湖南省常德市汉寿县2023_2024学年高一数学上学期期中试题含解析

这是一份湖南省常德市汉寿县2023_2024学年高一数学上学期期中试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合A={1，2，5，7}，集合B={2，5}，那么下列结论正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用集合的定义及运算逐项判断即可
【详解】因为A={1，2，5，7}，集合B={2，5}，所以，B正确；D错误
，C错误；A选项，集和与集合之间不能用属于，所以错误.
故选：B
2. 已知条件：，条件：，且是的充分不必要条件，则的取值范围可以是
AB. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由条件求得的范围，结合充分不必要条件可得的范围.
【详解】由：，：，要是的充分不必要条件，则有，
故选：D．
3. 已知a、b、c∈R，那么下列命题中正确的是（）
A. 若ac>bc，则a>bB. 若则ab³，则a>bD. 若a²>b²，则a>b
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式性质及特例法即可作出判断.
【详解】对于A，若，，则，故A错误；
对于B，若，，则但，故B错误；
对于C，若，此时，∴，故C正确；
对于D，若取，，则，故D错误．
故选：C．
4. 若有意义，则a取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定的式子有意义，列式求解即得.
【详解】由有意义，得，解得，
所以a的取值范围是.
故选：B
5. 已知使是真命题，则的取值范围为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知在上能成立，参变分离，构造函数，求出函数在上的最小值即可.
【详解】因为使是真命题，所以在上能成立，即在上能成立，设，开口向上，且对称轴为，所以在上的最小值为，故，
故选：C.
6. 函数是幂函数，且在上是减函数，则实数的值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由幂函数的定义及单调性可得.
【详解】因函数是幂函数，
故得，
解得或，
又因为函数在上是减函数，
故，
所以，
故选：A.
7. 若关于不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用不等式解集的端点值，即为对应方程的根，从而得到系数之间的关系，从而求解.
【详解】试题分析：由的解集为，可得：，
为：，解得为：.
故选：D
8. 已知函数的定义域为R，对任意的，且，都有成立．若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知得出函数的单调性，进而由不等式即可得出对任意恒成立.根据二次不等式恒成立，即可得出，化简求解即可得出答案.
【详解】不妨设，则，
由，
可得，
即，
所以在R上单调递增.
由可得，，
即对任意恒成立，
所以，
整理可得，
解得或，
所以实数a的取值范围是.
故选：C．
二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列函数中是偶函数，且在上为增函数的有（）．
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性的定义和基本初等函数的性质，逐项判定，即可得解.
【详解】对于A：定义域为，关于原点对称，是奇函数，不满足题意；
对于B：定义域为R，关于原点对称，，，是偶函数，由二次函数的性质可知，函数在上为增函数，满足题意；
对于C：定义域为R，关于原点对称，，，是奇函数，不满足题意；
对于D：定义域为，关于原点对称，，，是偶函数，当时，，由对数函数的性质可知，在上为增函数，满足题意.
故选：BD.
10. 若函数的定义域为，值域为，则实数的值可能为（）
A. B. 1C. D. 2
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据已知条件及二次函数的性质即可求解.
【详解】由，对称轴为，
当时，函数取得最小值为，
或2时，函数值为，
因为函数的定义域为，值域为，
所以，
实数t的可能取值为，，2.
故选：BCD.
11. 下列说法正确的是（）
A. 函数在定义域上为减函数
B. “”是“”的充分不必要条件
C. 幂函数在上是增函数的一个充分条件是
D. 是的必要不充分条件
【答案】BCD
【解析】
【分析】A. 利用反比例型函数的性质判断；B. 利用命题法判断；C.根据若幂函数在上是增函数，则判断；D.利用对数函数的图象和性质判断.
【详解】A. 函数在上是减函数，故错误；
B. 命题若“”，则“”等价命题是命题若“”，则“”，原命题为真，逆命题为假，故充分不必要条件，故正确；
C. 若幂函数在上是增函数，则，故正确；
D.若，则，故正确；
故选：BCD
12. 定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可以是（）
A. B. C. D. 1
【答案】AD
【解析】
【分析】根据定义列不等式，得到的解析式，然后画出函数图象，根据函数图象求出区间的长度即可.
【详解】令①，
当时，不等式可整理为，解得，故符合要求，
当时，不等式可整理为，解得，故，
所以不等式①的解为；
由上可得，不等式的解为或，
所以，
令，解得，令，解得或，
令，解得或，令，解得或，
所以区间的最小长度为1，最大长度为.
故选：AD.
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 计算：______.
【答案】##-0.25
【解析】
【分析】直接由分数指数幂以及根式互化运算，以及整数指数幂运算即可求解.
【详解】由题意
.
故答案为：.
14. 已知函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且，则不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由偶函数的性质及在区间上单调递增，分别解不等式，，进而可得出答案.
【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，
又在区间上单调递增，
由，得，解得.
由，得，解得或.
所以，即或解得或，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
15. 若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】分离参数，将不等式有解的问题，转化为函数最值的问题，解不等式即可.
【详解】关于的不等式在上有解，
等价于，在有解，
等价于，，
由一次函数的单调性，容易知.
故只需即可.
故答案为：.
【点睛】本题考查不等式能成立求参数范围的问题，涉及函数的最值求解，属基础题.
16. 已知正实数a，b满足，若恒成立，则实数m的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式求解即可.
【详解】因为正实数a，b满足，
所以，
当且仅当时取等号，
故的最大值为，
所以.
故答案：
四、解答题（本大题共6小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 17.已知全集,集合，.
(1)当时，求集合;
(2)若,求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）分别解出集合A，B，再由集合交集的概念得到结果；（2）由补集的概念得到集合B的补集，再由交集为空集列出不等式，即可得到结果.
【详解】（1）当a=2时，，
．
（2）
，即
故实数的取值范围是.
【点睛】本题考查集合交，补的运算，以及由集合的关系求参数的范围．属于基础题.
18. （1）已知a，b为正数，且满足，求的最小值；
（2）已知，求的最大值.
【答案】（1）9；（2）1
【解析】
【分析】（1）变换，展开利用均值不等式计算得到答案.
（2）变换，再利用均值不等式计算得到答案.
【详解】（1）a，b为正数，且满足，
故，
当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为9.
（2），
，故，则，
当且仅当，即时等号成立，
故，当且仅当时等号成立，的最大值为1.
19. 已知函数是定义在上的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】19.
20. 在上递增，证明见解析
21. 或
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用奇函数的性质可求得.
（2）根据题意，用定义法证明函数单调性即可.
（3）由题意可得，函数的值域为函数的值域的子集，并由集合的包含关系建立关于参数的不等式，从而得解.
【小问1详解】
因为函数是定义在上的奇函数，所以，
即，所以.
【小问2详解】
在上递增，证明如下：任取，
因为，所以，，，
所以，故在上递增．
【小问3详解】
由于对任意的，总存在，使得成立，
所以的值域为的值域的子集．由（2）知：在上递增，
，所以，
当时，在上递减，在递增，，，
所以，由，得；
当时，在上递增，在递减，，，
所以，由，得．
综上所述，或．
故若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围为：或.
20. 已知函数．
（1）当时，求函数在上的值域；
（2）是否存在实数，使函数的定义域为，值域为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，.
【解析】
【分析】（1）由题意可得，，根据定义域为，在上单调减，在上单调增，求得函数的值域；（2）由条件可得二次函数的对称轴为，分当时、当时、当时，当时四种情况，根据定义域为，值域为，分别利用二次函数的性质求得的值.
【详解】（1）∵函数，，∴，
∵，∴在上单调减，在上单调增，
∴最小值为，而，
∴函数的值域为．
（2）①若时，，，
②若时，，，不存在
③若时，，，不存在
④若时，，，不存在
综上知：.
21. 育人中学为了迎接建校70周年校庆，决定在学校艺术中心利用一侧原有墙体，建造一间墙高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室.由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元.设荣誉室的左右两面墙的长度均为（米）.
（1）将甲工程队的整体报价（元）表示为长度（米）的函数；
（2）当（米）取何值时，甲工程队的整体报价最低？并求出最低整体报价；
（3）现有乙工程队也要参与此荣誉室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（乙工程队的整体报价比甲工程队的整体报价更低），试求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2），元
（3）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件计算出整体报价.
（2）利用基本不等式对整体报价的最小值进行求解，同时求得对应的的值.
（3）根据“乙工程队的整体报价比甲工程队的整体报价更低”列不等式，结合二次函数的知识求得的取值范围.
【小问1详解】
依题意得：
.
【小问2详解】
，
当且仅当，即时等号成立.
故当左右两侧墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为元.
【小问3详解】
对任意的恒成立.
从而对任意的恒成立，
令，在上的最小值为，∴
所以的取值范围为：.
22. 已知二次函数，．
（1）若关于x的不等式对恒成立，求a的取值范围；
（2）已知函数若对，使不等式成立，求a的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）问题转化为对恒成立，结合均值不等式求的最小值，即可得出答案；
（2）问题可转化为，分别根据函数单调性求最值即可.
【小问1详解】
关于x的不等式对恒成立等价于对恒成立，
∵，当且仅当即时等号成立，∴.
所以实数a的取值范围为；
【小问2详解】
∵对，不等式成立，∴，
∵在上单调递增，∴.
令，对称轴为，∴.
∴，则.
故a的取值范围为