广东省广州市黄埔区2022～2023学年九年级上学期教学质量诊断（期末）数学A卷（答案）

这是一份广东省广州市黄埔区2022～2023学年九年级上学期教学质量诊断（期末）数学A卷（答案），共24页。试卷主要包含了选择题．，填空题．，解答题．等内容，欢迎下载使用。

义务教育学科教学质量诊断
九年级数学（A 卷）
本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题 25 小题，共 6 页，满分 120 分；用时 120 分钟．
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡上，再用
2B 铅笔将考生号、座位号对应的信息点涂黑．
选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案．答案不能答在试卷上．
非选择题须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改
液．不按以上要求作答无效．
考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
第 I 卷选择题（共 30 分）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
下列有关环保的四个图形中，是中心对称图形的是（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【详解】解：选项 B、C、D 均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180 后与原来的图形重合， 所以不是中心对称图形；
选项 A 能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180 后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：A．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形，解题的关键是找出对称中心．
下列函数中是反比例函数的是（）
3x
【答案】B
【解析】
x 1
【分析】根据反比例函数的定义判断即可．
【详解】解：A、是正比例函数，不符合题意；
B、是反比例函数，符合题意； C、是二次函数，不符合题意；
D、不是反比例函数，不符合题意； 故选：B．
【点睛】题目主要考查了反比例函数的定义，解题关键是掌握反比例函数的定义并能和其他函数进行区分
将抛物线 y  2x2 1 先向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，所得到的抛物线解析式为
（）
A. y  2  x  32  2
C. y  2  x  32  2
B. y  2  x  32
D. y  2  x  32
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数图象平移规律，可得答案．
【详解】解：抛物线 y  2x2 1 先向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，所得到的抛物线解
析式为 y  2  x  32 11，即 y  2  x  32 ，故选：D．
【点睛】主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
下列事件属于必然事件的是（）
篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
掷一次骰子，向上一面的点数是 6
任意画一个三角形，其内角和是180
经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
【答案】C
【解析】
事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．
【详解】A. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，不合题意；
掷一次骰子，向上一面的点数是 6，是随机事件，不合题意；
任意画一个三角形，其内角和是180 是必然事件，符合题意；
经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不合题意． 故选：C．
【点睛】本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键．
如图， PA, PB 分别切圆 O 于 A、B 两点， PA  5 ，则 PB 的长为（）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】根据切线的性质得出 PB  PA ，即可求得结果．
【详解】解：连接OP ，
∵ PA，PB 分别切圆 O 于 A，B 两点，
∴ PB  PA  5 ， 故选：B．
【点睛】本题考查了切线长定理，作出辅助线根据切线长定理求解是解题的关键．
设一元二次方程
x 2 3x  2  0 的两根为
x1, x2 ，则
x1  x2  x1x2 的值为（ ）
A. 1B. 1
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程 ax2  bx  c  （0
C. 0D. 3
a  0）的根与系数的关系：若方程两根为 x1，x2 ，则
x  x  – b ， x x  c ，熟知此部分知识是解题关键．利用根与系数的关系，即可得出答案．
12a1 2a
C 恰好落在 BC 边的延长线上，则CAB  ()
A. 15B. 20C. 30°D. 45
【答案】D
【解析】
【分析】根据旋转的性质得出 AC  AC，根据等边对等角以及三角形内角和定理，得出ACC ，根据三角形的外角的性质得出ÐACB ，根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：依题意， AC  AC， CAC  30 ，
∴ ACC  ACC  75 ，
∴ ACB  ACC  CAC  75 ， 又∵ B  30 ，
∴ CAB  180  ACB  B  45 ， 故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形的外角的性质与三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键．
关于二次函数 y   x  22 1，下列说法错误的是（）
图象开口向下B. 图象顶点坐标是2, 1
C. 当 x  2 时，y 随 x 增大而减小D. 图象与 x 轴没有交点
【答案】B
【解析】
【分析】由二次函数的图像和性质直接判断即可得到答案．
【详解】解：∵ 1  0 ，
∴函数图像开口向下，故选项 A 说法正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
如图，在半径为 3 的O 中，点 A 是劣弧 BC 的中点，点 D 是优弧 BC 上一点，且D  30 ，则 BC
的长度是（）
3 3
2
3B.
C. 3
D. 2
3
3
【答案】C
【解析】
【分析】设 BC 与OA 交于点 E，先利用圆周角定理得到ÐAOC  60 再利用同弧或等弧所对的圆周角相等得到ÐAOC  ÐAOB  60，然后解直角三角形求出??的长，解题即可．
【详解】解：设 BC 与OA 交于点 E，
∵ D  30
∴ÐAOC  60
又∵A 是劣弧 BC 的中点，
∴ÐAOC  ÐAOB  60，
又∵ OC  OB
∴ÐOBC  ÐOCB  30，OE  BC
∴ OE  1 OC  1  3  3 ，
222
OC 2  OE2
∴ CE 
又∵ OE  BC
 33 ，
32  
 3 2
 2 

2
【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理以及垂径定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
如图，点A 是反比例函数 y  4 图像上的一动点，连接 AO 并延长交图像的另一支于点 B ．在点A 的
x
运动过程中，若存在点C m, n ，使得 AC  BC ， AC  BC ，则 m ， n 满足（）
mn  2
【答案】B
mn  4
n  2m
n  4m
【解析】
【分析】连接OC ，过点A 作 AE  x 轴于点 E ，过点C 作CF  y 轴于点 F ，根据等腰直角三角形的性质得出OC  OA ，通过角的计算找出AOE  COF ，结合“ AEO  90 ， CFO  90 ”可得出
AOE  COF ，根据全等三角形的性质，可得出 A(m, n) ，进而得到mn  4 ，进一步得到 mn  4 ．
【详解】解：连接OC ，过点A 作 AE  x 轴于点 E ，过点C 作CF  y 轴于点 F ，如图所示：
由直线 AB 与反比例函数 y  4 的对称性可知A 、 B 点关于O 点对称，
x
CO  AB ， CO  1 AB  OA ，
2
AOE  AOF  90 ， AOF  COF  90 ，
AOE  COF ，
又AEO  90 ， CFO  90 ，
AOE  COF ( AAS ) ，
OE  OF ， AE  CF ，
点C(m, n) ，
CF  m ， OF  n ，
 AE  m ， OE  n ，
 An, m ，
点A 是反比例函数 y  4 图像上，
x
mn  4 ，即 mn  4 ， 故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数的性质，等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定及性质，解题的关键是求出点A 的坐标．
第 II 卷非选择题（共 90 分）
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）．
一元二次方程3x( x  2)  4 的一般形式是．
【答案】3x2  6x  4  0
【解析】
【分析】一元二次方程的一般形式是： ax2  bx  c  0(a ， b ， c 是常数且 a  0) ．
【详解】解： 3x( x  2)  4 ， 去括号，得3x2  6x  4 ，
移项得3x2  6x  4  0 ，
原方程的一般形式是3x2  6x  4  0 ． 故答案为： 3x2  6x  4  0 ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，去括号的过程中要注意符号的变化，以及注意不能漏乘，移项时要注意变号．
已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 I（单位：A）与电阻 R（单位：  ）是反比例函数关
系，它的图象如图所示．当电阻为3 时，电流是A．
【答案】12
【解析】
【分析】设该反比函数解析式为 I  k k  0 ， 根据当 R=9 时， I  4 ， 可得该反比函数解析式为
R
I  36 ，再把 R  3代入，即可求出电流 I．
R
【详解】解：设该反比函数解析式为 I  k k  0 ，
R
由题意可知，当 R=9 时， I  4 ，
 4  k ，
9
解得： k  36 ，
设该反比函数解析式为 I  36 ，
R
当 R  3时， I  36  12 ，
3
即电流为12 A ，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题关键．
在一个不透明的袋子里，装有 6 枚白色棋子和若干枚黑色棋子，这些棋子除颜色外都相同．将袋子里的棋子摇匀，随机摸出一枚棋子，记下它的颜色后再放回袋子里．经过大量试验发现，摸到白色棋子的频率稳定在0.1 ，由此估计袋子里黑色棋子的个数为
【答案】54
【解析】
【分析】用白色棋子的数量除以0.1 求出棋子的总个数，即可求解．
【详解】解：根据题意得：棋子的总个数为6  0.1  60 个，
∴袋子里黑色棋子的个数为60  6  54 个． 故答案为：54
【点睛】本题主要考查了根据频率求频数，解题的关键在于能够根据题意求出棋子的总个数．
已知圆锥的底面半径是 30，母线长是 50，则它的侧面积是．
【答案】1500p
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面积=底面周长母线长2 ，即可求解．
【详解】解：底面半径是 30， 则底面周长l  2  30p 60p，
圆锥的侧面积 S  1  60p 50  1500p，
2
故答案为：1500p．
【点睛】本题考查了圆的周长公式和扇形面积公式，牢记圆的周长公式和扇形面积公式是解题的关键．
已知一次函数 y  kx  4 的图像与 y 轴的交点为 P ，若二次函数 y  ax2  5ax  4a 的图像经过点 P ，则二次函数的解析式为．
【答案】 y  x2  5x  4
【解析】
【分析】一次函数 y  kx  4 的图像与 y 轴的交点为 P ，可求出点 P 的坐标，再将点 P 的坐标代入二次函数即可求解．
【详解】解：根据题意得，当 x  0 时， y  4 ，
∴点 P 的坐标为(0, 4) ，
把点 P 的坐标代入二次函数得，
∴ 4a  4 ，
∴ a  1 ，
∴二次函数的解析式为 y  x2  5x  4 ， 故答案为： y  x2  5x  4 ．
【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的综合，掌握待定系数法解二次函数解析式是解题的关键．
如图，已知OA  OB  OM  4 ，点 M 在??的垂直平分线上，以点 M 为圆心， MA 为半径作M ， 点 C 是M 上的一个动点，且位于??上方，连接 BC, AC ，点 D 是 AC 的中点，连接OD ．下列说法：
3
① BC  2OD ；② ODA  45 ；③线段OD 的最大值为 4
；④当点 C 在优弧 AB 上运动时，点 D
的运动轨迹长度为3 2π ．其中正确的是 ．（请填写序号）
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理判断①；由圆周角定理及垂径定理即可判断②；利用勾股定理及圆周角定理可判断③；根据弧长公式及运动轨迹即可判断④．
【详解】解：①∵ OB  OA ，D 为 AC 的中点，
∴ OD ∥ BC ， BC  2OD ，故①正确；
②连接 BM、AM ，
 OA  OB  OM  4 ，以点 M 为圆心， MA 为半径作⊙M，
OAM  OBM  45, AMB  90, MA  MB ，
∴ÐBCA  45 ，
∵ OD ∥ BC ，
∴ÐODA  ÐBCA  45 ，故②正确；
③OD  1 BC,
2
 OD 最大，即 BC 最大，
当 BC 为M 的直径时最大， 由②得： AMB  90 ，
OA2  OM 2
2
∴ MA  4，
2
∴直径为8，
∴ ODmax
 1 BC  4 2
，故③错误；
2
④当点 C 在 AB 上运动时，点 D 在以OD 的长为直径的⊙E 上的ODA 上运动，连接 AE ，如图，
∴ÐOEA  90 ，
∵ODA 是等腰直角三角形， OA  4 ，
2
∴ OE  2，
2
则点 D 的运动路径长l  270 p 2
180
综上所述，正确的结论是①②④， 故答案为：①②④．
 3 2p，故④正确
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、三角形中位线定理和等腰三角形的性质，准确判断点 D 的轨迹是解题的关键．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
17. 解方程： x2  2x 1  16 ．
【答案】 x1  5 ， x2  3
【解析】
【分析】根据完全平方公式，运用直接开方法解方程．
【详解】解： x2  2x 1  16
配方法， (x  1)2  16 ，
直接开方， x 1  4
当 x 1  4 时， x  5 ；当 x  1  4 时， x  3 ，
∴原方程的解为 x1  5 ， x2  3 ．
【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，掌握完全平方公式的配方法，直接开方法解方程是解题的关键．
如图，已知 ABC 的三个顶点坐标分别为 A2, 4 ， B2,0 ， C 4,1 ，利用关于原点对称的点
的坐标的关系，作出与 ABC 关于原点对称的图形，并写出点A 对应点的坐标．
【答案】画图见解析， A 点对应点 A2, 4
【解析】
【分析】根据题意作出与V ABC 关于原点对称的对称点 A, B, C ，顺次连接 A, B, C 得到 ABC，根据关于原点对称的点的坐标的关系即可求A 点对应点 A2, 4 ．
【详解】解：如图所示，  ABC即为所求，
A 点对应点 A2, 4
【点睛】本题考查了画中心对称图形，掌握关于原点对称的点的坐标的关系是解题的关键．
已知二次函数 y=-x2 +4x-3．
求该二次函数的顶点坐标；
画出函数 y=-x2 +4x-3的图象，并根据图象直接写出使 y  0 的 x 的取值范围．
【答案】（1）顶点坐标为2，1
（2）图象见解析； x  1或 x  3
【解析】
【分析】（1）化为顶点式，即可求解；
（2）用五点法画出二次函数图象，结合函数图象求得不等式的解集，即可求解．
【小问 1 详解】
解： y=-x2 +4x-3   x  22 1
∴顶点坐标为2，1 ；
x
0
1
2
3
4
y
3
0
1
0
3
【小问 2 详解】解：列表如下，
描点连线如图，
x
y
根据函数图象可知：使 y  0 的 x 的取值范围为 x  1或 x  3 ．
【点睛】本题考查了画二次函数图象，根据函数图象求不等式的解集，数形结合是解题的关键．
如图,AB 为⊙O 的直径, C 为⊙O 上一点,AD⊥CD,AC 平分∠DAB.求证:CD 是⊙O 切线．
【答案】证明见解析.
【解析】
【详解】试题分析：由于 C 是⊙O 上一点，连接 OC，证 OC⊥CD 即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得∠OCA=∠CAD，即可得到 OC∥AD，由于 AD⊥CD，那么 OC⊥CD，由此得证．
试题解析：
证明：连接 OC，
∵AC 平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵OC 为⊙O 半径，
∴CD 是⊙O 的切线．
一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“主”“题”“教”“育”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸前先搅拌均匀．
若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“题”的概率为；
先从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用画树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字能组成“教育”的概率．
【答案】（1） 1
4
1
（2）
6
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n ，再从中选出符合事件A 或 B 的结果数目 m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件 B 的概率．掌握概率公式是解题的关键．
直接利用概率公式求解；
画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，再找出取出的两个球上的汉字能组成“教育”的结果数， 然后根据概率公式求解．
【小问 1 详解】
解：从中任取一个球，球上的汉字刚好是“题”的概率 1 ，
4
1
故答案为： ；
4
主
题
教
育
主
主题
主教
主育
【小问 2 详解】列表如下：
共有 12 种等可能的结果，其中取出的两个球上的汉字能组成“教育”的结果数为 2，
题
题主
题教
题育
教
教主
教题
教育
育
育主
育题
育教
所以取出的两个球上的汉字能组成“教育”的概率
2  1 ．
126
如图，一次函数 y  kx  b 与反比例函数 y  m 的图象交于 An, 3 ， B 3, 2 两点．
x
求反比例函数与一次函数的解析式；
过点 A 作 AC  y 轴，垂足为 C，求 ABC 的面积 S ABC ．
【答案】（1） y  6 ， y  x  1
x
（2）5
【解析】
【分析】（1）把 B 的坐标代入反比例函数的解析式，求出其解析式，把 A 的坐标代入反比例函数的解析式， 求出 A 的坐标，把 A、 B 的坐标代入一次函数的解析式，得出方程组，求出方程组的解即可；
（2）根据一次函数确定OD  1 ， OC  3 ，结合图形，计算三角形面积即可．
【小问 1 详解】
解：∵点 B 3, 2 ）在 y  m 的图像上，
x
∴ m  6 ，
∴反比例函数的解析式为： y  6 ，
x
∴ n  6  2
3
∴ A2, 3 ，
∵点 A(2, 3) 、 B 3, 2 在 y  kx  b 的图像上，
 2k  b  3

∴ 3k  b  2 ，
k  1

解得： b  1
∴一次函数的解析式为： y  x  1 ；
【小问 2 详解】
∵一次函数的解析式为： y  x  1 ， 当? = 0时， y  1，
∴点 D 0,1 ， OD  1 ，
∵ AC  y 轴， A(2, 3) ，
∴ C 0, 3 ， OC  3 ，
∴ CD  OC  OD  2 ，
以??为底，则??边上的高为3  2  5 ，
∴ S 1  2  5  5
△ABC2
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式， 三角形的面积的应用，主要培养学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．
如图，用 20 米长的篱笆沿墙建造一边靠墙的矩形菜园（墙足够长），设矩形的一边 AB 长度为 x 米．
矩形的边 BC  米（含 x 的代数式表示）；
怎样围成一个面积为 50 平方米的矩形菜园？
【答案】（1） 20  2x
（2） AB 的长 5 米， BC 长 10 米时，矩形面积为 50 平方米
【解析】
【分析】（1）根据题意直接列代数式即可；
（2）根据矩形的面积公式列出方程求解即可．
【小问 1 详解】
解：依题意得， AB 长度为 x 米，
BC  20  2x 米， 故答案为： 20  2x ；
【小问 2 详解】
解：根据题意得： x 20  2x  50 ，
整理得 x2 10  25  0 ，即 x  52  0 ，解得 x1  x2  5 ．
BC  20  5  5  10 米，
答： AB 的长 5 米， BC 长 10 米时，矩形面积为 50 平方米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是表示出矩形的另一边长，列出方程．
抛物线 y  ax2  bx  4 a  0 与 x 轴交于点 A2, 0 和 B 4, 0 ，与 y 轴交于点 C，连接 BC．点 P 是线段 BC 下方抛物线上的一个动点（不与点 B，C 重合），过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于 M，交 x 轴于 N．
求该抛物线的解析式；
过点 C 作CH  PN 于点 H， BN  3CH ，
①求点 P 的坐标；
②连接CP ，在 y 轴上是否存在点 Q，使得CPQ 为直角三角形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在， 请说明理由．
【答案】（1） y  1 x2  x  4
2
（2）① 1,  9  )②  0,  9  或 0,  13 
2 2 2 

【解析】
【分析】（1）用待定系数法求出二次函数的解析式即可；
（2）①由题可得OCHN 为矩形，根据 BN  3CH ，可得点 P 的横坐标，代入解析式即可求出坐标；② 分ÐCPQ  90 和ÐCQP  90 两种情况解题即可．
【小问 1 详解】
解：把点2, 0 和4, 0 代入 y  ax2  bx  4 得：

 4a  2b  4  0
，
16a  4b  4  0

 a  1
解得： 2 ，
b  1
∴ y  1 x2  x  4
2
【小问 2 详解】
①解：∵ CH  PN ， PN  x 轴，ÐCOB  90
∴四边形OCHN 为矩形，
∴ ON  HC
∵ BN  3CH
∴ ON  1
当? = 1时 y  1 12 1 4   9
22
∴点 P 的坐标(1， 9 )
2
②由题可知，显然ÐPCQ 不能为90° 如图，当ÐCPQ  90 时，
在RtCPH 中， CH  1，PH  4    9   1 ，
2 2

CH 2  PH 2
12  
 1 2
 2 

5
∴ CP ，
2
∵ PN  y 轴，
∴ÐPCQ  ÐCPH
∴ csÐPCQ  csÐCPH ，
即 PH  PC ，
PCCQ
15
即： 2  2
5CQ
2
解得： CQ  5 ，
2
∴ OQ  OC  CQ  4  5  13
22
∴点 Q 的坐标为 0,  13  ；
2 

如图，当ÐCQP  90 时， 显然， OQPN 为矩形，
∴ OQ  NP  9 ，
2
∴点 Q 的坐标为 0,  9  ；
2 

综上所述：点 Q 的坐标为 0,  9  或 0,  13 
2 2 

【点睛】本题考查二次函数的解析式，矩形的性质，勾股定理和三角函数，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
如图，在V ABC 中， ACB  90 ，点 P 是Rt△ABC 外接圆上的一点，且ACP  45．
如图 1，求证： AP  BP ；
如图 2，连接 BP，AP ．点 M 为弧 AP 上一点，过 P 作 PD  BM 于 D 点，求证：
BD  MD  AM ；
如图 3，点Q 是 AP 上一动点（不与 A，P 重合），连 PQ，AQ，BQ ．求 BQ  AQ 的值．
PQ
【答案】（1）见解析（2）见解析
2
（3）
【解析】
【分析】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
由等腰直角三角形的性质可得出结论；
作 PE  AM ，交 AM 的延长线于 E ，如图 2，证明PBD≌PAE AAS ，由全等三角形的性质可得出 PD  PE，BD  AE ，证出四边形 PDME 为正方形，得出 MD  ME ，则可得出结论；
作 PD  BQ 于 D ，如图 3，由（2）得 BD  DQ  AQ ，证出PDQ 为等腰直角三角形，得出
PQ 
2DQ ，则可得出答案．
【小问 1 详解】
证明：ACB  90 ，
\AB 为直径，
APB  90 ，
 AP  AP ，
ACP  ABP  45，
ABP  BAP  45 ，
 AP  BP ；
【小问 2 详解】
证明：作 PE  AM ，交 AM 的延长线于 E ，如图 2，
，
ACB  90 ，
\AB 为直径，
AMB  90 ，
 PD  BM ，
四边形 PDME 为矩形， 在△PBD 和△PAE 中，
PDB  PEA

PBD  PAE ，

PB  PA
PBD≌PAE AAS ，
 PD  PE，BD  AE ，
四边形 PDME 为正方形，
 MD  ME ，
 BD  AE  ME  AM  MD  AM ；
【小问 3 详解】
解：作 PD  BQ 于 D ，如图 3，
由（2）得 BD  DQ  AQ ，
 BQ  AQ  BD  DQ  AQ  DQ  AQ  DQ  AQ  2DQ ，
PQPQ
PQB  PAB  45 ，
PDQ 为等腰直角三角形，
 PQ 
2DQ ，
2DQ
2DQ
 BQ  AQ  2DQ 2 ．
PQPQ