福建省泉州市鲤城区2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份福建省泉州市鲤城区2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（本卷共25题；满分：150分；考试时间：120分钟）
友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上。
学校_______班级_______姓名______座号______
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。在答题卡相应的答题区域内作答。
1.二次根式有意义，则x的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
2.若是成比例的线段，其中，，，则线段d的长为（ ）
A.3B.4C.5D.6
3.已知的半径3，则中最长的弦长为（ ）
A.5B.6C.7D.8
4.在中，，，，则的值为（ ）
A.B.C.D.
5.投掷一枚点数为1，2，3，4，5，6的正方体骰子，投掷一次，下列事件为必然事件的是（ ）
A.点数是1B.点数是偶数
C.点数是奇数D.点数小于7
6.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的可能值为（ ）
A.0B.1C.2D.3
7.泉州市鲤城区特产东璧龙眼，因供不应求东璧龙眼经过两次涨价，由每公斤16元上涨到每公斤25元.若两次涨价的百分率相同，设这个百分率为x，则可列出关于x的方程为（ ）
A.B.
C.D.
8.将一个以10为半径的半圆，围成一个圆锥，则该圆锥的高是（ ）
A.5B.C.D.10
9.如图，在中，平分，按如下步骤作图：
分别以点B，D为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，分别交于两点M，N；作直线分别与，交于点E，F，交于点O，连按，.
根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）
A.是的中位线B.点O为的重心
C.D.
10.将抛物线位于x轴下方的图像沿着x轴翻折，翻折后的图像与相交于A，B，C，D四点，其横坐标分别为，，，（其中），若，则t的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在答题卡相应的答题区域内作答。
11.计算：______.
12.在一个不透明的袋子中，装有除颜色外都相同的小球10个，现知道抽得红色小球的概率为，则袋中红色小球有_______个.
13.一条上山直道的坡度为，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为______米.
14.如图，是一名排球运动员发球时，排球行进过程中形成的抛物线，按照图中所示的平面直角坐标系，排球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，球场的边界距O点的水平距离为18米，则此排球是否会出界?_______（填“是”或“否”）.
15.已知，则的值为______.
16.如图，内接于，点E在上，且，若，，，则的半径是_______.
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。在答题卡相应的答题区域内作答.
17.（8分）
计算：.
18.（8分）
解一元二次方程：.
19.（8分）
在平面直角坐标系中，，，网格中每个小正方形的边长均为1.
（1）按要求作图：以原点O为位似中心，画出，使与的相似比为2:1，且与在原点异侧；
（2）直接写出点，的坐标.
20.（8分）
如图1，座落于福建省泉州市的中国闽台缘博物馆是一座反映中国大陆与宝岛台湾历史关系的国家级专题博物馆.小明为估测博物馆高度画出大致正面结构图。正面结构图如图2，为等腰三角形，为底边，四边形为矩形，于F，交于G，从点A至点B共行走440步，步长约为0.5米，测得，平台高约为13米，，求博物馆高的估算值.（结果按四舍五入保留到个位，参考数据：，，）
21.（8分）
在春节来临之际，某商场开展“庆新年”有奖酬宾活动：凡购物满200元，均可得到一次抽奖的机会，规则如下：
在A，B两个不透明的口袋中分别装有标数字1，2，3和标数字2，3的小球，小球除数字外完全相同，顾客依次从A，B两个不透明的口袋中随机各摸出一个小球，如果所摸出的两个球上的数字之和大于5，即可获得一张20元现金抵用券.
（1）在A口袋中随机摸出一个球，求球上标的数字是2的概率；
（2）若把不透明的A口袋中标有数字1的小球拿掉，按上述的规则，顾客获得一张20元现金抵用券的概率是提高了还是降低了?请说明理由.
22.（10分）
如图，四边形内接于，是的直径，，于点E，连结.
（1）求证：平分；
（2）若于点H，求证：.
23.（10分）
（1）补全（Ⅰ）、（Ⅱ）所缺的内容，课题证明杠杆原理过程中运用到的几何知识是_______；
（2）如图，小明用实心钢管制作了一个自带支点杠杆，O为支点，，，，方向上因撑起一物体产生450牛顿（国际单位制中，力的单位）的阻力，方向上施加一个力使杠杆平衡，.
①请用“动力臂”与“阻力臂”概念构造相应三角形，并证明这些三角形相似；
②记，运用“杠杆原理”相关知识，直接写出的大小.
24.（12分）
如图，在中，，，，点M，G在上，且，，延长线与交于P点，于点P，延长线与交于点E.
（1）证明：；
（2）若，试求的值；
（3）连接，，当点M，G在（不含端点）移动的过程中，探究四边形的面积是否会变化?并说明理由.
25.（14分）
在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点G在抛物线对称轴上..
①若点G的纵坐标为1，点P，Q均在抛物线上，四边形为平行四边形.求点Q的坐标；
②若点G的纵坐标为，不平行y轴的直线与抛物线只有一个公共点，且分别与线段，（不含端点）交于M，N两点.求的值.
鲤城区2023-2024学年上学期九年级期末教学质量跟踪监测
数学试题
参考答案及评分标准
说明：
（一）考生的正确解法与“参考答案”不同时，可参照“参考答案及评分标准”的精神进行评分。
（二）如解答的某一步出现错误，这一错误没有改变后续部分的考查目的，可酌情给分，但原则上不超过后面应得的分数的二分之一；如属严重的概念性错误，就不给分.
（三）以下解答各行右端所注分数表示正确做完该步应得的累计分数.
一、选择题（每小题4分，共40分）
1.A 2.D 3.B 4.A 6.A 7.A 8.C 9.D 10.C
二、填空题（每小题4分，共24分）
11.4 12.6 13.50 14.是 15. 16.
三、解答题（共86分）
17.（8分）
计算：.
解：原式
（其它解法，请参照以上评分标准）
18.（8分）
解方程：.
解法一：
，.
解法二：
，.
解法三：
，各3分
，.
（其它解法，请参照以上评分标准）
19.（8分）
解：（1）如图所示，为所求.
、各3分
（2）由图可得，，
20.（8分）
解：（1）从点A至点B共行走440步，步长约为0.5米，
米.
于F，是为底边的等腰三角形，
，，
米.
，，
即米.
.
（其它解法，请参照以上评分标准）
21.（8分）
解：（1）在A口袋中随机摸出一个球，球上标的数字是2的概率是，
答：抽奖者从该纸盒中一次摸出一个球，抽到红球的概率是；
（2）当A口袋中标有数字1的小球没有拿掉，由下表可知，共有有6种等可能情况，其中两数之和大于5的情况只有1种，所以获得一张20元现金抵用券的概率是；
当A口袋中标有数字1的小球拿掉，由下表可知，共有有4种等可能情况，其中两数之和大于5的情况只有1种，所以获得一张20元现金抵用券的概率是，
所以，
若把不透明的A口袋中标有数字1的小球拿掉，按上述的规则，顾客获得一张20元现金抵用券的概率是提高了.
（其它解法，请参照以上评分标准）
22.（10分）
证明：（1）连结，
，
，
平分；
（2）
，，
，
又，
，
23.（10分）
解：（1）填空为：
（Ⅰ），
（Ⅱ）
运用到的几何知识是相似三角形的判定及其性质；
（2）①过O作的延长线于M，延长交的延长线于N，
，
，
，
.
，
.
又，
.
又，
.
②设，牛顿.
（其它解法，请参照以上评分标准）
24.（13分）
解：（1）证明：在中，，
在中，，
又，
；
（2）解：连接，
，
又，
，
，
又，
，即，
又，
，
，.
又，
，
又，
，
又，
，
又，
，
；
（3）解法一：过B点作于H点，交于D点，
在和中，
，，
，
由（1）可知，，
，即.
在和中，
，，
，即，
，
，
在中，，
，
，
点E到的距离不变，
的面积的不变.
又的面积（为定值），
四边形的面积=的面积+的面积
故四边形的面积不变.
（其它解法，请参照以上评分标准）
解法二：由（2）可知，，，
在中，，
.
过点B作于H点，过点E作于K点，
又，
，
，
（为定值）.
四边形的面积=的面积+的面积
=的面积（为定值）.
故四边形的面积不变.
解法三：在上取一点D，使得，连结，
由（2）可知，
又，
，
，
B，D，P，E四点共圆，
，
点E在直线上，点E到的距离不变，
的面积为定值，
四边形的面积=的面积+的面积（为定值），
故四边形的面积不变.
解法四：以B点为原点，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则，.
记，过点E作于H点，
在中，，
又，
所以，
又，
所以
所以，
所以，，
所以，
记，
则有；
所以，即
所以点E在直线上.
记直线的解析式为，
所以，
所以，
所以
所以直线与直线平行，
所以点E到直线的距离保持不变，.
所以的面积为定值，
所以四边形的面积=的面积+的面积（为定值），
故四边形的面积不变.
（其它解法，请参照以上评分标准）
25.（14分）
解：（1）因为，点B的坐标为，
所以
解得：
所以该抛物线的解析式为.
（2）①解法一：因为点G的纵坐标为1，且点G在抛物线的对称轴上，
所以点，
所以，
根据“平行四边形的对角线互相平分”可知，，
依题可知，，，，，
所以，，即，，
又因为点Q在抛物线上，
所以，，
所以，
所以，即，
所以，，
所以
故点Q的坐标为；
（2）①解法二：可知，
所以点P是由点A向右平移2个单位且向上平移1个单位得到，
记，
又四边形为平行四边形，
所以，
所以，
所以，
故点Q的坐标为；
（2）②解法一：依题意可知，点G的坐标为，
由点B，G的坐标得，直线的表达式为（I），
同理可得，直线的表达式为（II），
联立和，并整理得：，
直线l与抛物线只有一个公共点，.
故，
解得，
故直线l的表达式为（III），
联立（I）（III）并解得，
同理可得，，
抛物线的对称轴直线与x轴交于点H，
因为射线、关于抛物线的对称轴直线对称，.
则，
设，
则，
则.
（2）②解法二：过点M作于点S，过点N作于点T，
所以，
所以，
所以，
在中，，
所以，
同理，
联立
所以，
所以，
即，
记直线的解析式为，
所以，解得
所以，
联立，得，
所以，
同理，
故
.
（其它解法，请参照以上评分标准）课题
《杠杆原理与相似三角形》
杠杆原理：也称为“杠杆平衡条件”.杠杆原理是几何学在物理学的体现.
相关概念：
支点：杠杆绕着转动的固定点：
动力：使杠杆转动的力：
阻力：阻碍杠杆转动的力；
动力臂：从支点到动力作用线的距离；
阻力臂：从支点到阻力作用线的距离.
基本模型：当一个力通过一个支点施加在杠杆上时，通过作图，可以观察到两个相似的三角形.
如图，因为，，
所以，
则有（I）__________，
又因为（消耗的功一致），
可得
所以
可得（II）________（为阻力的反作用力）.
即，动力×动力臂=阻力×阻力臂.
得出结论：要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等.
1
2
3
2
3
4
5
3
4
5
6
2
3
2
4
5
3
5
6