专题02 不等式与复数（讲义）-2025年高考数学二轮复习讲与练（北京专用）

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\l "_Tc181630023" 05 核心精讲·题型突破9
\l "_Tc181630026" 题型一：利用基本不等式比较大小9
\l "_Tc181630028" 题型二：利用基本不等式求最值13
\l "_Tc181630030" 题型三：复数的基本考点18
\l "_Tc181630032" 题型四：复数的高级考点21
有关不等式和复数的北京高考试题，考查重点是不等式的性质和基本不等式及复数的四则运算，考试形式分别以一道选择题为主，分值5分．近年来试题关于《不等式》以不等式的性质为主,多与函数及其他有关最值等内容交汇,属于中档性题目，而关于《复数》以考查复数的四则运算为主,偶尔与其他知识交汇、难度较小,属于基础性题目，在解决这些问题时，要注意不等式性质及复数运算法则，复数基础性题目较多而不等式综合性题目居多.不等式主要考查考生的逻辑思维能力。提升考生的逻辑推理素养
1、利用不等式的性质比较大小
技巧总结
思路1：核心技巧：应用不等式的性质时，注意保序和反序
如：①不等式两边同时乘以非负需要保序 ②不等式两边同时非负方需要保序
③不等式两边同时乘以负数需要反序 ④同号取倒反序
④同向不等式具有可加性，同向同正不等式具有可乘性
思路2：可以代值验证选项，有时需要代多组数据，相对麻烦，本人不推荐
2、基本不等式常用模型
技巧总结
形式一：，当且仅当时等号成立.
形式二：，当且仅当时等号成立.
形式三：，当且仅当时等号成立.
形式四：，当且仅当时等号成立.
3、双加配凑模型
技巧总结
模型：形如：已知，求的最值
第一步：将条件配凑成分母的形式
第二步：相乘利用基本不等式
4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”
技巧总结
（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法
（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.
（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：
① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）
② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.
注意：形如的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．
5、几个重要的不等式
技巧总结
（1）
（2）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”).
特例：（同号）.
（3）其他变形：
①(沟通两和与两平方和的不等关系式)
②(沟通两积与两平方和的不等关系式)
③(沟通两积与两和的不等关系式)
④重要不等式串：即
调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).
6、不等式易错分析
技巧总结
基本不等式
如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号；
基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号.
注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致.
7、复数的基础考点
技巧总结
（1）复数的概念：
形如的数叫复数，其中分别是它的实部和虚部.若，则为实数；若，则为虚数；若且，则为纯虚数.
（2）复数相等：且.
（3）共轭复数：与共轭.
（4）复数的模：
向量的模叫做复数的模，记作或，即.
2.复数的几何意义
（1）复数复平面内的点.
（2）复数平面向量.
3.复数的运算
设，则
（1）加法：；
（2）减法：；
（3）乘法：；
8、复数的高级考点
技巧总结
1.分式快速化简
（分母相同，分子竖的加叉的减）
2.分式的模长快速求解：
1．【2024年北京第9题】已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.
【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，
对于选项AB：可得，即，
根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误；
对于选项D：例如，则，
可得，即，故D错误；
对于选项C：例如，则，
可得，即，故C错误，
故选：B.
2．【2024年北京第2题】已知zi=−1−i，则z=（ ）．
A．−1−iB．−1+iC．1−iD．1+i
【答案】C
【详解】由题意得z=i−1−i=1−i.
故选：C.
3．【2023年北京第2题】在复平面内，复数z对应的点的坐标是(−1,3)，则z的共轭复数z=（ ）
A．1+3iB．1−3i
C．−1+3iD．−1−3i
【答案】D
【详解】z在复平面对应的点是(−1,3)，根据复数的几何意义，z=−1+3i，
由共轭复数的定义可知，z=−1−3i.
故选：D
4．【2022年北京第2题】若复数z满足i⋅z=3−4i，则z=（ ）
A．1B．5C．7D．25
【答案】B
【详解】由题意有z=3−4ii=3−4i−ii⋅−i=−4−3i，故|z|=−42+−32=5．
故选：B．
5．【2021年北京第2题】在复平面内，复数z满足(1−i)z=2，则z=（ ）
A．−1−iB．−1+iC．1−iD．1+i
【答案】D
【详解】由题意可得：z=21−i=21+i1−i1+i=21+i2=1+i.
故选：D.
6．【2020年北京第2题】在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i⋅z=（ ）．
A．1+2iB．−2+iC．1−2iD．−2−i
【答案】B
【详解】由题意得z=1+2i，∴iz=i−2.
故选：B.
7．【2019年北京理科第1题】已知复数z=2+i，则z⋅z=
A．3B．5C．3D．5
【答案】D
【详解】∵z=2+i,z⋅z=(2+i)(2−i)=5 故选D.
8．【2018年北京理科第2题】在复平面内，复数11−i的共轭复数对应的点位于
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【详解】11−i=1+i(1−i)(1+i)=12+12i的共轭复数为12−12i
对应点为(12,−12)，在第四象限，故选D.
9．【2017年北京理科第2题】若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是
A．（–∞，1）B．（–∞，–1）
C．（1，+∞）D．（–1，+∞）
【答案】B
【详解】设z=1−ia+i=a+1+1−ai，因为复数对应的点在第二象限，所以a+10，解得：a