2024-2025学年上学期初中数学华东师大版（2024）七年级期末必刷常考题之相交线练习

这是一份2024-2025学年上学期初中数学华东师大版（2024）七年级期末必刷常考题之相交线练习，共18页。

A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
2．（2024秋•市南区校级期中）数学源于生活，用于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界，例如，体育课上老师测量跳远成绩时，测量线段AB的长度即可．这样做的数学道理是（ ）
A．垂线段最短
B．两条直线相交只有一个交点
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．两点确定一条直线
3．（2024春•舒城县期末）平面上画三条直线，交点的个数最多有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
4．（2024春•南沙区期末）如图，已知直线AB与直线CD相交于点O，下列条件中不能说明AB⊥CD的是（ ）
A．∠AOC＝90°B．∠AOC＝∠BOC
C．∠AOC＝∠BODD．∠AOC+∠BOD＝180°
5．（2024春•端州区校级期中）如图，在三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝7，点M在BC边上（不与B，C两点重合），连接AM，则AM的长不可能是（ ）
A．6B．5.5C．4.5D．3
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•南岗区校级期中）已知一个角是133°，则这个角的邻补角是 °．
7．（2024秋•深圳期中）如图所示，在△ABC中，AB：BC：AC＝3：4：5，且周长为36m，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1m的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2m的速度移动（Q运动到点C停止），如果同时出发，则经过7秒时，点B到PQ的距离为 ．
8．（2024秋•柳南区校级期中）如图，在E中，C，AD平分∠CAB，CD＝5cm，那么D点到直线AB的距离是 cm．
9．（2024春•铜梁区校级期中）如图，直线a，b，c交于点O，∠1＝32°，∠2＝48°，则∠3＝ ．
10．（2024春•青秀区校级期末）如图，要在河岸l上建一个水泵房D，修建引水渠到村庄C处．施工人员的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样修建引水渠CD最短，既省人力又省物力，这样做蕴含的数学原理是 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2024春•端州区校级期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O．
（1）若∠1＝∠2，求证：ON⊥CD；
（2）若∠BOC＝4∠1，求∠AOC，∠MOD的度数．
12．（2024春•宁江区校级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O．
（1）直接写出∠AOC的对顶角和邻补角；
（2）若∠AOC：∠COE＝3：1，则∠COB的度数为 ．
13．（2024春•二道区期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AE⊥BC于点E，AE交BD于点F．若∠ABC＝50°，求∠AFB的度数．
14．（2023秋•梁溪区期末）如图，直线AB与CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD．
（1）图中与∠AOF互余的角是 ；与∠COE互补的角是 ．（把符合条件的角都写出来）
（2）如果∠AOC=14∠EOF，求∠AOC的度数．
15．（2024春•榆阳区期末）如图，直线AB、CD交于点O，∠AOC＝120°，射线OE将∠BOC分成两个角，∠BOE＝2∠COE．
（1）求∠COE的度数；
（2）若OF⊥OE，且射线OF在∠AOC内部，求∠DOF的度数．
2024-2025学年上学期初中数学华东师大版（2024）七年级期末必刷常考题之相交线
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋•清镇市期中）如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，MC⊥l，若MA＝5cm，MB＝4cm，MC＝2cm，MD＝3cm，则点M到直线l的距离是（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
【考点】点到直线的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】A
【分析】根据垂线的性质：直线外一点到这条直线的垂线段最短，结合条件进行解答即可．
【解答】解：如图所示：
∵直线外一点到这条直线的垂线段最短，MC⊥l，
∴点M到直线l的距离是垂线段MC的长度，为2cm，
故选：A．
【点评】本题主要考查了点到直线的距离，解题关键是熟练掌握点到直线的距离的定义和垂线的性质．
2．（2024秋•市南区校级期中）数学源于生活，用于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界，例如，体育课上老师测量跳远成绩时，测量线段AB的长度即可．这样做的数学道理是（ ）
A．垂线段最短
B．两条直线相交只有一个交点
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．两点确定一条直线
【考点】垂线段最短；直线的性质：两点确定一条直线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】A
【分析】根据垂线段最短作答即可．
【解答】解：体育课上老师测量跳远成绩时，测量线段AB的长度即可．这样做的数学道理是垂线段最短．
故选：A．
【点评】本题考查了垂线段最短的性质在实际生活中的应用．熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
3．（2024春•舒城县期末）平面上画三条直线，交点的个数最多有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
【考点】相交线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】A
【分析】根据相交线的性质可得答案．
【解答】解：平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点，
故选：A．
【点评】本题考查相交线，理解平面内两条直线相交只有一个交点，三条直线两两相交最多有3个交点是正确判断的前提．
4．（2024春•南沙区期末）如图，已知直线AB与直线CD相交于点O，下列条件中不能说明AB⊥CD的是（ ）
A．∠AOC＝90°B．∠AOC＝∠BOC
C．∠AOC＝∠BODD．∠AOC+∠BOD＝180°
【考点】垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】C
【分析】根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可．
【解答】解：A、∠AOD＝90°可以判定两直线垂直，故此选项不符合题意；
B、∠AOC和∠BOC是邻补角，邻补角的和是180°，所以可以得到∠COB＝90°，能判定垂直，故此选项不符合题意；
C、∠AOC＝∠BOD是对顶角，对顶角相等，不能判定垂直，故此选项符合题意；
D、∠AOC和∠BOD是对顶角，对顶角相等，和又是180°，所以可得到∠AOC＝90°，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了垂线，解答本题的关键是通过条件计算出其中一个角为90°．
5．（2024春•端州区校级期中）如图，在三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝7，点M在BC边上（不与B，C两点重合），连接AM，则AM的长不可能是（ ）
A．6B．5.5C．4.5D．3
【考点】垂线段最短．
【专题】运算能力．
【答案】D
【分析】根据垂线段最短，得到AM的取值范围，进行判断即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，AB＝7，
∴AC＜AM＜AB，
∴4＜AM＜7；
∴AM的长不可能是3；
故选：D．
【点评】本题考查垂线段最短，掌握垂线段最短是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•南岗区校级期中）已知一个角是133°，则这个角的邻补角是 47 °．
【考点】对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】47．
【分析】根据互为邻补角的两个角的度数之和为180度进行求解即可．
【解答】解：∵一个角是133°，
∴根据邻补角的定义得，180°﹣133°＝47°，
即这个角的邻补角是47°，
故答案为：47．
【点评】本题主要考查了对顶角、邻补角，关键是邻补角定义的熟练掌握．
7．（2024秋•深圳期中）如图所示，在△ABC中，AB：BC：AC＝3：4：5，且周长为36m，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1m的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2m的速度移动（Q运动到点C停止），如果同时出发，则经过7秒时，点B到PQ的距离为 123737m ．
【考点】点到直线的距离．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】123737m．
【分析】分别计算AB、BC、AC的长度，由勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形；分别计算经过7秒时点P、Q的位置并画图；由勾股定理求出PQ，根据三角形的面积公式计算点B到PQ的距离即可．
【解答】解：AB=33+4+5×36＝9（m），BC=43+4+5×36＝12（m），AC=53+4+5×36＝15（m），
∵AB2+BC2＝92+122＝225，AC2＝152＝225，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°．
7×1＝7（m），
∴经过7秒时，点P在AB上且位于点A右侧7m处；
7×2＝14（m），
∵14＞12，
∴经过7秒时，点Q停在点C处．
点P、Q的位置如图所示：
连接PQ，过点B作BP＝AB﹣AP＝9﹣7＝2（m），BQ＝BC＝12m，
在Rt△PBQ中利用勾股定理，得PQ=BP2+BQ2=237m，
∵SRt△PBQ=12BP•BQ=12PQ•BD，
∴BD=BP⋅BQPQ=2×12237=123737（m）．
故答案为：123737m．
【点评】本题考查点直线的距离，掌握勾股定理及其逆定理、三角形面积公式是解题的关键．
8．（2024秋•柳南区校级期中）如图，在E中，C，AD平分∠CAB，CD＝5cm，那么D点到直线AB的距离是 5 cm．
【考点】点到直线的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】5．
【分析】根据角平分线的性质直接回答即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝5cm，
∴点D到直线AB的距离等于CD的长，
即点D到直线AB的距离是5cm，
故答案为：5．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，牢记角平分线的性质是解答本题的关键，难度不大．
9．（2024春•铜梁区校级期中）如图，直线a，b，c交于点O，∠1＝32°，∠2＝48°，则∠3＝ 100° ．
【考点】对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】100°．
【分析】先根据平角的定义求出∠4的度数，再根据对顶角相等即可求出∠3的度数．
【解答】解：∵∠1＝32°，∠2＝48°，
∴∠4＝180°﹣∠1﹣∠2＝100°，
∴∠3＝∠4＝100°，
故答案为：100°．
【点评】本题主要考查了平角的定义，对顶角，根据平角的定义求出∠4的度数是解题的关键．
10．（2024春•青秀区校级期末）如图，要在河岸l上建一个水泵房D，修建引水渠到村庄C处．施工人员的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样修建引水渠CD最短，既省人力又省物力，这样做蕴含的数学原理是 垂线段最短 ．
【考点】垂线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据垂线段的性质解答即可．
【解答】解：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短；
【点评】本题考查了垂线段的定义和性质．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决实际问题．
三．解答题（共5小题）
11．（2024春•端州区校级期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O．
（1）若∠1＝∠2，求证：ON⊥CD；
（2）若∠BOC＝4∠1，求∠AOC，∠MOD的度数．
【考点】垂线；对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】（1）见详解；（2）∠AOC的度数为60°，∠MOD的度数为150°．
【分析】（1）根据垂直定义可得，∠AOC+∠1＝90°，结合已知∠1＝∠2可得∠CON＝90°，再根据∠CON与∠NOD互补，即可解答；
（2）根据∠AOM＝90°，可得∠AOC＝90°﹣∠1，再根据∠AOD+∠AOC＝180°，∠AOD＝4∠1，从而求出∠1的度数，即可求出∠AOC和∠MOD的度数．
【解答】（1）证明：∵OM⊥AB，
∴∠AOM＝90°，
∴∠AOC+∠1＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠AOC+∠2＝90°，即∠NOC＝90°，
∴∠NOD＝180°﹣∠NOC＝90°．
∴∠NOD的度数为90°；
∴ON⊥CD
（2）解：∵OM⊥AB，
∴∠BOM＝90°，
∵∠BOC＝4∠1，
∴∠BOM+∠1＝4∠1，即90°+∠1＝4∠1，
解得∠1＝30°，
∴∠AOC＝90°﹣30°＝60°，∠MOD＝180°﹣∠1＝150°．
∴∠AOC的度数为60°，∠MOD的度数为150°．
【点评】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
12．（2024春•宁江区校级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O．
（1）直接写出∠AOC的对顶角和邻补角；
（2）若∠AOC：∠COE＝3：1，则∠COB的度数为 112.5° ．
【考点】垂线；对顶角、邻补角．
【专题】运算能力．
【答案】（1）对顶角∠BOD；邻补角∠BOC、∠AOD；
（2）112.5°．
【分析】（1）根据对顶角、邻补角的定义，即可解答；
（2）根据垂直定义可得∠AOE＝90°，从而求出∠AOC，利用邻补角进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∠AOC的对顶角是∠BOD，∠AOC的邻补角是∠BOC和∠AOD；
（2）∵EO⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∵∠AOC：∠COE＝3：1，
∴∠AOC=34∠AOE=34×90°=67.5°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝112.5°．
故答案为：112.5°
【点评】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
13．（2024春•二道区期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AE⊥BC于点E，AE交BD于点F．若∠ABC＝50°，求∠AFB的度数．
【考点】垂线．
【专题】推理能力．
【答案】115°．
【分析】根据题意易得∠CBD＝25°，∠AEB＝90°，然后根据三角形内角和定理即可解决问题．
【解答】解：∵BD 平分∠ABC，∠ABC＝50°，
∴∠CBD=12∠ABC=25°，
∵AE⊥BC，
∴∠BEF＝90°，
∴∠EFB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠AFB＝180°﹣65°＝115°．
【点评】本题主要考查了角平分线、垂线以及三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键．
14．（2023秋•梁溪区期末）如图，直线AB与CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD．
（1）图中与∠AOF互余的角是 ∠AOC、∠BOD ；与∠COE互补的角是 ∠EOD、∠BOF ．（把符合条件的角都写出来）
（2）如果∠AOC=14∠EOF，求∠AOC的度数．
【考点】对顶角、邻补角；垂线；角的计算；余角和补角．
【专题】常规题型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据互为余角的和等于90°，结合图形找出即可，再根据对顶角相等找出相等的角；根据互为补角的和等于180°，结合图形找出，然后根据对顶角相等找出相等的角；
（2）设∠AOC＝x，则∠EOF＝4x，根据对顶角相等可得∠BOD＝x，然后利用周角等于360°列式进行计算即可求解．
【解答】解：（1）图中与∠AOF互余的角是∠AOC、∠BOD；
图中与∠COE互补的角是∠EOD、∠BOF；
（2）∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴∠EOB＝90°，∠FOD＝90°，
∵∠AOC=14∠EOF，
∴设∠AOC＝x，则∠BOD＝x，∠EOF＝4x，
4x+x+90°+90°＝360°，
解得x＝36°，
∴∠AOC＝36°．
【点评】本题考查了余角与补角的概念，角的计算，需要注意根据对顶角相等的性质找出相等的角，避免漏解而导致出错．
15．（2024春•榆阳区期末）如图，直线AB、CD交于点O，∠AOC＝120°，射线OE将∠BOC分成两个角，∠BOE＝2∠COE．
（1）求∠COE的度数；
（2）若OF⊥OE，且射线OF在∠AOC内部，求∠DOF的度数．
【考点】垂线；对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】（1）∠COE＝20°；
（2）∠DOF＝110°．
【分析】（1）根据∠AOC＝120°，得出∠BOC＝180°﹣∠AOC＝60°，根据∠BOE＝2∠COE，∠BOE+∠COE＝60°，求出∠COE＝20°即可；
（2）根据垂线定义得出∠EOF＝90°，求出∠COF＝90°﹣∠COE＝70°，根据邻补角求出∠DOF＝180°﹣∠COF＝110°．
【解答】解：（1）因为∠AOC＝120°，
所以∠BOC＝180°﹣∠AOC＝60°，
因为∠BOE＝2∠COE，∠BOE+∠COE＝60°，
所以2∠COE+∠COE＝60°，
所以∠COE＝20°．
（2）因为OE⊥OF，
所以∠EOF＝90°，
所以∠COF＝90°﹣∠COE＝70°，
所以∠DOF＝180°﹣∠COF＝110°．
【点评】本题主要考查了垂线定义，邻补角定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握角度间的关系．
考点卡片
1．直线的性质：两点确定一条直线
（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．
简称：两点确定一条直线．
（2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．
2．角的计算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC=13∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
3．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
4．相交线
（1）相交线的定义
两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．
（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
5．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
6．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
7．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
8．点到直线的距离
（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．