2024-2025学年四川省绵阳市高二上学期期末数学模拟检测试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年四川省绵阳市高二上学期期末数学模拟检测试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若点在圆的外部，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
2．已知椭圆的左、右焦点分别为,，过的直线交于,两点，则的周长为
A．2B．4C．D．
3．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是
A． B．
C．D．
4．点是圆上的一个动点，点，当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程为
A．B．
C．D．
5．已知斜率存在的直线与椭圆交于，两点，且与圆相切于点.若为线段的中点，则直线的斜率为
A．B．C．或D．或
6．在四棱柱中，侧棱 底面，，，，侧面为正方形，设点为四棱锥外接球的球心，为上的动点，则直线与所成角中最小角的正弦值为
A．B．C．D．
7．已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为
A．B．C．D．
8．已知点在抛物线：上，过作圆的两条切线，分别交于，两点，且直线的斜率为，若为的焦点，点为上的动点，点是的准线与坐标轴的交点，则的最大值是
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是
A．不能表示过点且斜率为的直线的方程
B．在轴、轴上的截距分别为,的直线方程为
C．直线与轴的交点到原点的距离为
D．设，，若直线与线段有交点，则的取值范围是
10．如图，在平行六面体中，已知，，E为棱上一点，且，则
A． B．直线与所成角的余弦值为
C． 平面D．直线与平面所成角为
11．已知椭圆和双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，设两曲线在第一象限的交点为为的角平分线，，点均在轴上，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列说法正确的是
A．
B．以椭圆和双曲线四个交点为顶点的四边形的面积的最大值为
C．若，则的取值范围为
D．若，则的最小值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为，点，为上两点，点为弦的中点，且，记双曲线的离心率为，则 .
13．如图，在正四棱柱中，，，点是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为 ，则 的最大值为 .
14．如图，已知点，点为圆上的动点，若圆上存在一点，使得，则的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知圆经过点,，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）若直线与圆交于，两点，求；
（3）过作圆的两条切线，求切线的长.
16．某区为检测各校学生的体质健康状况，依照中小学生《国家学生体质健康标准》进行测试，参加测试的学生统一从学生学籍档案管理库（简称“CIMS系统”）中随机选取.本次测试要求每校派出30人，其中男女学生各15人，参加八个项目的测试.八项测试的平均分为该学生的综合成绩，满分为100分.测试按照分数给学生综合成绩定等级，分数在内为“优秀”，为“良好”，为“及格”，为“不及格”，下表为某学校30名学生本次测试综合成绩的数据：
（1）分别求出该学校男､女生综合成绩的优秀率；
（2）从表中综合成绩等级为“良好”的学生中随机抽取3人进行后续监控，若表示抽取3人中的女生人数，求的分布列及其数学期望；
（3）在（2）的条件下，当这3名学生综合成绩的方差取得最大值时，请直接写出所有符合条件的3名学生的综合成绩.
17．已知椭圆的左、右顶点分别为，，且焦距为2,为椭圆的右焦点，点在椭圆上且异于，两点，且直线与的斜率之积为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作一条斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点(在，之间)，直线与椭圆的另一个交点为，求证：点，关于轴对称.
18．已知圆心在x轴上的圆C与直线切于点．
（1）求圆C的标准方程；
（2）已知点，直线与圆C交于点，两点．
（i）求证：为定值；
（ii）求的最大值．
男生
98
92
92
91
90
90
88
87
87
85
82
79
77
67
57
女生
97
99
96
93
92
91
90
87
85
81
80
77
76
76
48
19．2021年6月17日，神舟十二号载人飞船顺利升空并于6.5小时后与天和核心舱成功对接.如图①所示是神舟十二号飞船推进舱及其推进器的简化示意图，半径相等的圆，，，与圆柱的底面分别相切于点，，，，且圆与，与，与，与分别外切，线段为圆柱的母线.点为线段的中点，点在线段上，且.已知圆柱的底面半径为2，.
（1）求证：平面.
（2）线段上是否存在一点，使得 平面?若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由.
（3）如图②所示是飞船推进舱与即将对接的天和核心舱的相对位置的简化示意图.天和核心舱为底面半径为2的圆柱，它与飞船推进舱共轴，即，，，共线.核心舱体两侧伸展出太阳翼，其中三角形为以为斜边的等腰直角三角形，四边形为矩形.已知推进舱与核心舱的距离为4，即，且，.在对接过程中，核心舱相对于推进舱可能会相对作出逆时针旋转的运动，请你求出在舱体相对距保持不变的情况下，在舱体相对旋转过程中，直线与平面所成角的正弦值的最大值.
答案
1．【正确答案】C
2．【正确答案】D
3．【正确答案】C
4．【正确答案】A
5．【正确答案】C
6．【正确答案】D
7．【正确答案】D
8．【正确答案】A
【详解】由题意可知，过P所作圆的两条切线关于直线对称，所以．
设，，，则，
同理可得，，则，
得，所以，
由，得．
将代入抛物线C的方程：得，解得，
故抛物线C的方程为．
设，作垂直准线于，由抛物线的性质可得，所以，
当最小时，的值最大，所以当直线MN与抛物线C相切时，最大，即最小．
由题意可得，设切线MN的方程为，联立方程组
消去，得，由，可得，
将代入，可得，所以，即M的坐标为，
所以，，所以的最大值为．
9． 【正确答案】AD
10．【正确答案】ABD
11．【正确答案】BCD【详解】对于A，设，
由椭圆和双曲线定义有，
将两式平方得，
相加整理得，
又在中，由余弦定理有，则，即，
则，故A选项错误；
对于B，椭圆和双曲线一个交点，由椭圆和双曲线的对称性可知，
另外三个点的坐标为，，
以它们为顶点的四边形为矩形，面积，又点在椭圆上，
所以满足，则有
当且仅当时等式成立，故B选项正确；
对于C，，即，所以，则，
又，所以，即，
又，所以，，则．
令，则，
函数在上单调递减，所以，故C选项正确；
对于D，由为的角平分线，，易知为的外角平分线，
则由角平分线性质定理有，即，
由外角平分线性质定理有，即，
求的最小值即求的最小值；
由，可得，
代入，即，整理可得，
所以，则
当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D选项正确.
12．【正确答案】13．【正确答案】
14．【正确答案】
【详解】以为邻边，作矩形，则，由矩形性质可得，证明如下：
设，过点分别为⊥，⊥，⊥，垂足分别为，过点作⊥，垂足为，
则，
故，
，
所以，
，
，
所以，
证毕，即，故，
点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
所以，
左边等号成立的条件为三点共线，且在之间，
右边等号成立的条件为三点共线，且在之间，
则的取值范围是
15．【正确答案】见详解
【详解】（1）设圆心坐标为，则，解得，
圆心，半径，所以圆的方程为.
（2）圆心到直线，即的距离，
则.
（3）设两个切点分别为，，，则，即切线长为3.
16．【正确答案】（1）男生综合成绩的优秀率为，女生综合成绩的优秀率为；
（2）分布列见解析；；
（3）88，87，80．
【详解】（1）由表可知，男生成绩优秀的人数为6人，女生成绩优秀的人数为7人，
则该学校男生综合成绩的优秀率为，女生综合成绩的优秀率为；（2）表中成绩良好的男生5人，女生4人，共9人，
从中随机抽取3人，女生人数为0，1，2，3．
则，，，．
的分布列为：
；
（3）3名学生的综合成绩为88，87，80．
17．【正确答案】见详解
【详解】（1）由题意有，，设，
则，化简得，结合，可得，
由椭圆焦距为2，得,所以，所以，，
则椭圆的标准方程为.
（2）显然直线的斜率不存在时，与椭圆无交点，
根据椭圆的对称性，欲证点，关于轴对称，只需证，即证.
设，，直线的方程为，.
由消去得：，
，解得，
所以，,
则.
因为，所以，即点，关于轴对称.
18．【正确答案】（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）26.
【详解】（1）证明：圆C与直线l相切于点M，则，即，
直线CM与x轴交于点半径，
因此圆C的标准方程为：；
（2）（i）联立直线与圆C：，整理得：
由韦达定理得：，，因此；
0
1
2
3



（2）（ii），
当时，取到最大值26．
19．【正确答案】见详解
【详解】（1）如图，是从题图①中抽出的部分图形，连接，取中点，又是的中点，则且，所以四边形是平行四边形，所以.
又，，所以，又，所以，所以，又 平面， 平面，所以平面.
（2）以为原点，分别以，，所在方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系如图.
则，，，，设，所以，，，若 平面，
则 得，解得，即时， 平面.
（3）在（2）的坐标系下，将矩形作为参照物，不妨设顺时针旋转，则，即，，所以.
因为轴与平面垂直，所以平面的一个法向量为.
设与平面所成的角为 ，则,，
若，则；
若，令，则，
则，
当且仅当，即，即时， 取得最大值.