第六章 圆锥曲线（单元测试）-【中职专用】2025年对口招生数学一轮复习

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一、选择题（每小题4分，共40分）
1．抛物线的准线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据抛物线的标准方程即可求解其准线方程.
【详解】抛物线方程可化为，
所以抛物线的开口向下，
所以，，
所以抛物线的准线方程为，
故选：B．
2．下列直线与直线垂直的是（ ）
A． B．C．D．
【答案】C
【分析】由两直线垂直的条件即可得解.
【详解】∵， ，
，
∴与直线垂直的是.
故选：C．
3．已知两点、，则（ ）.
A．6B．C．12D．36
【答案】B
【分析】由两点距离公式可得答案.
【详解】.
故选：B.
4．一条光线从点 射出，与轴交于点，则反射光线所在的直线在轴上的截距为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【分析】根据入射光线的斜率求出反射光线的斜率，再利用点斜式求出反射光线的方程，即可求得反射光线所在的直线在轴上的截距.
【详解】设入射光线，反射光线，因为光线从点射出，
与轴相交于点，所以入射光线的斜率；
因为入射光线和反射光线关于直线对称，所以反射光线的斜率；
因为反射光线过点，所以反射光线所在的直线方程为，
所以反射光线所在的直线在轴上的截距为.
故选：C.
5．设双曲线的焦点为，则该双曲线的离心率等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的标准方程可得，再由焦点可得，并由求出的值，最后由离心率公式求值即可.
【详解】由双曲线，可得，
因为双曲线的焦点为，所以，
又因为，所以，
所以离心率.
故选：C.
6．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线上的一点到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，得到双曲线的一个焦点坐标，可知双曲线是焦点在轴上的双曲线，进而设出标准方程，结合隐含条件求解即可.
【详解】因为的焦点为，故双曲线的焦点在轴上，
故设双曲线方程为，则；
由双曲线定义知：，解得；
故可得；
则双曲线方程为：，
故选：C.
7．已知双曲线的一个焦点坐标为6,0，且经点，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用之间的性质和双曲线的基本方程即可求解.
【详解】由题可设双曲线方程为，
把代入可得①，又，②，
由①②解得双曲线方程为.
故选：A.
8．已知椭圆，若其长半轴长为4，短半轴长为2，则此椭圆的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据d的值和椭圆的标准方程即可求解.
【详解】因为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0，其长半轴长为4，短半轴长为2，
所以，即，
得到此椭圆的标准方程为.
故选：B.
9．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出双曲线的焦点，然后分情况讨论即可求得.
【详解】由双曲线可知，，则，
且焦点在轴上，所以焦点坐标为：，，
当抛物线的焦点为时，抛物线的标准方程为：；
当抛物线的焦点为时，抛物线的标准方程为：.
故选：D.
10．已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数p的值为（ ）
A．B．8C．D．4
【答案】D
【分析】根据双曲线方程求出双曲线的右焦点坐标，再根据抛物线的性质即可得解.
【详解】双曲线，所以双曲线焦点在轴上，
且，则，所以右焦点坐标为2,0，
所以抛物线的焦点为2,0，所以，
故选：.
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．已知和，则线段AB的垂直平分线方程是 ．
【答案】
【分析】由中点公式和斜率公式可得直线的斜率和点的坐标，可得直线的点斜式方程，化为一般式即可．
【详解】因为点、，
所以线段AB的中点坐标为，
又因为，所以线段AB的垂直平分线的斜率为，
则线段AB的垂直平分线方程是，即.
故答案为：.
12．经过圆上一点且与圆相切的直线的一般式方程为 ．
【答案】
【分析】先求出圆心坐标，再利用过切点的半径与切线垂直求出斜率，写出直线的点斜式方程，最后化成一般方程即可.
【详解】由题意，圆，可得圆心坐标为，
因为，则，
则过点且与圆相切的直线的斜率为，
根据直线的点斜式方程，可得直线的方程为，即，
即点且与圆相切的直线的一般式方程为．
故答案为：
13．过双曲线的左焦点作一条直线交双曲线左支于两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是 .
【答案】24
【分析】根据双曲线的定义，结合题意即可求解.
【详解】因为双曲线方程为，
所以，
即，
由双曲线定义知：，
所以，，
又，
故，
故的周长为，
故答案为：24.
14．已知双曲线方程为，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用双曲线的标准方程定义求解即可.
【详解】若双曲线方程为，
则与异号，
所以，解不等式得，
的取值范围是.
故答案为：.
15．已知点为抛物线图象上一点，点F为抛物线的焦点，则等于 .
【答案】3
【分析】先由抛物线求出，再由抛物线的定义求解即可.
【详解】已知点为抛物线图象上一点，
由抛物线方程知：，，则，
根据抛物线的定义可知，，
故答案为：3.
三、解答题（共6小题，共60分）
16．求过点且与直线垂直的直线的方程．
【答案】.
【分析】根据已知直线解析式的斜率可求出与其垂直的直线斜率，再利用所求直线经过的点代入所求解析式，即可求解.
【详解】因为直线方程为：，根据斜率.
所以与该直线垂直的直线斜率，
所以过点且与直线垂直的直线的方程为，
即.
17．（1）过点，且与圆相切的直线方程；
（2）已知直线过点，且被圆截得的弦长为8，求直线的方程.
【答案】（1）或；（2） 或
【分析】利用直线与圆的方程及位置关系求解.
【详解】（1）当切线斜率存在时，设切线方程为，整理得，圆心，半径，
所以圆心到切线的距离，
解得,即切线方程为,
当切线斜率不存在时，切线平行轴，切线方程为.
综上，切线方程为或.
（2）当直线的斜率不存在时，过点的直线方程为，代入得，，，所以弦长为，符合题意.
当直线的斜率存在时，设所求直线方程为，即.
由弦心距，所以，解得.
所以直线方程为.
综上所述，直线的方程为或.
18．已知椭圆长轴长为14，一个焦点为，点M在椭圆上，且，求
(1)椭圆的标准方程；
(2)面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆的焦点坐标及椭圆的定义可得，，据此可求解.
（2）根据椭圆的定义列出方程，求出的边长即可求解.
【详解】（1）由题意得：，，焦点在轴上，
∴，∴
∴椭圆的标准方程为
（2）∵，且
∴，
∵，∴为直角三角形.
∴面积为.
19．已知椭圆C的焦点为 ，椭圆上的一点坐标，求：
(1)椭圆的标准方程；
(2)过点Q且斜率为的直线l交椭圆另一个点P，求点P的坐标.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设椭圆的标准方程为，由题意得，由在椭圆上，可得，解方程可得，进而求得椭圆的标准方程；
（2）先求出直线l的方程，联立椭圆方程，消去y，得到一元二次方程，利用韦达定理，可得点P的横坐标，进而得到点P的坐标.
【详解】（1）设椭圆的标准方程为，
由题意得，
由在椭圆上，可得，
解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）过点且斜率为的直线l的方程为，
即，
联立，得，消去y，得，
解得或，
由，可得，
即点P的坐标为.
20．已知点在双曲线上，直线l过双曲线的左焦点，且与x轴垂直，并交双曲线于A，B两点，求：
(1)m的值；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）点代入双曲线方程可得m的值；
（2）求得左焦点，将代入双曲线方程，可求.
【详解】（1）因为点在双曲线上，
所以，所以.
（2）由（1）知，左焦点，
将，代入，可得，
则的坐标为，
所以.
21．已知双曲线中，，虚轴长为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点，倾斜角为的直线与双曲线交于、两点，为坐标原点，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据双曲线中a,b,c之间的关系和已知比例与虚轴长，列出方程组求解即可解得；
（2）根据已知点和倾斜角列出直线方程，再将直线方程与双曲线方程联立，结合三角形面积公式即可解得.
【详解】（1）由已知条件可得，解得，，
因此双曲线的标准方程为．
（2）由题意可知，直线的方程为，设点、，
联立，可得，解得，，
因此，．