湖南省永州市新田县2024-2025学年八年级（上）期中数学试卷（解析版）

这是一份湖南省永州市新田县2024-2025学年八年级（上）期中数学试卷（解析版），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 有下列各式：①；②；③；④．其中是分式的是（ ）
A. ①②B. ③④C. ①③D. ①②③④
【答案】C
【解析】解：①，③分式，②，④不是分式，
故选：C．
2. 下列各式中，变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：A、，故该选项不正确，不符合题意；
B、 ，分子、分母乘的数不是同一个，故该选项不正确，不符合题意；
C、 ，由于，分子、分母同时除以，故该选项正确，符合题意；
D、，当时成立，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
3. 计算 的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：
故选 D．
4. 下列说法：①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部．其中正确的个数（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】解：①三角形的角平分线是线段，不是射线，故说法错误；
②三角形的中线、角平分线、高都是线段，故说法正确；
③一个三角形有三条角平分线和三条中线，故说法正确；
④直角三角形有两条直角边和直角顶点到对边的垂线段共三条高，故说法错误；
⑤三角形的中线、角平分线都在三角形的内部，而钝角三角形的高有两条在三角形外部，故说法错误．
所以正确的有两个．
故选：B．
5. 是第五代移动通信技术，应用网络下载一个的文件只需要秒，下载一部高清电影只需要1秒．将用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：将用科学记数法表示应为，
故选：A．
6. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解：A、，故选项错误，不符合题意；
B、和不是同类项不能合并，故选项错误，不符合题意；
C、，故选项正确，符合题意；
D、，故选项错误，不符合题意．
故选：C
7. 如图，为等边三角形，点是边上异于，的任意一点，于点，于点．若边上的高线，则（ ）
A. 5B. 10C. 8D. 6
【答案】B
【解析】如图所示，连接，
∵是等边三角形，
∴．
∵，
∴，
即，
∴．
故选：B．
8. 若，，，，则，，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
，
，
，
，
即．
故选：．
9. 若关于x分式方程有增根，则m的值是（ ）
A. B. 0C. 3D. 0或3
【答案】A
【解析】解：分式方程，
去分母得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程得：，
解得：，
故选：A．
10. 设△ABC的面积为a，如图①将边BC、AC分别2等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；……， 依此类推，若S5=，则a的值为（ ）
A. 1B. 2C. 6D. 3
【答案】D
【解析】解：在图①中，连接，
，，
，，，
，，
，
，
设，则
，
解得；
在图②中，连接、、，
则，，
设，则
，
解得；
在图③中，连、、、、，
则，
，
设，则
，
解得，
．
由可知，，
，
，
解得．
故选：D
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理是：______.
【答案】到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上
【解析】定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理是：到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上．
故答案为：到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上．
12. 分式与的最简公分母是______．
【答案】
【解析】与的最简公分母是．
故答案为：．
13. 如图，若，且，，则_______.
【答案】
【解析】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
14. 计算的结果是__.
【答案】﹣
【解析】解：
=
=﹣
故答案为﹣.
15. 如图，是的中线，是的中线，如果，则______．

【答案】6
【解析】解：是的中线，，
，
又是的中线，
，
故答案为：6．
16. 如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，连接，若的周长为24，，则的周长为______．
【答案】15
【解析】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，
∴．
∵的周长为24，，
∴．
∴的周长为．
故答案为：15．
17. 目前，步行已成为人们最喜爱的健身方法之一，通过手机可以计算行走的步数与相应的能量消耗．对比手机数据发现小琼步行12000步与小博步行9000步消耗的能量相同．若每消耗1千卡能量小琼行走的步数比小博多10步，则小博每消耗1千卡能量需要行走________步．
【答案】30
【解析】设小博每消耗1千卡能量需要行走x步，
则小琼每消耗1千卡能量需要行走（x+10）步，根据题意，得，
解得 x=30，
经检验，x=30是原方程的根，
所以小博每消耗1千卡能量需要行走30步，
故答案为30.
18. 如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中结论正确的有_________（填序号）．
【答案】②③④⑥
【解析】解：是的中线，
，
故④正确；
是角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
故正确；
，，
，
故③正确；
由已知条件不能确定，
不能得出，
故⑤错误；
F不一定是的中点，
不能得出，
故错误；
不能得出，
不能得出，
不能得出，即不能得出，
故⑦错误；
，，
，
，
故⑥正确；
综上可知，正确的有②③④⑥，
故答案为：②③④⑥．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19. 解方程：．
解：，
变形为：，
所有项同乘可得：，
移项合并同类项可得：，
系数化为可得：；
检验：把代入可得：；
∴经检验是原方程的解．
20. 如图，已知A、B、C、D在同一直线上，，，且，
求证：．

解：证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴．
21. 【新情境】
数学课上，老师给出题目：先化简，然后从中选出合适的整数作为x的值代入求值．下面是甲、乙两位同学的部分运算过程：
（1）甲同学解法的依据是______，乙同学解法的依据是______；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
解：（1）根据题意可知，甲同学解法的依据是②，乙同学解法的依据是③，
故答案为：②，③；
（2）选甲同学的解法：
原式
，
若使分式有意义，x不能取，0，2，因为从中选出合适的整数作为x的值，
∴，
∴原式，
选乙同学的解法：
原式
；
若使分式有意义，x不能取，0，2，因为从中选出合适的整数作为x的值，
∴，
∴原式．
22. 如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．
（1）请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，填序号）．
①已知：_____________；求证：__________；
②已知：_____________；求证：_____________；
（2）在（1）的条件下，选择一种情况进行证明．
解：（1）①根据题意可得已知：，，，求证；
②根据题意可得已知：，，，求证；
（2）选择①②③，证明④.
∵，
∴，
∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴；
选择①②④，证明③.
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，即。
23. 《花卉装点校园，青春献礼祖国》项目学习方案：
（1）任务一中横线①处应填________，横线②处应填________．
（2）完成任务二．
解：（1）小组成员甲设用240元购买的种花卉的数量为，由题意得方程：；
∵表示600元购买的种花卉数量为用240元购买的种花卉数量的2倍，
∴乙设的是种花卉的单价为元；
故答案为：；种花卉的单价为元；
（2）由题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解．
24. 如图，在中，，D是的中点，垂直平分，交于点E，交于点F，．

（1）若，求点O到的距离；
（2）若，求的周长．
解：（1）是的中点，
共线，
所在直线是的对称轴，
，
点O到的距离为1，
故答案为：1；
（2）是的中点，，
，
平分，
，
是等边三角形，
，
是的中点，
，
，
的周长为．
25. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，，则和都是“和谐分式”．
（1）下列式子中，属于“和谐分式”的是______；（填序号）
①；②；③．
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；
（3）先化简，若该式的值为整数，求x的整数值．
解：（1），，
故属于“和谐分式”的是②③；
（2）；
（3）

，
∴当或时，分式的值为整数，
此时或或1或，
又∵分式有意义时、1、、，
∴．
26. 阅读理解
半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．

【问题背景】
如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系．
【初步探索】
小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间数量关系是______________．
【探索延伸】
如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【结论运用】
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为__________海里．

解：【问题背景】，理由如下，
如图所示，

∵，，
∴将绕点逆时针旋转得，与重合，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴点共线，
∵，，
∴，
∴，即，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
【初步探索】根据题意，，延长至点，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
【探索延伸】仍然成立，理由如下，
如图所示，延长至点，使得，

∵，，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴，
在中，
，
∴，
∴，且，
∴；
【结论运用】如图所示，连接，过点作轴于点，

根据题意可得，，，，，
∴在中，，，
则，
∴，
∵，
∴，
∵舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙以海里/小时的速度前进，形式小时，
∴（海里），（海里），
如图所示，延长至点，使得，
则，

在中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴在中，
，
∴，
∴，
∴（海里），
∴此时两舰艇之间的距离为海里.解：原式：
…
解：原式：
…
项目情景
国庆将至，向阳中学购买花卉装点校园，向祖国母亲生日献礼．同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉，插花，摆放盆栽等任务
素材一
采购小组到市场上了解到每枝种花卉比每枝种花卉便宜3元，用600元购买的种花卉数量为用240元购买的种花卉数量的2倍
任务一
小组成员甲设用240元购买的种花卉的数量为，由题意得方程： ① ；
小组成员乙设 ② ，由题意得方程：
素材二
插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，并且完成25盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同
任务二
求的值