2022-2023学年广东省广州市增城区九年级（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2022-2023学年广东省广州市增城区九年级（上）期末数学试卷（含答案），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
如图所示历届冬奥会会标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
A． B．
C． D．
“翻开数学书，恰好翻到的页数为奇数页”，这个事件是()
A．必然事件B．随机事件C．不可能事件D．确定事件
已知反比例函数 y  k 的图象经过点(2, 3) ，则 k  ()
x
A．2B．3C． 6
D．6
已知O 的半径为 3，点 P 在O 外，则OP 的长可以是()
A．1B．2C．3D．4 5．抛物线 y  (x  2)2  3 的最大值是()
A．2B．3C． 2D． 3
如图，将AOB 以O 为位似中心，扩大到 COD ，各点坐标分别为 A(1, 2) ，B(2, 0) ，D(4, 0) ，则点C 的坐标为()
A． (3, 4)B． (3, 6)C． (2, 4)D． (2, 6)
如图，在平面直角坐标系中 xOy 中，点 A 的坐标为(3, 4) ．将点 A 绕点O 逆时针旋转90 ，则点 A 的对应点坐标为()
A． (4, 3)
B． (4, 3)
C． (4,3)D． (4, 3)
某商品经过两次连续提价，每件售价由原来的 100 元上涨到了 121 元．设平均每次涨价的百分率为 x ，则下列方程中正确的是()
A．100(1  x)2  121B．121(1  x)2  100
C．121(1  x)2  100D．100(1  x)2  121
如图，一次函数 y1
 kx  b(k  0) 的图象与反比例函数 y2
 m (m 为常数且 m  0) 的图象
x
都经过 A(1, 2) ， B(2, 1) ，结合图象，则不等式 kx  b  m 的解集是()
x
x  1
B． 1  x  0
C． x  1 或0  x  2 D．1  x  0 或 x  2
若直线 y  n 截抛物线 y  x2  bx  c 所得线段 AB  4 ，且该抛物线与 x 轴只有一个交点，
则 n 的值为()
1
B．2C．25D．4
二、填空题（本题共 6 个小题）
已知 PA ， PB 是O 的切线，切点分别是 A 、 B ，若 PA  2 ，则 PB ．
12．2022 北京冬奥会雪花图案令人印象深刻，如图所示，雪花图案围绕旋转中心至少旋转度后可以完全重合．
已知圆锥的母线长为 3，底面半径为 1，该圆锥的侧面展开图的面积为．
如图，已知ADE∽ABC ，且 AD : AB  2 : 3 ，则 SADE : SABC ．
若函数 y  x2  bx  c 经过点(1, 0) 和(3, 0) ，则该函数的对称轴是直线．
如图，在平面直角坐标中，菱形OABC 的顶点 A 在 y 轴的正半轴上，点 B 在函数 y  k
x
3
的图象上，若ABC  60 ，菱形OABC 的面积为6，则 k 的值为．
三、解答题（本题共 9 个小题）
17．解方程： x2  4x  0 ．
如图，已知点 A 、B 、C 在半圆上， AB 是半圆的直径，点C 是 AB 的中点，且 AC  3 ，求直径 AB 的长．
如图，在平面直角坐标系中， ABC 的顶点坐标分别为 A(2, 1) 、 B(1, 3) 、C(4, 4) ，
作出ABC 关于原点O 对称的△ A1 B1C1 ；
写出点 A1 、 B1 、C1 的坐标．
根据《广州市初中学业水平考试体育与健康考试实施意见》，2021 年至 2022 年广州中考实施方案，广州市体育中考分成：一类考试项目：（1）中长跑：800 米（女) 、1000 米（男
) ；二类考试项目：跳类：立定跳远、三级蛙跳、一分钟跳绳；投掷类：投掷实心球、推铅球；球类：足球、篮球、排球．某中学毕业班学生 1120 人，现抽取 240 名学生对四个项目 A 中长跑、 B 跳绳、C 足球、 D 实心球的喜好进行抽样调查调查结果如图．
补全条形图；
依据本次调查的结果，估计全体 1120 名学生中最喜欢 A 中长跑的人数；
现从喜欢中长跑的学生中选取两人作为领跑员，符合条件的有甲乙两名男生和丙丁两 名女生，从这四人中任选两人，求刚好选中甲和丁的的概率．
如图，一次函数 y  x  3 的图象与反比例函数 y  k (k  0) 在第一象限的图象交于点
x
A(1, a) 和点 B ，与 x 轴交于点C ．
求反比例函数的解析式；
连接OA ， OB ，求AOB 的面积．
如图，已知 AB 是O 的直径，点C 在O 上，点 E 在O 外．
动手操作：作ACB 的角平分线CD ，与圆交于点 D （要求：尺规作图，不写作法， 保留作图痕迹）
综合运用，在你所作的图中．若EAC  ADC ，求证： AE 是O 的切线．
如图，小华在晚上由路灯 A 走向路灯 B ，当她走到 P 点时，发现身后影子的顶端刚好接触到路灯 A 的底部，当她向前再步行12m 到 Q 点时，发现身前影子的顶端刚好接触到路灯 B 的底部．已知小华的身高是1.6m ，两路灯的高度都是9.6m ．
当 AP  QB  x m 时，求 x 的值；
当小华在路灯 A 与路灯 B 之间走动时，在两灯光下的影子长是变化的，那么两个影子长的和是否发生变化？若不变，求出两个影子长的和；若发生变化，请说明理由．
如图 1，正方形 ABCD 的边长为 5，点 M 是线段CB 延长线一点，连接 AM ， AM  a ．
如图 2，线段 AM 沿着射线 AD 平移得 DM  ，直接写出四边形 AMM D 的面积；
将ABM 绕着点 A 旋转，使得 AB 与 AD 重合，点 M 落在点 N ，求线段 AM 扫过的平面部分的面积；
将ABM 顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全重合（第（2） 小题的情况除外），请在给出的图中画出符合条件的 3 种情况，并写出相应的旋转中心和旋转角．
已知抛物线 y  ax2  bx  2(a  0) 经过点 A(1, 0) 、 B(2, 0) ，与 y 轴交于点C ．
求抛物线的表达式；
将抛物线向左平移 m 个单位(m  2) ，平移后点 A 、B 、C 的对应点分别记作 A1 、B1 、
C1 ，过点C1 作C1 D  x 轴，垂足为点 D ，点 E 在 y 轴负半轴上，使得以O 、 E 、 B1 为顶点的三角形与△ A1C1D 相似，
①求点 E 的坐标；（用含 m 的代数式表示）
②如果平移后的抛物线上存在点 F ，使得四边形 A1FEB1 为平行四边形，求 m 的值．
2022-2023 学年广东省广州市增城区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共 10 个小题，下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
如图所示历届冬奥会会标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
A． B．
C． D．
【解答】解： A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选： C ．
“翻开数学书，恰好翻到的页数为奇数页”，这个事件是()
A．必然事件B．随机事件C．不可能事件D．确定事件
【解答】解：“翻开数学书，恰好翻到的页数为奇数页”，这个事件是随机事件．
故选： B ．
已知反比例函数 y  k 的图象经过点(2, 3) ，则 k  ()
x
A．2B．3C． 6
【解答】解：反比例函数 y  k 的图象经过点(2, 3) ，
x
D．6
 k  2  (3)  6 ， 故选： C ．
已知O 的半径为 3，点 P 在O 外，则OP 的长可以是()
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：O 的半径为 3，点 P 在O 外，
OP 的长大于 3．
故选： D ．
5．抛物线 y  (x  2)2  3 的最大值是()
A．2B．3C． 2D． 3
【解答】解： y  (x  2)2  3 ， a  1 ，
当 x  2 时， y 有最大值是 3， 故答案为： B ．
如图，将AOB 以O 为位似中心，扩大到 COD ，各点坐标分别为 A(1, 2) ，B(2, 0) ，D(4, 0) ，
则点C 的坐标为()
A． (3, 4)B． (3, 6)C． (2, 4)D． (2, 6)
【解答】解： B(2, 0) ， D(4, 0) ，
OB  2 ， OD  4 ，
 OB  2  1 ，
OD42
将AOB 以O 为位似中心，扩大到COD ，
 OA  1 ，
OC2
OC  2OA ，即点 A 为OC 的中点，
 A(1, 2) ，
C(2, 4) ；
故选： C ．
如图，在平面直角坐标系中 xOy 中，点 A 的坐标为(3, 4) ．将点 A 绕点O 逆时针旋转90 ，则点 A 的对应点坐标为()
A． (4, 3)
B． (4, 3)
C． (4,3)D． (4, 3)
【解答】解：设点 A 的对应点为点 B ，过点 A ， B 分别作 AD  x 轴， BC  x 轴，垂足分别为 D ， C ，由题意，得： OA  OB ， AOB  90 ，
 AD  x 轴， BC  x 轴，
BCO  ADO  90 ，
AOD  OAD  BOC  AOD  90 ，
OAD  BOC ，
ADO  OCB(AAS ) ，
OC  AD ， BC  DO ，
点 A 的坐标为(3, 4) ，
 AD  4 ， OD  3 ，
OC  AD  4 ， BC  DO  3 ，
 B(4, 3) ； 故选： A ．
某商品经过两次连续提价，每件售价由原来的 100 元上涨到了 121 元．设平均每次涨价的百分率为 x ，则下列方程中正确的是()
A．100(1  x)2  121B．121(1  x)2  100
C．121(1  x)2  100D．100(1  x)2  121
【解答】解：设平均每次提价的百分率为 x ， 第一次提价后的价格为100(1  x) ，
连续两次提价后售价在第一次提价后的价格的基础上提高 x ，为100(1  x)  (1  x) ， 则列出的方程是100(1  x)2  121．
故选： D ．
如图，一次函数 y1
 kx  b(k  0) 的图象与反比例函数 y2
 m (m 为常数且 m  0) 的图象
x
都经过 A(1, 2) ， B(2, 1) ，结合图象，则不等式 kx  b  m 的解集是()
x
x  1
B． 1  x  0
C． x  1 或0  x  2 D．1  x  0 或 x  2
【解答】解：由函数图象可知，当一次函数 y1
 kx  b(k  0) 的图象在反比例函数 y2
 m (m x
为常数且 m  0) 的图象上方时， x 的取值范围是： x  1 或0  x  2 ，
不等式 kx  b  m 的解集是 x  1 或0  x  2
x
故选： C ．
若直线 y  n 截抛物线 y  x2  bx  c 所得线段 AB  4 ，且该抛物线与 x 轴只有一个交点，
则 n 的值为()
1
B．2C．25D．4
【解答】解：抛物线与 x 轴只有一个交点，
b2  4c  0 ，
设 A 、 B 的交点的横坐标为 x1 、 x2 ，
 x 、 x 是方程 x2  bx  c  n 的两个根，
12
 x1  x2  b ， x1 x2  c  n ，
 AB  4 ，
| x1  x2 | 4 ，
12121 2
(x  x )2  (x  x )2  4x x  16 ，
(b)2  4(c  n)  16 ，即b2  4c  4n  16 ，
 4n  16 ，
 n  4 ， 故选： D ．
二、填空题（本题共 6 个小题）
已知 PA ， PB 是O 的切线，切点分别是 A 、 B ，若 PA  2 ，则 PB  2．
【解答】解： PA ， PB 是O 的切线， PA  2 ，
 PB  PA  2 ； 故答案为：2．
12．2022 北京冬奥会雪花图案令人印象深刻，如图所示，雪花图案围绕旋转中心至少旋转
60度后可以完全重合．
【解答】解：由题意这个图形是中心旋转图形， 360  60 ，
6
故答案为：60．
已知圆锥的母线长为 3，底面半径为 1，该圆锥的侧面展开图的面积为 3 ．
【解答】解：圆锥的侧面展开图是扇形，
S侧  rl  31 3，
该圆锥的侧面展开图的面积为3． 故答案为： 3．
如图，已知ADE∽ABC ，且 AD : AB  2 : 3 ，则 SADE : SABC 4 : 9 ．
【解答】解：ADE∽ABC ，
 SADE  ( AD )2 
( 2)2  4 ，
SABCAB39
故答案为： 4 ．
9
若函数 y  x2  bx  c 经过点(1, 0) 和(3, 0) ，则该函数的对称轴是直线x  1 ．
【解答】解： y  x2  bx  c 经过点(1, 0) 和(3, 0) ，
 x  1和 x  3 的函数值相同，
点(1, 0) 和(3, 0) 关于抛物线的对称轴对称，
抛物线的对称轴为直线 x  1  3  1 ；
2
故答案为： x  1 ．
如图，在平面直角坐标中，菱形OABC 的顶点 A 在 y 轴的正半轴上，点 B 在函数 y  k
3
x
3
的图象上，若ABC  60 ，菱形OABC 的面积为6
【解答】解：延长 BC 交 x 轴于点 D ，设 BC  a ，
四边形OABC 为菱形，
AOC  ABC  60 ， BC  OC  a ， BC / /OA ，
CDO  AOD  90 ，
COD  AOD  AOC  30 ，
，则 k 的值为9．
 CD  1 OC  1 a ， OD 
22
3 a ，
OC 2  CD2
2
菱形OABC 的面积为 BC  OD  a 
3a  6，
3
3
2
3
 a  2
， a  2
（舍去）；
 BC  2 3,CD  3,OD  3 ，
3
 BD  BC  CD  3，
 B(3, 3 3) ，
3
3
 k  3  3 9．
故答案为： 9 3 ．
三、解答题（本题共 9 个小题）
17．解方程： x2  4x  0 ．
【解答】解： x(x  4)  0 ，
 x  0 或 x  4  0 ，
解得： x1  0 或 x2  4 ．
如图，已知点 A 、B 、C 在半圆上， AB 是半圆的直径，点C 是 AB 的中点，且 AC  3 ，求直径 AB 的长．
【解答】解： AB 是半圆的直径，
ACB  90 ，
点C 是 AB 的中点，
 AC  BC ，
 BC  AC  3 ，
AC2  BC2
2
 AB  3．
如图，在平面直角坐标系中， ABC 的顶点坐标分别为 A(2, 1) 、 B(1, 3) 、C(4, 4) ，
作出ABC 关于原点O 对称的△ A1 B1C1 ；
写出点 A1 、 B1 、C1 的坐标．
【解答】解：（1）如图所示，△ A1 B1C1 即为所求；
（2）由图知点 A1 的坐标为(2,1) 、 B1 的坐标为(1, 3) 、C1 的坐标为(4, 4) ．
根据《广州市初中学业水平考试体育与健康考试实施意见》，2021 年至 2022 年广州中考实施方案，广州市体育中考分成：一类考试项目：（1）中长跑：800 米（女) 、1000 米（男
) ；二类考试项目：跳类：立定跳远、三级蛙跳、一分钟跳绳；投掷类：投掷实心球、推铅球；球类：足球、篮球、排球．某中学毕业班学生 1120 人，现抽取 240 名学生对四个项目 A
中长跑、 B 跳绳、C 足球、 D 实心球的喜好进行抽样调查调查结果如图．
补全条形图；
依据本次调查的结果，估计全体 1120 名学生中最喜欢 A 中长跑的人数；
现从喜欢中长跑的学生中选取两人作为领跑员，符合条件的有甲乙两名男生和丙丁两 名女生，从这四人中任选两人，求刚好选中甲和丁的的概率．
【解答】解：（1） A 项目人数为240  25%  60 （人) ，
C 项目人数为240  (60  84  24)  72 （人) ， 补全图形如下：
估计全体 1120 名学生中最喜欢 A 中长跑的人数为1120  25%  280 （人) ；
画树状图如下：
共有 12 种等可能的结果，其中刚好选中甲和丁的有 2 种结果，
刚好选中甲和丁的概率为 2  1 ．
126
如图，一次函数 y  x  3 的图象与反比例函数 y  k (k  0) 在第一象限的图象交于点
x
A(1, a) 和点 B ，与 x 轴交于点C ．
求反比例函数的解析式；
连接OA ， OB ，求AOB 的面积．
【解答】解：（1）一次函数 y  x  3 的图象与反比例函数 y  k (k  0) 在第一象限的图象
x
交于点 A(1, a) 和点 B ，
 a  1  3  2 ，
 A(1, 2) ，
 k  1 2  2 ，
 y  2 ；
x
 y  x  3

（2）解：联立2，
y 
x
解得： x  1 或x  2 ；


 y  2 y  1
 B(2,1) ，
过点 A ， B 分别作 AD  x 轴， BF  x 轴，垂足为 D ， F ，
 A(1, 2) ， B(2,1) ，
 AD  2 ， BF  1 ， OD  1 ， OF  2 ，
 DF  OF  OD  1 ，
 SAOB  SAOD  S梯形ABFD  SBOF ，
 1  2 1  1  (1  2) 1  1  2 1
222
 3 ．
2
如图，已知 AB 是O 的直径，点C 在O 上，点 E 在O 外．
动手操作：作ACB 的角平分线CD ，与圆交于点 D （要求：尺规作图，不写作法， 保留作图痕迹）
综合运用，在你所作的图中．若EAC  ADC ，求证： AE 是O 的切线．
【解答】（1）解：如图所示， CD 即为所求．
（2）证明：由图知， ADC  ABC ，
EAC  ADC ，
EAC  ABC ，
 AB 是O 的直径，
ABC  BAC  90 ，
EAC  BAC  90 ，
BAE  90 ，
 AE 是O 的切线．
如图，小华在晚上由路灯 A 走向路灯 B ，当她走到 P 点时，发现身后影子的顶端刚好接触到路灯 A 的底部，当她向前再步行12m 到 Q 点时，发现身前影子的顶端刚好接触到路灯 B 的底部．已知小华的身高是1.6m ，两路灯的高度都是9.6m ．
当 AP  QB  x m 时，求 x 的值；
当小华在路灯 A 与路灯 B 之间走动时，在两灯光下的影子长是变化的，那么两个影子长的和是否发生变化？若不变，求出两个影子长的和；若发生变化，请说明理由．
【解答】解：（1） MP  AB ， DB  AB ，
 MP / / DB ，
APM ∽ABD ，
 MP  AP ，即： 1.6 x，
DBAB
解得： x  3 ；
9.62x  12
（2）不会发生变化；
如图，当小华在 A ， B 之间走动时，在 A 路灯下的影子长度为OH ，在 B 路灯下的影子长度为OG ，
 AD  AB ， BC  AB ， OE  OB ，
 AD / /OE / / BC ，
AHD∽OHE ， BGC∽OGE ，
 OE  OH ， OE  OG ，
ADAHCBBG
则 1.6  OH ， 1.6  OG ，整理得： OH  1 AH ， OG  1 BG ，
9.6AH9.6BG66
 OH  OG  1 ( AH  BG) ，
6
 GH  1 ( AB  GH ) ，
6
由（1）得： AB  12  3  3  18(m) ，
 GH  1 (18  GH ) ，解得： GH  3.6m ，
6
两个影子的长的和不会变，一直都是3.6m ．
如图 1，正方形 ABCD 的边长为 5，点 M 是线段CB 延长线一点，连接 AM ， AM  a ．
如图 2，线段 AM 沿着射线 AD 平移得 DM  ，直接写出四边形 AMM D 的面积；
将ABM 绕着点 A 旋转，使得 AB 与 AD 重合，点 M 落在点 N ，求线段 AM 扫过的平面部分的面积；
将ABM 顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全重合（第（2） 小题的情况除外），请在给出的图中画出符合条件的 3 种情况，并写出相应的旋转中心和旋转角．
【解答】解：（ 1 ） 线段 AM 沿着射线 AD 平移得 DM  ， 四边形 AMM D 的面积为：
AD  DC  5  5  25 ；
答：线段 AM 扫过的平面部分的面积为 25．
解： ABM 绕着点 A 旋转，使得 AB 与 AD 重合，则ABM 旋转的角度是90 或270 ，
 S扇形AMN 
90a2
360
或 S扇形AMN 
270a2
，
360
 S 1a2 或 3a2 ，
扇形AMN44
答：线段 AM 扫过的平面部分的面积为： 1a2 或 3a2 ．
44
如图 1，旋转中心： AB 边的中点为O ，顺时针180 ；
如图 2，旋转中心：点 B ，顺时针旋转90 ；
如图 3，旋转中心：正方形对角线交点O ，顺时针旋转90 ．
已知抛物线 y  ax2  bx  2(a  0) 经过点 A(1, 0) 、 B(2, 0) ，与 y 轴交于点C ．
求抛物线的表达式；
将抛物线向左平移 m 个单位(m  2) ，平移后点 A 、B 、C 的对应点分别记作 A1 、B1 、
C1 ，过点C1 作C1 D  x 轴，垂足为点 D ，点 E 在 y 轴负半轴上，使得以O 、 E 、 B1 为顶点
的三角形与△ A1C1D 相似，
①求点 E 的坐标；（用含 m 的代数式表示）
②如果平移后的抛物线上存在点 F ，使得四边形 A1FEB1 为平行四边形，求 m 的值．
【解答】解：（1）将点 A(1, 0) 、 B(2, 0) 代入 y  ax2  bx  2 ，
4a  2b  2  0
 a  b  2  0，

b  3
解得a  1 ，

 y  x2  3x  2 ；
（2）① y  x2  3x  2  (x  3)2  1 ，
24
平移先后抛物线解析式为 y  (x  3  m)2  1 ，
24
令 x  0 ，则 y  2 ，
C(0, 2) ，
平移后 A1 (1  m, 0) ， B1 、(2  m, 0) ， C1 (m, 2) ，
 C1 D  x 轴，
 D(m, 0) ，
OB1  m  2 ， C1D  2 ， A1 D  1 ， 设 E(0, y) ，
OE   y ，
B1OE  90 ， C1 DA1  90 ，
OB1E  DC1 A1 或OB1 E  C1 A1 D ，
当OB1E  DC1 A1 ，
tan OB E  OE   y
， tan DC A  A1D  1 ，

1 1
1
1B Om  2
  y  1 ，
m  22
C1D2
 y  1  1 m ，
2
 E(0,1  1 m) ；
2
当OB1 E  C1 A1 D ，
  y m  2
 2 ，
 y  4  2m ，
 E(0, 4  2m) ；
综上所述： E 点坐标为(0,1  1 m) 或(0, 4  2m) ；
2
②设 F (x, y) ，
当 E(0,1  1 m) 时，
2
四边形 A1FEB1 为平行四边形，
四边形 A1E 为平行四边形的对角线，
1  m  2  m  x


 y  1  1 m，
2
 x  1，
平移先后抛物线解析式为 y  (x  3  m)2  1 ，
24
 y  ( 5  m)2  1 ，
24
1  1 m  ( 5  m)2  1 ，
224
解得 m  2 （舍) 或 m  7 ，
2
当 m  7 时， y   3 ， F (1,  3) ，
244
 m  7 ；
2
当 E(0, 4  2m) 时，
四边形 A1FEB1 为平行四边形，
四边形 A1E 为平行四边形的对角线，
 y  4  2m
 1  m  2  m  x ，

 x  1，
平移先后抛物线解析式为 y  (x  3  m)2  1 ，
24
 y  ( 5  m)2  1 ，
24
 4  2m  ( 5  m)2  1 ，
24
 m  5 或 m  2 （舍) ；
综上所述： m  7 或 m  5 ．
2