2024-2025学年九年级上学期数学期末模拟试题（人教版）

这是一份2024-2025学年九年级上学期数学期末模拟试题（人教版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(每题3分，共30分)
1．[2024天津和平区期末]下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
2．[2023云南]如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点．若∠BOC＝66°，则∠CAB＝( )
A．66° B．33° C．24° D．30°
(第2题) (第5题) (第9题)
3．在一个不透明的袋子中装有3个红球、1个黄球、1个白球，这些球只有颜色不同．下列事件中，属于必然事件的是( )
A．从袋子中摸出一个球，球的颜色是红色
B．从袋子中摸出两个球，它们的颜色相同
C．从袋子中摸出三个球，有颜色相同的球
D．从袋子中摸出四个球，有颜色相同的球
4．[2023甘孜州]下列关于二次函数y＝(x－2)2－3的说法正确的是( )
A．图象是一条开口向下的抛物线
B．图象与x轴没有交点
C．当x＜2时，y随x增大而增大
D．图象的顶点坐标是(2，－3)
5．[2023沈阳]如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上两点，且满足∠ADC＝120°，AB＝12，则eq \(BC,\s\up8(︵))的长为( )
A．π B．2π C．4π D．6π
6．《九章算术》“勾股”章有一道题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少(1丈＝10尺，1尺＝10寸)？若设门的宽为x寸，则所列方程符合题意的是( )
A．x2＋(x＋68)2＝1002 B．x2＋(x＋68)2＝12
C．x2＋12＝(x＋68)2 D．x2＋1002＝(x＋68)2
7．有一首《对子歌》中唱到：天对地，雨对风，大陆对长空．现将“天、雨、大、空”四个字分别书写在材质、大小完全相同的卡片上，在暗箱搅匀后，随机抽取两张，恰为“天”“空”二字的概率为( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,4) C．eq \f(1,5) D．eq \f(1,6)
8．等腰三角形边长分别为 a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为( )
A．9 B．10 C．9或10 D．8或10
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2．点D在BC上，且BD∶CD＝1∶3．连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，连接BE，DE．则△BDE的面积是( )
A．eq \f(1,4) B．eq \f(3,8) C．eq \f(3,4) D．eq \f(3,2)
10．[2023雅安]如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－2，0)，B两点，对称轴是直线x＝2，下列结论中，①a＞0；②点B的坐标为(6，0)；③c＝3b；④对于任意实数m，都有4a＋2b≥am2＋bm，所有正确结论的序号为( )
A．①② B．②③ C．②③④ D．③④

(第10题) (第12题) (第15题) (第16题)
二、填空题(每题3分，共18分)
11．[2023开封期中]已知点A(a，eq \r(3))与B(－2 eq \r(3)，b)关于原点对称，则a＋b＝________．
12．如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂灰，再将图中剩余的编号1－5的小正方形中任意一个涂灰，则3个被涂灰的正方形组成的图案是一个轴对称图形的概率是________．
13．[2023齐齐哈尔]若圆锥底面半径长2 cm，母线长3 cm，则该圆锥的侧面积为________cm2．(结果保留π)
14．[2023达州]已知x1，x2是方程2x2＋kx－2＝0的两个实数根，且(x1－2)(x2－2)＝10，则k的值为________．
15．[2023徐州]如图，在⊙O中，直径AB与弦CD交于点E，eq \(AC,\s\up8(︵))＝2eq \(BD,\s\up8(︵))，连接AD，过点B的切线与AD的延长线交于点F．若∠AFB＝68°，则∠DEB的度数为________．
16．距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h(米)与物体运动的时间t(秒)之间满足函数关系h＝－5t2＋mt＋n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”(即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差)，则当0≤t≤1时，w的取值范围是________；当2≤t≤3时，w的取值范围是________．
三、解答题(共72分)
17．(6分)选择适当的方法解下列方程：
(1)x2－2x－143＝0； (2)5x＋2＝3x2．
18．(8分)[2023达州改编]如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在小正方形的格点上．
(1)将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
(2)在(1)的运动过程中请计算出△ABC扫过的面积．
19．(10分)[2024泉州期中]已知关于x的一元二次方程(a－5)x2－4x－1＝0．
(1)若该方程有实数根，请求出a的取值范围；
(2)若此方程有一个根为－1，求方程的另一个根及a的值．
20．(10分) [2023鞍山]二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“A．惊蛰”“B．夏至”“C．白露”“D．霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗．
(1)小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是________；
(2)小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表法或画树状图法，求两人都没有抽到“B．夏至”的概率．
21．(12分)[2023十堰]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的半圆分别交AC，BC，AB于点D，E，F，且点E是eq \(DF,\s\up8(︵))的中点．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若CE＝eq \r(2)，求图中阴影部分的面积(结果保留π)．
22．(12分)[2023泰州]某公司的化工产品成本为30元/千克．销售部门规定：一次性销售1 000千克以内时，以50元/千克的价格销售；一次性销售不低于1 000千克时，每增加1千克降价0. 01元/千克．考虑到降价对利润的影响，一次性销售不低于1 750千克时，均以某一固定价格销售．一次性销售利润y(元)与一次性销售量x(千克)的函数关系如图所示．
(1)当一次性销售800千克时利润为多少元？
(2)求一次性销售量在1 000～1 750 kg之间时的最大利润；
(3)当一次性销售多少千克时利润为22 100元？
23．(14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2＋(2k－1)x＋k＋1的图象与x轴相交于O，A两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；
(3)对于(2)中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB＝90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．
答案
一、1．B 2．B 3．D 4．D 5．B 6．A 7．D
8．B【点拨】∵三角形是等腰三角形，∴a＝2或b＝2，或a＝b．①当a＝2或b＝2时，∵a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，∴x＝2．把x＝2代入x2－6x＋n－1＝0，得22－6×2＋n－1＝0，解得n＝9．当n＝9时，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故n＝9不符合题意；②当a＝b时，方程x2－6x＋n－1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(－6)2－4(n－1)＝0，解得n＝10．此时方程的两根均是3，而2，3，3能组成三角形，故n＝10符合题意．故选B．
9．B【点拨】∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝45°，∠BAD＋∠CAD＝90°．
由旋转得AD＝AE，∠BAD＋∠BAE＝∠DAE＝90°，
∴∠CAD＝∠BAE．
在△ADC和△AEB中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AD＝AE，,∠CAD＝∠BAE，,AC＝AB，))
∴△ADC≌△AEB，∴BE＝CD，∠ABE＝∠C＝45°．
∴∠EBD＝∠ABE＋∠ABC＝90°．
∵BC＝2，BD：CD＝1：3，
∴BD＝2×eq \f(1,4)＝eq \f(1,2)，BE＝CD＝2×eq \f(3,4)＝eq \f(3,2)，
∴△BDE的面积是eq \f(1,2)BD·BE＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(3,2)＝eq \f(3,8)．
10．C 【点拨】∵抛物线开口向下，∴a＜0，故①错误；
设点B的坐标为B(x2，0)，
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，点A的坐标为(－2，0),
∴eq \f(－2＋x2,2)＝2，解得x2＝6，
∴点B的坐标为(6，0)，故②正确；
∵点A的坐标为(－2，0)，点B的坐标为(6，0)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a－2b＋c＝0，①,36a＋6b＋c＝0，②))
②－①×9，得24b－8c＝0，∴c＝3b，故③正确；
∵a＜0，抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴当x＝2时，二次函数取得最大值，此时y＝4a＋2b＋c，
当x＝m时，y＝am2＋bm＋c，
∴4a＋2b＋c≥am2＋bm＋c，即4a＋2b≥am2＋bm，故④正确．综上所述，正确的结论有②③④．
二、11．eq \r(3) 12．eq \f(4,5) 13．6π 14．7
15．66°【点拨】连接OC，OD，
∵BF是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴OB⊥BF，∴∠ABF＝90°．
∵∠AFB＝68°，∴∠BAF＝90°－∠AFB＝22°，
∴∠BOD＝2∠BAF＝44°．
∵eq \(AC,\s\up8(︵))＝2eq \(BD,\s\up8(︵))，∴∠COA＝2∠BOD＝88°，
∴∠CDA＝eq \f(1,2)∠COA＝44°．
∵∠DEB是△AED的一个外角，
∴∠DEB＝∠BAF＋∠CDA＝22°＋44°＝66°．
16．0≤w≤5；5≤w≤20【点拨】∵物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒，∴抛物线h＝－5t2＋mt＋n的顶点的纵坐标为20，且经过点(3，0)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(4×（－5）n－m2,4×（－5）)＝20，,－5×32＋3m＋n＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m1＝10，,n1＝15，))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2＝50，,n2＝－105，))(不合题意，舍去)，
∴抛物线的解析式为h＝－5t2＋10t＋15．
当t＝0时，h＝15．
∵h＝－5t2＋10t＋15＝－5(t－1)2＋20，
∴抛物线的最高点的坐标为(1，20)．
∵20－15＝5，
∴当0≤t≤1时，w的取值范围是0≤w≤5；
当t＝2时，h＝15，当t＝3时，h＝0，
∵20－15＝5，20－0＝20，
∴当2≤t≤3时，w的取值范围是5≤w≤20．
三、17．【解】(1)原方程可化为x2－2x＋1＝143＋1，得(x－1)2＝144，∴x－1＝±12，∴x1＝13，x2＝ －11．
(2)原方程可化为 3x2－5x－2＝0，(3x＋1)(x－2) ＝0，得3x＋1＝0或x－2＝0．∴x1＝－eq \f(1,3)，x2＝2．
18．【解】(1)△A1B1C1如图所示．
(2)S△ABC＝2×3－eq \f(1,2)×2×1－eq \f(1,2)×2×1－eq \f(1,2)×3×1＝eq \f(5,2)，由旋转可知∠ACA1＝90°，又∵AC＝eq \r(12＋32)＝eq \r(10)，∴S扇形CAA₁＝eq \f(90π×（\r(10)）2,360)＝eq \f(5,2)π，
∴△ABC扫过的面积为S扇形CAA₁＋S△ABC＝eq \f(5,2)π＋eq \f(5,2)．
19．【解】(1)∵(a－5)x2－4x－1＝0为关于x的一元二次方程，∴a－5≠0，即a≠5．
由题意得Δ＝(－4)2－4(a－5)×(－1)＝4a－4≥0，解得a≥1，∴a的取值范围为a≥1且a≠5．
(2)∵(a－5)x2－4x－1＝0的一个根为－1，
∴a－5＋4－1＝0，解得a＝2，
此时原方程为－3x2－4x－1＝0，解得x1＝－1，x2＝－eq \f(1,3)，
∴方程的另一个根为－eq \f(1,3)，a的值为2．
20．【解】(1)eq \f(1,4)
(2)画树状图如图：
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共有12种等可能出现的结果，其中两人都没有抽到“B．夏至”的有6种，
所以两人都没有抽到“B．夏至”的概率为eq \f(6,12)＝eq \f(1,2)．
21．(1)【证明】连接OE，OD，
∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠OAD＝∠B＝45°．
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO＝45°，
∴∠AOD＝90°，∴∠DOF＝90°．
∵点E是eq \(DF,\s\up8(︵))的中点，
∴∠DOE＝∠EOF＝eq \f(1,2)∠DOF＝45°，
∴∠OEB＝180°－∠EOF－∠B＝90°，∴OE⊥BC．
又∵OE为⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线．
(2)【解】∵OE⊥BC，∠B＝45°．
∴△OEB为等腰直角三角形．
设BE＝OE＝x，则OA＝x，BC＝eq \r(2)＋x，OB＝eq \r(2)x，
∴AB＝x＋eq \r(2)x．∵AC＝BC，∠C＝90°，∴AB＝eq \r(2)BC．
∴x＋eq \r(2)x＝eq \r(2)(eq \r(2)＋x)，解得x＝2，
∴S阴影＝S△OEB－S扇形OEF＝eq \f(1,2)×2×2－eq \f(45°,360°)×π×22＝2－eq \f(π,2)．
22．【解】(1)当x＝800时，y＝800×(50－30)＝800×20＝16 000，∴当一次性销售800千克时利润为16 000元．
(2)设一次性销售量在1000～1750 kg之间时，每千克销售利润为50－30－0．01(x－1 000)＝－0. 01x＋30(元/千克)，
∴y＝x(－0. 01x＋30)＝－0. 01x2＋30x＝－0. 01(x－1 500)2＋22 500．
∵－0. 011 000．
①当一次性销售量在1 000～1750 kg之间时，利润为22 100元，∴－0. 01(x－1 500)2＋22 500＝22 100，
解得x1＝1 700，x2＝1 300．
②当一次性销售不低于1 750千克时，均以某一固定价格销售，设此时函数解析式为y＝kx，由(2)知，当x＝1 750时，y＝－0. 01×(1 750－1 500)2＋22 500＝21 875，
∴B(1 750，21 875)．
把B的坐标代入函数解析式，得21 875＝1 750k，解得k＝12. 5，∴当一次性销售不低于1 750千克时，函数解析式为y＝12. 5x．当y＝22 100时，则22 100＝12. 5x，解得x＝1 768．
综上所述，当一次性销售1 300千克或1 700千克或1 768千克时利润为22 100元．
23．【解】(1)∵函数的图象与x轴相交于点O，
∴0＝k＋1，解得k＝－1，
∴这个二次函数的解析式为y＝x2－3x．
(2)设B点的坐标为(x0，y0)．
∵△AOB的面积等于6，∴eq \f(1,2)AO·|y0|＝6．
当x2－3x＝0时，即x(x－3)＝0，解得x＝0或x＝3．
∴A(3，0)．∴AO＝3．∴|y0|＝4，即|x02－3x0|＝4．
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(25,4)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＝－eq \f(7,4)(舍去)．
解得x0＝4或x0＝－1(舍去)．
当x0＝4时，y0＝x02－3x0＝4，∴点B的坐标为(4，4)．
(3)假设存在点P．
设符合条件的点P的坐标为(x1，x12－3x1)．
∵点B的坐标为(4，4)，
∴∠BOA＝45°，BO＝eq \r(42＋42)＝4 eq \r(2)．
当∠POB ＝90°时，易得点P在直线 y＝－x上，
∴x12－3x1＝－x1，解得x1＝2或x1＝0(舍去)．
∴x12－3x1＝－2．
∴在抛物线上存在点P，使∠POB＝90°，且点P的标为(2，－2)．
∴OP＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)．
∴△POB的面积为eq \f(1,2)PO·BO＝eq \f(1,2)×2eq \r(2)×4eq \r(2)＝8．