山东省九市联考2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题-A4

这是一份山东省九市联考2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题-A4，共15页。试卷主要包含了12，25）．，7米．，5m等内容，欢迎下载使用。
（总分120分 考试时间120分钟）
2024.12
注意事项：
1．答卷前务必将你的姓名、座号和准考证号按要求填写在试卷和答题卡上的相应位置。
2．本试题不分Ⅰ、Ⅱ卷，所有答案都写在答题卡上，不要直接在本试卷上答题。
3．必须用0.5毫米黑色签字笔书写在对应的答题卡区域，不得超出规定范围。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1．二次函数的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．若是关于的一元二次方程的解，则代数式的值为（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
3．化学实验中常使用的酒精是由纯度为的乙醇溶于水所制得的．如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四瓶酒精的浓度与酒精的质量的情况，其中乙、丁两点恰好在同一反比例函数的图象上，已知酒精的浓度，则这四瓶酒精中含乙醇质量最多的是（ ）．
A．甲B．乙C．丙D．丁
4．某校九年级在复习四边形时，该校老师为了考查本校学生的灵活应用能力，给出下面的规定：对于一个矩形，如果存在一个新矩形，新矩形的面积和周长分别是已知矩形面积和周长的4倍，则称这个新矩形是原矩形的“伴手矩形”．当已知矩形的长和宽分别为4cm和2cm时，设其“伴手矩形”的一边长为，则根据题意列出的方程是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图1所示是一些商场出售的女士高跟鞋，图2是某鞋厂刚设计的新款高跟鞋的剖面图，其中的一部分可抽象为线段．已知部分鞋底的坡比接近，为米，则铅垂高度约为（ ）米．
A．B．C．D．
6．定义：圆心在原点，半径为1的圆称为单位圆．如图，如图，已知点为第一象限内单位圆上的点，则等于（ ）
A．B．C．D．
7．如图1所示，小明发现乒乓球正上方的灯泡发出的光线照射乒乓球后，在地面上形成圆形的影子，它的简化示意图（如图2所示，点表示灯泡）．已知乒乓球的直径为，如果乒乓球的球心距离地面（即），若灯泡距离地面（即），则地面上阴影部分的面积（即的面积）为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，物理实验室有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从处测得两点的俯角分别为和，这时点相对于点升高了．该摆绳的长度为（ ）．
A．B．C．D．
9．如图1所示，石磙是古代劳动人民的一种碾压工具，其截面如图2所示，已知，则石磙横截面圆的半径长是（ ）
A．4B．5C．6D．8
10．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．已知：，则锐角的度数为______．
12．如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则______．
13．已知点都在反比例函数的图象上．如果，且，则的大小关系是______．
14．某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器消耗的电功率随电流变化的关系图象如图所示，该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，当电流为时，变阻器消耗的电功率为______．
15．中国古人发明利用物体的影子确定四季的工具－－土圭，具体方法是在平台中央竖立一根杆子尺，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第二时刻的影长为24尺，则第一时刻的影长为______尺．
16．如图所示，是的弦，是的直径，且，则阴影部分图形的面积为______．
三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程演算步骤．
17．（本题每小题5分，共10分）
（1）解一元二次方程：．
（2）如图所示，某市有一天桥高为5米，是通向天桥的斜坡，，为了便于行走，市城建局启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端延伸到处，使，试求的长度约为多少米？（保留一位小数，参考数据：）
18．（本小题满分9分）如图所示是渔民骑坐“木海马”在滩涂上赶海，这一工具大大提高了渔民赶海时的效率．“木海马”对地面的压强是“木海马”底面面积的反比例函数，其图象如图．
（1）请求出这一函数解析式（标出自变量的取值范围）；
（2）当“木海马”底面面积为时，压强是多少；
（3）如果要求压强不超过，那么“木海马”底面面积至少要多少．
19．（本小题满分9分）“远远的街灯明了，好像闪着无数的明星。天上的明星现了，好像是点着无数的街灯”家住济宁的小华，夜晚听着郭沫若的诗句在街上散步，发现自己由路灯走向路灯的过程中，当她行到点时，她在路灯下的影长为1.5米，且恰好位于路灯的正下方，接着他又走了5米到处，恰好她在路灯下的影子位于路灯的正下方（已知小华身高1.6米，路灯高8米）
（1）计算小华站在处在路灯下的影长；
（2）计算路灯的高度．
20．（本小题满分10分）在现代汽车成为人们出门的代步工具之一，汽车的心脏是发动机，如图1所示是发动机的一种动力传输工具，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图2是它的示意图，图3是其简化图，已知，点在中轴线上运动，点在以为圆心，长为半径的圆上运动，且．当与相切时，求点到最短距离
21．（本小题满分10分）青岛啤酒以历史悠久，品牌口碑好，质量稳定而闻名．某电商从2022年开始销售青岛啤酒，当年销售额为200万元，到2024年青岛啤酒的销售额达到450万元．
（1）求该电商这两年青岛啤酒销售额的平均年增长率；
（2）该电商市场调查发现，当某种青岛啤酒的售价为60元/箱时，每天能售出200箱，售价每降价3元，每天可多售出120箱．为了推广宣传，该电商决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该电商青岛啤酒的平均成本价为50元/箱，若每天获利2160元，则售价应为多少元？
22．（本小题满分12分）《西游记》中的孙悟空对花果山的体制进行全面改革后，为了改善旅游环境，决定对水帘洞改造翻新，于是在花果山上征集改造方案，猴子猴孙们踊跃参加，下面是其中一个方案：
改造1：图1中水帘洞下面挖空变成一座拱桥，图2是其抛物线形或圆弧形桥拱的示意图，预计挖空后平时水面宽，拱顶离水面．据推算，该河段水位在此基础上再涨达到最高．
改造2：为吸引游客，增加喜庆气氛，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1．6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决：
问题1：确定桥拱形状是圆弧：在图2中用适当方法求圆弧所在圆的半径长
问题2：拟定通行方案：在问题1的基础上，该河段水位涨1.8m达到最高时，有一艘货船它漏出水面高2.2米，船体宽9米需要从拱桥下通过，通过计算判断是否能顺利通行．
（注：）
问题3：确定桥拱形状是抛物线：在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
问题4：拟定设计方案：在问题3的基础上，给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
23．（本小题满分12分）【实践课题】南海是我国的固有领土，近年来由于海运量增大，对珊瑚礁的破坏严重，为了保护某珊瑚礁，我国某科考队在南海画出了一个海洋保护区，在航海图上标明了三个观测点的坐标，请你帮助科考队完成任务．
【实践工具】中国南海地图，直尺，铅笔等工具．
【实践活动】该班甲小组在地图上确定三观测点，建立平面直角坐标系，如图1所示，、、，由这三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区．
【问题解决】若在观测点测得一艘渔船的位置为，试问该渔船是否已进入海洋生物保护区？
【交流研讨】甲小组问题解决后，乙小组提出了另一种方案：如图1所示，在甲小组确定的，三个观测点的基础上，再连接，比较和的大小，来确定在的内部还是外部，请你利用乙组的方法确定当渔船的位置为时，试问该渔船是否已进入海洋生物保护区？（注：当时，点在内部，当时，点在外部，当时，点在上）（注：时，角随正弦值的增大而增大，）
2024－2025学年山东省九年级12月联考
数学试题（青岛版）
（总分120分 考试时间120分钟）
2024.12
参考答案及评分标准
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1．D 解析：由题意，二次函数为，其顶点为．故选：D．
2．C 解析：把代入得：，把代入得：，故选C．
3．A 解析：根据题意，可知的值即为乙醇质量，
描述乙、丁两瓶情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，乙、丁两瓶乙醇质量相同．
点甲在反比例函数图象上面，点丙在反比例函数图象下面，
甲瓶的的值最大，即乙醇质量最多，丙瓶的的值最小，即乙醇质量最少，故答案为：A．
4．B 解析：已知矩形的长和宽分别为4cm和2cm，其“伴手矩形”的一边长为，
该边的邻边为．
根据题意得：．故选：B．
5．B 解：由题意得：，斜坡的坡比接近，，
设米，则米，
在中，（米），
米，，解得：，米，故选：B．
6．A 解析：如图，过点作轴于点，
则、，，，故选：A．
7．B 解析：如图2所示，由图形知道，
，而，，
，，，
即地面上阴影部分的面积为．故选：B．
8．C 解析：过点作于，过作于，
设摆绳的长度为．则．
由题意知：，
在中，，，
在中，，．
，，解得：，
即摆绳的长度为．故答案为：C．
9．B 解析：设圆心为，过点作于点，交于点，连接，
四边形是矩形，，
四边形是矩形，，
设，则，，
在中，
即： 解得：，故选：B．
10．C 解析：①由图象知，二次函数开口向上，则，故①正确：
②由函数图象得：，对称轴为直线，，，故②正确：
③根据题意可知：图象与轴交于另一点，，故③不正确：
④当时，函数有最小值为，
，，故④不正确：
⑤拋物线与轴有两个不相同的交点，一元二次方程，
，⑤正确．故选：C．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．．
解析：，，
锐角的度数为．故答案为：．
12．12．
解析：，，
，故答案为：12．
13．．
解析：反比例函数的，
反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，
，点分布在不同一支图象上，
，在第一象限，在第三象限，．故答案为：．
14． （或96.25）．
解析：由图象是经过原点的一条抛物线的一部分，设抛物线解析式为，
把代入得：，解得，
抛物线解析式为，
当时，（或96.25），
变阻器消耗的电功率为（或96.25）：故答案为：（或96.25）．
15．1.5
解：，
，，，
根据题意得：尺，尺，（尺），
第一时刻的影长为1.5尺：故答案为：1.5．
16．．
解析：如图，假设线段、交于点，
是的弦，是的直径，且，
，又，，
和都对着
，，
，，
，
．
故答案为：．
三、解答题：本题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程演算步骤．
17．（1）解：，，
或，．
（2）解：在中，米，，则米，
在中，米，，
则（米），则（米），
答：的长度约为3.7米．
18．解：（1）设反比例函数的解析式为，点在反比例函数图象上，
将点代入解析式中得：，解得，
．故答案为：．
（2）当时，，即压强是．压强是；
（3）由题意知，，，即“木海马”底面面积至少要有．
19．解：（1）由题意得，
，，解得：米：
（2），，
，解得：米．答：路灯的高度为12米．
20．解：如图所示，连接，则，
与相切于点，，，
，，
，点到圆最短距离为．
21．（1）解：设该电商这两年青岛啤酒销售额的平均年增长率，
某电商从2022年开始销售青岛啤酒，当年销售额为200万元，到2024年青岛啤酒的销售额达到450万元．
，解得：或（舍去），，
答：该电商这两年青岛啤酒销售额的平均年增长率为：
（2）解：设售价应降低元，则每天可售出箱，
当某种青岛啤酒的售价为60元/箱时，每天能售出200箱，售价每降价3元，每天可多售出120箱．
，整理，得：，
解得：或，要尽量减少库存，，（元），
答：售价应为56元．
22．解：（说明：本题因建立直角坐标系不同，抛物线的函数表达式会不同．请老师酌情给分．）
问题1：
设桥拱圆弧所在圆的圆心为，拱顶为，连接，设交于，如图：
由为拱顶和圆的对称性可知，，
设半径为，，
，解得，圆弧所在圆的半径长为12.5m：
问题2：
如图：
根据题意可知，，
由问题1可知，，
，，
，，
，能顺利通行．
问题3：
以拱顶为原点，建立如图2所示的直角坐标系，则顶点为，且过点，
设抛物线的解析式为：，
把点代入得：，，
抛物线的函数表达式为：：
问题4：
该河段水位再涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面不小于1m，灯笼长0.4m，
当悬挂点的纵坐标，
即悬挂点的纵坐标的最小值是，
当时，，，
悬挂点的横坐标的取值范围是：：
说明：以下两种方案答出一种即可得满分。
方案一：如图3（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼，
，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m，
若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，，
若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，，顶点一侧最多悬挂3盏灯笼，
灯笼挂满后成轴对称分布，共可挂7盏灯笼，
最左边一盏灯笼的横坐标为：：
方案二：从距顶点处开始挂灯笼，如图4，
若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，，
若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，，
顶点一侧最多悬挂4盏灯笼，
灯笼挂满后成轴对称分布，共可挂8盏灯笼，
最左边一盏灯笼的横坐标为：：
23．解：【问题解决】
如图2，连接，因为．所以．
连接，则为直径，设的中点．
过作，交于点，并延长交圆于点，
过作交于点，连接，
因为为，为，所以，而，
在中，由勾股定理可求得，
即，所以点在内，所以该渔船已进入海洋生物保护区．
【交流研讨】解：过点作轴于点，过点作于点，
在中，，
，
在中，，
，
，，
在中，，
，，由正弦的增减性可以知道，
点在外部，因为点在外，所以该渔船没有进入海洋生物保护区．