2024-2025学年上海市黄浦区向明中学高二（上）月考数学试卷（12月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年上海市黄浦区向明中学高二（上）月考数学试卷（12月份）（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.当我们停放自行车时，只要将自行车的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了( )
A. 三点确定一个平面B. 不在同一直线上的三点确定一个平面
C. 两条相交直线确定一个平面D. 两条平行直线确定一个平面
2.若(3+2x)n(n∈N∗)的展开式中第5项的二项式系数最大，则n不可能取值( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
3.已知无穷等比数列{an}，若i=1+∞ai=−3，则i=1+∞|ai|的取值范围为( )
A. {3}B. [3,+∞)C. (0,3]D. (0,+∞)
4.设Sn为数列{an}的前n项和，k为常数且k∈N，k≥2，有以下两个命题：
①若{an}是公差不为零的等差数列，则a1⋅a2⋅…⋅ak=0是S1⋅S2⋅…⋅S2k−1=0的充分非必要条件；
②若{an}是等比数列，则ak+ak+1=0是S1⋅S2⋅…⋅Sk=0的充要条件，那么( )
A. ①是真命题，②是假命题B. ①、②都是真命题
C. ①是假命题，②是真命题D. ①、②都是假命题
二、填空题：本题共12小题，共42分。
5.空间中，直线与平面所成角的范围为______．
6.表面积为16π的球的半径为______．
7.空间垂直于同一直线的两直线的位置关系为______．
8.如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为______．
9.满足等式C16x2−x=C165x−5的所有整数x组成的集合为______．
10.(2x2−1x)6展开式中x3项的系数为______.(用数字作答)
11.已知数列{an}的通项公式为an=n2−tn，若数列{an}是严格增数列，则实数t的取值范围是______．
12.设x，y∈R，向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,−4,2)且a⊥b,b//c，则|a+b|=______．
13.将4本不同的书分给3位同学，每人至少一本，不同的分法有______种.
14.将一个棱长为a的正方体切成64个全等的小正方体，其表面积增加了______．
15.已知棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为侧面BB1C1C中心，F在棱AD上运动，正方体表面上有一点P满足D1P=xD1F+yD1E(x≥0,y≥0)，则所有满足条件的P点构成图形的面积为______．
16.从1、2、3、…、10这10个数中任取4个不同的数a1、a2、a3、a4，则存在1≤i100an时，正整数n的最小值．
20.(本小题10分)
如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥P−ABCD，四边形ABCD是等腰梯形，AD//BC，AC∩DB=O，PO⊥平面ABCD，∠BOC=90°，OA=1，OC=2，E在PB上．
(1)为保证风筝飞行稳定，需要在E处引一尼绳，使得PB=3PE，求证：直线PD/​/平面AEC；
(2)实验表明，当tan∠PAC=2时，风筝表现最好，求此时直线PA与平面PBC所成角的正弦值．
21.(本小题12分)
如图，已知四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD．
(1)求证：AC⊥CD；
(2)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鱉臑”，若此“鱉臑”中，AB=BC=CD=1，有一根彩带经过面ABC与面ACD，且彩带的两个端点分别固定在点B和点D处，求彩带的最小长度；
(3)若在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为P1；任取两个面，记它们互相垂直的概率为P2；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为P3.试比较概率P1、P2、P3的大小．
参考答案
1.B
2.D
3.B
4.B
5.[0,π2]
6.2
7.平行、相交、异面
8.2π
9.{1,3}
10.−160
11.(−∞,3)
12.3
13.36
14.18a2
15.118
16.175
17.证明：直线AB与CD相交，可以唯一确定一个平面，设两直线确定的平面为β，
又由P∈平面α且P∈平面β，所以，点P∈两平面交线l，
同理，点Q，R∈l，所以三点共线．
18.解：(1)以A为原点建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，C1(0,2,2)，E(1,0,0)，F(1,0,2)，
所以C1E=(1,−2,−2)，AF=(1,0,2)，
设直线C1E与直线AF的夹角为θ，则csθ=|cs|=|C1E⋅AF||C1E|⋅|AF|=|1−4|3× 5= 55，
故直线C1E与直线AF的夹角为arccs 55．
(2)由(1)知B1(2,0,2)，
所以B1C1=(−2,2,0)，EF=(0,0,2)，
设平面B1C1E的法向量为n=(x,y,z)，则B1C1⋅n=−2x+2y=0C1E⋅n=x−2y−2z=0，
令z=1，则n=(−2,−2,1)，
所以点F到平面B1C1E的距离为|EF⋅n||n|=|0+0+2| (−2)2+(−2)2+12=23．
19.解：(1)根据题意，设等差数列{an}的公差为d，
又由a1=1，S10=100，
则S10=10a1+10×92d=100，
又a1=1，则10+10×92d=100，解得d=2，
所以an=2n−1；
(2)根据题意，设{an}的公比为q，
a1=1，a4=18，
则q3=a4a1=18，解可得q=12，
则Sn=a1(1−qn)1−q=2−2⋅(12)n，而an=(12)n−1，
若Sn>100an，则有2−2⋅(12)n>100(12)n−1，
化简得2n>101，
又由n≥1且n∈Z，
则有n≥7，
n的最小值为7．
20.(1)证明：四边形ABCD是等腰梯形，AD//BC，∴OD=1，OB=2，
连接EO，∴PEPB=DODB=13，∴EO//PD，
∵EO⊂平面AEC，PD⊄平面AEC，
∴PD/​/平面AEC．
(2)解：∵PO⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PO⊥AC，
∵tan∠PAC=2，∴OPOA=2，∴OP=2，
∵OB⊥OC，
∴以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O−xyz，
∴O(0,0,0)，P(0,0,2)，A(0,−1,0)，C(0,2,0)，B(2,0,0)，
∴PA=(0,−1,−2),PC=(0,2,−2),PB=(2,0,−2)，
设平面PBC的法向量为n=(x,y,z)，
∴n⋅PC=2y−2z=0n⋅PB=2x−2z=0，
令x=1，∴y=1，z=1，∴n=(1,1,1)，
设PA与平面PBC所成角为θ，sinθ=|cs=|PA⋅n||PA||n|=3 5× 3= 155．
PA与平面PBC所成角的正弦值为 155．
21.(1)证明：因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，
所以AB⊥CD，
又BC⊥CD，AB∩BC=B，AB，BC⊂平面ABC，
所以CD⊥平面ABC，
因为AC⊂平面ABC，
所以AC⊥CD；
(2)将面ABC与面ACD沿AC展开成如图所示的平面图形，连接BD，
由(1)知：∠ACD=90°，
因为AB⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，
所以AB⊥BC，
因为AB=BC=CD=1，
所以∠ACB=45°，
故展开后∠BCD=34π，

所以彩带的最小长度为此平面图中BD长，
由余弦定理得：BD= BC2+CD2−2BC⋅CDcs∠BCD= 12+12−2cs34π= 2+ 2，
所以彩带的最小长度为 2+ 2；
(3)6条棱中任选2条，共有C62=15种情况，
其中AB⊥BC，AB⊥BD，AB⊥CD，AC⊥CD，BC⊥CD，
所以P1=515=13，
四个面任取两个面，共有C42=6种情况，
其中平面ABC⊥平面BCD，平面ABC⊥平面ACD，平面ABD⊥平面BCD，
故P2=36=12，
任取一个面和不在此面上的一条棱，先从四个平面任选一个平面，有C41种情况，
再从不在此面上的三条棱中选1条，有C31种情况，故共有C41C31=12种情况，
其中满足垂直关系的有2种，分别为平面BCD和棱AB，平面ABC和棱CD，
故P3=212=16，
所以P3