第15讲 三角函数 章末题型大总结（12类热点题型讲练）（原卷版）-A4
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第15讲 三角函数 章末题型大总结题型01三角函数的概念 【典例1】（2024高二上·新疆·学业考试）已知角的终边与单位圆交于点，则（ ）A． B．C． D．【典例2】（23-24高一下·河南南阳·期中）已知角的终边经过点，且，则（ ）A． B． C． D．【典例3】（23-24高一·上海·课堂例题）已知角的终边过点，求角的正弦、余弦、正切及余切值．【变式1】（23-24高一下·河南南阳·期末）已知角的终边经过点，且，则（ ）A．3 B． C．5 D．【变式2】（23-24高一下·上海·期中）已知的终边过点，则 ．【变式3】（23-24高一上·湖北孝感·阶段练习）已知角的终边与单位圆交于点，其中．(1)求实数的值；(2)求的值．题型02 扇形的弧长与面积（含最值）【典例1】（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知扇形的周长是，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是（ ）A．2 B．1 C． D．3【典例2】（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）如图1所示的是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱塘江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征善新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.图2是会徽的几何图形，设的长度是，的长度是，几何图形的面积为，扇形的面积为，已知，.(1)求；(2)若几何图形的周长为4，则当为多少时，最大？【典例3】（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为.(1)若，，求扇形的弧长；(2)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大?【变式1】（23-24高一上·黑龙江·期末）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形.已知某纸扇的扇面如图所示，其中外弧长与内弧长之和为，连接外弧与内弧的两端的线段长均为，且该扇环的圆心角的弧度数为2.5，则该扇环的内弧长为（ ）A． B． C． D．【变式2】（23-24高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）若有一扇形的周长为60cm，那么当扇形的面积最大时，圆心角的弧度数为 弧度.【变式3】（2024高三·北京·专题练习）已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R.若扇形的周长为定值C，当为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大值.题型03 同角三角函数基本关系【典例1】（25-26高一上·全国·课后作业）若，则（ ）A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·全国·课后作业）若，，则 ．【典例3】（24-25高一上·全国·课堂例题）已知，，求的值．【变式1】（安徽省部分学校2023-2024学年高一上学期期末质量检测数学试题）已知，则 .【变式2】（24-25高三上·宁夏银川·开学考试）若，则 ．【变式3】（23-24高一上·四川遂宁·阶段练习）已知，.则= ，= ．题型04 利用诱导公式化简【典例1】（2024高二下·陕西西安·学业考试）已知角终边上一点，则 ．【典例2】（23-24高一下·江西萍乡·期中）在①，②两个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答.已知角，且________.(1)求的值；(2)求的值.【典例3】（23-24高一下·四川达州·期中）已知，．(1)求的值；(2)求的值．【变式1】（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列各式：(1)；(2)；(3)；(4)．【变式2】（23-24高一下·陕西渭南·期中）已知是第三象限角，且.(1)求的值；(2)求的值.【变式3】（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数(1)化简；(2)若，求､的值；(3)若，求的值.题型05 三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性【典例1】（多选）（江西省九江市十校2023-2024学年高三第二次联考数学试题）已知，，若函数的图象关于对称，且函数在上单调，则（ ）A．的最小正周期为 B．C．为偶函数 D．【典例2】（多选）（2024·山东淄博·二模）已知函数，满足：，成立，且在上有且仅有个零点，则下列说法正确的是（ ）A．函数的最小正周期为B．函数在区间上单调递减C．函数的一个对称中心为D．函数是奇函数【典例3】（多选）（23-24高一下·安徽滁州·期末）若函数的图象经过点，则（ ）A．点为函数图象的对称中心B．函数的最小正周期为C．函数在区间上的函数值范围为D．函数的单调增区间为【变式1】（多选）（23-24高一下·山东临沂·期中）已知，则（ ）A．是奇函数B．的最小正周期是C．图象的一个对称中心是D．上单调递增【变式2】（多选）（2024·山西太原·二模）函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A． B．的周期C．图象关于点对称 D．在区间上递减【变式3】（多选）（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数，则（ ）A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C．在上单调递减D．是偶函数题型06 三角函数图象变换【典例1】（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数，若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是（ ）A． B． C． D．【典例2】（23-24高一下·福建泉州·期中）已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到函数的图象，若函数在上有且仅有4个零点，则实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．【典例3】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数，把的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）A．是偶函数 B．的图象关于直线对称C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点中心对称【变式1】（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数的零点构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到函数的图象.关于函数，下列说法正确的是（ ）A．在上单调递增 B．其图象关于直线对称C．函数是偶函数 D．在区间上的值域为【变式2】（23-24高三上·贵州黔东南·开学考试）若函数的图象向左平移个单位长度后，恰好得到函数的图象，则的值可能为（ ）A． B． C． D．【变式3】（2024·陕西榆林·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位，到得函数的图象，则的最小值为（ ）A． B． C． D．4题型07 根据图象求解析式【典例1】（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式是（ ） A． B．C． D．【典例2】（2024·新疆·二模）已知函数的部分图象如图所示，图象的一个最高点为，图象与轴的一个交点为，且点M，N之间的距离为5，则（ ） A． B． C． D．2【典例3】（23-24高三上·江苏无锡·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数y=gx的图象，则下列说法正确的是（ ） A．在值域为B．的最小正周期是C．的图象关于直线对称D．在区间上单调递减【变式1】（24-25高三上·广东·阶段练习）已知（，）的部分图象如图所示，点是与坐标轴的交点，若是直角三角形，且，则（ ）A． B． C． D．【变式2】（2024·天津和平·二模）已知函数的部分图象如下图所示，则以下说法中，正确的为（ ）A．B．C．不等式的解集为D．函数的图象的对称中心为【变式3】（2024·西藏拉萨·二模）已知函数的部分图象如图，是相邻的最低点和最高点，直线的方程为，则（ ）A． B． C． D．题型08 拼凑角【典例1】（2024·广东·一模）已知 ，则 （ ）A． B． C． D．【典例2】（2024·四川·模拟预测）已知满足，则的值为（ ）A． B． C． D．【典例3】（24-25高三上·广东·开学考试）若，则（ ）A． B． C． D．【变式1】（2024高三·北京·专题练习）设，，则的值是（ ）A． B． C． D．【变式2】（24-25高三上·湖北·阶段练习）若 则 （ ）A． B． C． D．【变式3】（23-24高二下·湖南·期中）已知均为锐角，且.则（ ）A． B． C． D．题型09 三角函数值域与最值【典例1】（23-24高一·全国·课后作业）若函数的最小值为-6，则实数a的值为 .【典例2】（2024·安徽安庆）函数的值域是 .【典例3】（23-24高一下·江西宜春·期中）已知函数 在区间上的最大值记为 M，则M的取值范围为 【变式1】（23-24高一下·安徽宿州·期中）函数，的值域为 ．【变式2】（23-24高一上·吉林长春·期末）函数，的值域为 ．【变式3】（23-24高一下·湖北·开学考试）若函数在上的值域为，则的取值范围为 ．题型10 五点法作图问题【典例1】（23-24高一下·山西大同·阶段练习）已知函数 (1)试用“五点法”画出函数 在区间 的简图； (2)若 时，函数 的最小值为 ，试求出函数 的最大值并指出 取何值时，函数 取得最大值． 【典例2】（23-24高一下·全国·课后作业）用五点法做出函数 的图象．(1)填表：(2)五个关键点的坐标为＿、＿、＿、＿、＿；(3)用五个关键点做出函数y= 在区间 上的图象．由 的周期性，把图象向左右延拓，就可得到它在R上的图象，【典例3】（23-24高一上·广东广州·期末）设函数，将该函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，函数的图象关于y轴对称.(1)求的值，并在给定的坐标系内，用“五点法”列表并画出函数在一个周期内的图象；(2)求函数的单调递增区间；(3)设关于x的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围.【变式1】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数，.(1)在用“五点法”作函数在区间上的图象时，列表如下：将上述表格填写完整，并在坐标系中画出函数的图象；(2)求函数的单调递增区间；(3)求函数在区间上的最值以及对应的的值.【变式2】（23-24高一上·云南玉溪·期末）已知函数．(1)求的最小正周期和对称中心；(2)填上面表格并用“五点法”画出在一个周期内的图象．【变式3】（23-24高一上·海南海口·期末）已知函数.(1)利用“五点法”完成下面表格，并画出函数在区间上的图像.(2)解不等式.题型11 三角函数中零点（根）个数问题【典例1】（23-24高一下·陕西渭南·期中）已知函数的一系列对应值如表：(1)根据表格提供的数据求函数的一个解析式；(2)根据（1）的结果，若函数的周期为，当时，方程恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．【典例2】（23-24高一下·广西梧州·阶段练习）已知函数．(1)求函数的最小正周期和对称轴方程；(2)若函数在上有2个零点，求实数的取值范围．【变式1】（23-24高一下·辽宁辽阳·阶段练习）设，函数，.(1)当时，求的值域；(2)讨论的零点个数.【变式2】（23-24高一下·安徽淮北·阶段练习）已知函数，.(1)若，求实数的值；(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.题型12 三角函数中零点（根）的代数和问题【典例1】（2024高一·全国）已知定义在上的函数的图象关于直线对称，当时，.(1)求的值；(2)求的函数表达式；(3)如果关于的方程有解，记为方程所有解的和，求.【典例2】（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数．(1)判断并证明的奇偶性，并求出使成立的的取值范围；(2)设（1）中的取值范围为集合现有函数，其定义域为，若对A中任意一个元素，都存在个不同的实数，，，，，使（其中，，，，，，）则称为A的“重对应函数”试判断是否为A的“重对应函数”？如果是，写出并计算出；如果不是，请说明理由．【变式1】（23-24高一上·全国·期末）已知函数（）的最小正周期为．(1)求函数在区间上的最大值和最小值；(2)若函数在区间上恰有2个零点，求的值．【变式2】（23-24高一上·广东广州·期末）已知函数，.(1)求函数的单调递增区间；(2)若函数在区间上有两个零点，求的取值范围.(3)若函数有且仅有3个零点，求所有零点之和. 0π2πx010-100x13113
