，所以，
因为，
即不恒成立，
所以不是“同比不减函数”.
（2）因为函数“同比不减函数”，
所以恒成立，即恒成立，
对一切成立.
所以.
（3）设函数是“同比不减函数”，
，
当时，因为成立，
所以，所以，
而另一方面，若，
（Ⅰ）当时，
因为，
所以，所以有成立.
（Ⅱ）当x∈−1,+∞时，
因为，
所以，
即成立.
综上，恒有有成立，
所以的取值范围是.
本题考查新定义的理解和应用，考查等价转化思想，考查从特殊到一般的解决问题方法，属于较难题.