湖南省长沙市芙蓉区2023-2024学年八年级（上）期末数学试卷（解析版）

这是一份湖南省长沙市芙蓉区2023-2024学年八年级（上）期末数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题）
1. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是（ ）
A. 诚B. 信C. 友D. 善
【答案】D
【解析】A.不是轴对称图形，故不符合题意；
B.不轴对称图形，故不符合题意；
C.不是轴对称图形，故不符合题意；
D.是轴对称图形，符合题意，
故选D.
2. 要使分式有意义，则的取值应满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】要使分式有意义，则，所以．
故选：A．
3. 点关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】点关于y轴对称的点的坐标是；
故选：C．
4. 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B．是因式分解，故本选项符合题意；
C．右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D．右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. a8 ÷ a2=a4B. a3·a4=a7
C. （2a2）3=6a6D. （12）-2=14
【答案】B
【解析】A．a8÷a2=a6，故本选项不合题意；
B．a3·a4=a7，正确；
C．（2a2）3=8a6，故本选项不合题意；
D，（）-2=4，故本选项不合题意．
故选：B．
6. 下列各式中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、等号右边分子分母同时乘以，得左边，故A错误，不合题意；
B、分式的分子分母同时加一个非零的数，得到的分式值与原分式不一定相等，故B错误，不合题意；
C、，故C错误，不合题意；
D、分子分母同时乘以，即，故D正确，符合题意．
故选：D
7. 与的边重合，．添加下一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、、、，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
B、、、，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
C、、、，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
D、、、，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意；
故选：D．
8. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，则的度数为（ ）

A. 25°B. 30°C. 35°D. 50°
【答案】A
【解析】∵，∴∠B=∠C，
∵EF垂直平分AB，∴FA=FB，∴∠B=∠BAF，
设∠B=x，则∠BAF =∠C=x，，
根据三角形的内角和定理，得：，解得：，即．
故选：A．
9. 如图，在中，平分，，，则的长为（ ）
A. 3B. 11C. 15D. 9
【答案】B
【解析】在AC上截取AE＝AB，连接DE，如图，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，又∵AD=AD，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴∠B＝∠AED，∠ADB＝∠ADE，
∵∠B＝2∠ADB，∴∠AED＝2∠ADB，
而∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝2∠ADB，
∴∠BDE＝∠AED，∴∠CED＝∠EDC，∴CD＝CE，
∴AC＝AE+CE＝AB+CD＝4+7＝11．
故选：B．
10. 关于的方程的两个解为；的两个解为；的两个解为，则关于的方程的两个解为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】据题意，得：的两个解为，
∵方程即为：，
∴的解为：或，
解得：，．
故选：D．
二、填空题（共6小题）
11. 计算：＝_____．
【答案】1
【解析】＝1；
故答案为：1．
12. 数0.0000046用科学记数法表示为：__________．
【答案】
【解析】0.0000046=．
故答案为：．
13. 已知，则的值为__________．
【答案】﹣5
【解析】∵，，
∴，∴m=﹣5．
故答案为：﹣5．
14. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹每人六竿多十四，每人八竿恰齐足”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知与多少人和竹竿每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为__________．
【答案】6x+14=8x
【解析】设有牧童x人，
根据题意得：6x+14=8x，
故答案是：6x+14=8x．
15. 已知a+b＝5，ab＝3，＝_____．
【答案】．
【解析】当a+b=5、ab=3时，
原式====.
故答案为．
16. 如图，在中，，点和点在直线的同侧，，连接，则的度数为__________．

【答案】30°
【解析】∵，，∴，
∵，∴，
作点D关于直线AB的对称点E，连接BE、CE、AE，如图，
则BE=BD，∠EBA=∠DBA=11°，∠BEA=∠BDA，
∴∠EBC=11°+11°+38°=60°，
∵BD=BC，∴BE=BC，∴△EBC是等边三角形，∴∠BEC=60°，EB=EC，
又∵AB=AC，EA=EA，
∴△AEB≌△AEC（SSS），∴∠BEA=∠CEA=，
∴∠ADB=30°．

三、解答题（共9小题）
17. 计算
解：
．
18. 分解因式：
（1）；
（2）
解：（1）；
（2）．
19. 先化简，再求值：，其中．
解：
当时
原式
20. 解分式方程
（1）
（2）．
解：（1）方程两边同乘，得 ，
解得 ，
检验：当时，，
∴是原方程的解；
（2）方程两边同乘，得 ，
解得 ，
检验：当时，，
∴不是原分式方程的解，
∴原分式方程无解．
21. 如图，在平面直角坐标系中，点A（-3，0），点B（-1，5）．
（1）①画出线段AB关于y轴对称的线段CD；
②在y轴上找一点P使PA+PB的值最小（保留作图痕迹）；
（2）按下列步骤，用不带刻度的直尺在线段CD找一点Q使∠BAQ=45°．
①在图中取点E，使得BE=BA，且BE⊥BA，则点E的坐标为___________；
②连接AE交CD于点Q，则点Q即为所求．
解：（1）①如图所示，线段CD即为所求．
②如图所示，点P就是所求的点；
（2）①由垂直的定义可作出线段BE，点E坐标为（4，3），
故答案为：（4，3）；
②如图所示，点Q即为所求．
22. 已知，在中，，，，，垂足分别为点，．
（1）如图，求证：；
（2）如图，点为的中点，连接，请判断的形状？并说明理由．
（1）证明：，，
，
．
，
，
．
在和中，
，
，，
，
即；
（2）解：是等腰直角三角形．
理由：如图2，连接．
，
，
点是中点，
，
，
，
．
，
，
且，
．
在和中，
，．
在和中，
．
，
，
，且，
是等腰直角三角形．
23. “军运会”期间，某纪念品店老板用5000元购进一批纪念品，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用6000元购进同样数目的这种纪念品，但第二次每个进价比第一次每个进价多了2元．
（1）求该纪念品第一次每个进价是多少元？
（2）老板以每个15元的价格销售该纪念品，当第二次纪念品售出时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二次的销售利润不低于900元，剩余的纪念品每个售价至少要多少元？
解：（1）设该纪念品第一次每个进价是x元，由题意得：
，解得：x＝10，
经检验x＝10是分式方程的解，
答：该纪念品第一次每个进价是10元；
（2）设剩余的纪念品每个售价y元，由（1）知，第二批购进＝500（个），
根据题意，得：15×500×+y×500×﹣6000≥900，解得：y≥12．
答：剩余的纪念品每个售价至少要12元．
24. 如图，在四边形中，所在的直线垂直平分线段，过点作交于，延长、交于点．
（1）求证：平分；
（2）求证：；
（3）若，，的面积为求的长．
（1）证明：∵所在的直线垂直平分线段，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即平分；
（2）证明：∵所在的直线垂直平分线段，
∴，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
过点作，垂足为，
∵的面积为，
∴，
又∵，
∴，
∵平分，，，
．
25. 阅读下面材料并解决有关问题：
（一）由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数，，由于所以，即，所以，并且当时，；
（二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：；
（1）在①、②、③、④这些分式中，属于假分式的是________（填序号）；
（2）已知：，求代数式的值；
（3）当为何值时，有最小值？并求出最小值．（写出解答过程）
解：（1）①是假分式，符合题意；
②是假分式，符合题意；
③是真分式，不合题意；
④是假分式，符合题意．
故答案为：①②④．
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）由题意，，
∴．
原式
．
当且仅当，即时，等号成立．
∴原式的最小值为3．