第五章 平面向量（单元测试）-【中职专用】2025年对口招生数学一轮复习

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一、选择题（每小题4分，共40分）
1．下列各量是向量的有几个（ ）
①重力；②温度；③长度；④位移；⑤加速度
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量的定义即可判断.
【详解】因为①重力；④位移；⑤加速度这三个量有大小也有方向，故是向量；
②温度；③长度这两个量只有大小没有方向，故是数量，不是向量；
所以是向量的有3个.
故选：B.
2．已知两个向量，，且，则的值为（ ）
A．1B．-2C．D．6
【答案】C
【分析】由知必存在，使得，即，即可求解．
【详解】因为，
所以存在使得，即，解得
所以．
故选：C．
3．化简（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用向量运算的性质，计算得到答案.
【详解】利用向量运算的性质，
.
故选：D.
4．在平行四边形中，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据向量的线性运算求解即可.
【详解】由，则，即，则，
故.
故选：B
5．已知向量与互相垂直，则（ ）
A．B．C．3D．6
【答案】A
【分析】根据向量垂直则，列出方程即可得解.
【详解】向量与互相垂直，所以，
则，解得，
故选：.
6．已知，，且，则向量与向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用内积公式求夹角即可.
【详解】因为，，且，
则；
因为，所以向量与向量的夹角为；
故选：B.
7．下列向量中与a=(2,-3)共线的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量共线的坐标表示可判断结果.
【详解】对于A，，所以不共线，A错误；
对于B，，所以共线，B正确；
对于C，，所以不共线，C错误；
对于D，，所以不共线，D错误.
故选：B.
8．下列说法正确的是（ ）
A．共线向量是在一条直线上的向量B．所有的单位向量都相等
C．零向量的大小为0，没有方向D．两个相反向量的长度相等
【答案】D
【分析】根据共线向量，单位向量，零向量以及相反向量的概念判断即可.
【详解】A选项，共线向量是平行向量，不一定在一条直线上，故A错误，
B选项，所有的单位向量模长相等，方向不同，故B错误，
C选项，零向量的大小为0，有方向，故C错误，
D选项，两个相反向量的长度相等，方向相反，故D正确.
故选：D.
9．已知与的夹角为30°，则（ ）
A．2B．C．5D．3
【答案】B
【分析】由，利用向量内积的运算律计算即可.
【详解】因为与的夹角为30°，
所以.
故选：B.
10．与向量平行的单位向量为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】根据与已知向量共线的单位向量的求法即可求解.
【详解】与向量平行的单位向量为，
即或．
故选：C．
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．已知向量，为单位向量，且，则 .
【答案】
【分析】利用向量内积的运算性质，计算得到答案.
【详解】已知向量、都是单位向量，且，两向量相互垂直，
故答案为：1.
12．已知向量，，则向量与的夹角为 .
【答案】
【分析】根据向量的夹角公式可求解.
【详解】设向量与的夹角为，由题可知，
，
因为，所以.
故答案为：.
13．若，点A的坐标为，则点B的坐标为 .
【答案】
【分析】根据向量的运算计算即可.
【详解】因为，点A的坐标为，
所以点B的坐标为.
故答案为：.
14．已知向量 .
【答案】
【分析】利用向量内积的坐标表示即可得解.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
15． .
【答案】
【分析】根据平面向量的加法法则和减法法则即可得到答案.
【详解】.
故答案为：.
三、解答题（共6小题，共60分）
16．如图，已知的三个顶点的坐标分别是，，，求顶点D的坐标．
【答案】
【分析】首先设的坐标为，由向量的坐标表示得出，再由列方程求解即可.
【详解】设的坐标为，
由的坐标分别是，，，
得，
，
因为为平行四边形，所以，
则，解得，
所以的坐标为.
17．已知向量.
(1)求的值；
(2)若向量与垂直，求k的值.
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）由向量线性运算的坐标表示求出，再利用向量的模的坐标表示即可得解；
（2）先利用向量线性运算的坐标表示求出与，再由向量垂直的坐标表示即可得解.
【详解】（1）因为向量，
所以，
所以.
（2），
，
因为向量与垂直，
所以，解得.
18．已知，，，，求：
(1)和的坐标；
(2)的坐标.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的坐标表示即可求解；
（2）根据向量线性运算的坐标表示即可求解.
【详解】（1），
.
（2），
，
.
19．已知向量满足，，且，，求的坐标.
【答案】
【分析】设，由，列方程求解，再由确定坐标即可.
【详解】由题，可设，
因为，则，即，
由，可得，
由，即，解得或，
故或，
又因为，，故.
20．已知向量，，.
(1)求的值；
(2)求；
(3)求的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据空间向量的减法运算法则和数量积运算公式直接计算.
（2）根据空间向量夹角公式直接计算即可.
（3）根据条件写出模的表达式，再直接求最小值即可．
【详解】（1）因为，，
所以
又因为，
所以．
（2）因为，，
所以.
（3）因为，，
所以,
所以，
当时，取得最小值，则最小值为．
21．已知在中，，求：
(1)点坐标；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量坐标的坐标表示求解；
（2）利用向量坐标求向量的模.
【详解】（1）∵，，
设Bx,y，则，解得，即，
设，则，解得，即.
（2）∵点坐标为，点坐标为，
∴，即.