2024~2025学年山东省烟台市莱州市七年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2024~2025学年山东省烟台市莱州市七年级(上)期中数学试卷(解析版)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 新能源汽车是我国经济发展的重要产业之一，下列新能源车标中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：A.是轴对称图形，不符合题意；
B.不是轴对称图形，符合题意；
C.是轴对称图形，不符合题意；
D.是轴对称图形，不符合题意；
故选B．
2. 在下列条件中，不能确定是直角三角形的是（ ）
A. 中，若；
B. 中，若；
C. 中，若；
D. 中，若；
【答案】C
【解析】解：A、，，
，
解得：，能判定是直角三角形，不符合题意；
B、，
，能判定是直角三角形，不符合题意；
C、，
，，，不能判定是直角三角形，符合题意；
D、,
设，，，则，，
，能判定是直角三角形，不符合题意；
故选：C．
3. 如图，在中，，G为的中点，延长交于E．F为上的一点，于H，下面判断正确的有（ ）
①是的角平分线；②是的边上的中线；③是的边上的高；④是的角平分线和高．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】解：①根据三角形的角平分线的概念知是的角平分线，故原说法错误，不符合题意；
②根据三角形的中线的概念知是的边上的中线，故原说法错误，不符合题意；
③根据三角形的高的概念知是的边上的高，故原说法正确，符合题意；
④根据三角形角平分线和高的概念知是的角平分线和高，故原说法正确，符合题意；
说法正确的有③④，共2个，
故选：B．
4. 如图，在中，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：，，
，
，，
，
又，
，
设，则，
，
，
，
解得：，即，
故选：A．
5. 小明同学在学习了利用尺规作一个三角形与已知三角形全等后，尝试用不同的方法作三角形，则在下列作出的图形中，不一定与全等的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：A、如图：
由作图痕迹可得，，，，
，
故A选项正确，不符合题意；
B、如图
由作图痕迹可得，，，，
，
故B选项正确，不符合题意；
C、如图：
由作图痕迹可得，，，，
，
故C选项正确，不符合题意；
D、如图：
由作图痕迹可得，，，，
不能得出与全等，
故D选项不正确，符合题意；
故选：D
6. 如图，在暑假期间，某学校对其校内的高中楼（图中的点），临建楼（图中的点）和图书馆（图中的点）进行装修，装修工人需要放置一批装修物资，使得装修物资到点，点和点的距离相等，则装修物资应该放置在（ ）
A. 、两边高线的交点处B. 在、两边中线的交点处
C. 在、两内角平分线的交点处D. 在、两边垂直平分线的交点处
【答案】D
【解析】解：如图，作分别作、的垂直平分线交于点，连接，，，
则，，
，
故选：D．
．
7. 如图，已知圆柱高为，底面圆的周长为，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点爬到点处吃食，那么它爬行的最短路程是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：根据题意，圆柱的侧面展开图如图所示，

∴从点爬到点处吃食，爬行的最短路程是的长，
∵，，点分别是中点，
∴在中，，
∴最短路程是，
故选：．
8. 为测量一池塘两端A，B之间的距离，两位同学分别设计了以下两种不同的方案．
A. Ⅰ，Ⅱ都不可行B. Ⅰ，Ⅱ都可行C. Ⅰ可行，Ⅱ不可行D. Ⅰ不可行，Ⅱ可行
【答案】B
【解析】方案Ⅰ：∵，，
∴，
∴，
∴Ⅰ可行；
方案Ⅱ：∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴Ⅱ可行，
综上所述，Ⅰ，Ⅱ都可行．
故选：B．
9. 在中，与的角平分线交于点，过点作交于点，交于点，且，，，则下列说法错误的是（ ）
A. 和是等腰三角形B.
C. 的周长是D.
【答案】B
【解析】解：平分，平分，
，，
，
，，
，，
和是等腰三角形；
，，
又，，
的周长为；
，
，
，
；
故选项A，C，D正确，选项B错误，
故选：B．
10. 如图，有一张长方形纸片，，，点为上一点，将纸片沿折叠，的对应边恰好经过点，则线段的长为（ ）cm
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】解：将纸片沿折叠，的对应边恰好经过点，
，，，
，
，
，
，
，
∴
故选：A．
11. 在中，，的垂直平分线交于点D，交直线于点E，，那么等于（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】解：如图1．
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图2．
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴；
故选：C．
12. 勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在我国古算书(周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，如图1是由边长均为1的小正方形和Rt△ABC构成的，可以用其面积关系验证勾股定理，将图1按图2所示“嵌入”长方形LMJK，则该长方形的面积为( )

A. 120B. 110C. 100D. 90
【答案】B
【解析】解：延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，如图所示：
则四边形OALP是矩形．

∵∠CBF=90°，
∴∠ABC+∠OBF=90°，
又∵Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠OBF=∠ACB，
在△OBF和△ACB中，
∵∠BAC=∠BOF,
∠ACB=∠OBF,
BC=BF,，
∴△OBF≌△ACB（AAS），
∴AC=OB，
同理：△ACB≌△PGC，
∴PC=AB，
∴OA=AP，
∴矩形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=3+4=7，
∴KL=3+7=10，LM=4+7=11，
∴长方形KLMJ的面积为10×11=110．
故选：B．
二、填空题（本题共8个小题）
13. 在综合实践活动中，某数学兴趣小组制作了一个长方形的框子，为防止框子变形需要固定．如图所示，小明的做法是在框子上斜钉了一根木条，小刚认为固定的木条越多框子就越坚固，他在框子上钉了两根木条．你觉得______的做法能使门框更牢固．
【答案】小明
【解析】解：三角形具有稳定性，
小明的做法能使门框更牢固
故答案为：小明．
14. 如图，已知，，，则的长是____________．
【答案】6
【解析】解：，，，
，，
．
故答案为：6．
15. 如图，正六边形关于直线成轴对称的图形是六边形．点，，，四点在一条直线上，若点到直线的距离为，，则线段______．
【答案】
【解析】解：解：由已知正六边形和正六边形关于直线对称，因此是对称轴，
，
点到直线的距离为，
，
；
故答案为：
16. 如图，在 中，，，分别以 ， 为直径向外作半圆，半圆的面积分别记为 ，，则 的值为_____．

【答案】
【解析】解：在 中，，，
∴，
∴．
故答案为：
17. 如图甲所示三角形纸片中，，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为（如图丙），则的大小为 _______．
【答案】72
【解析】设，根据翻折不变性可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：72．
18. 如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，已知感应器离地面的高度为米，一名学生站在处被感应到，感应门会自动打开，这名学生身高为米，头顶离感应器的距离为米，这名学生从进入感应区到进门，需行进______米．
【答案】
【解析】解：如图，过点作于E，则米，，
米，
米，
米，
在中， 由勾股定理得：米，
米，
即这名学生从进入感应区到进门，需行进米，
故答案：．
19. 如图，在等边三角形中，，点O在上，且，点D和点E分别在，上，，，则的长是__________．
【答案】6
【解析】解：∵在等边三角形中，，，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：6．
20. 在长方形中，点是边上一动点，，，当为等腰三角形时，______．
【答案】或或
【解析】解：矩形中，，，
，，，
①当时，
在中，，，
，
；
②当时，
在和中，
，，
，
；
③当时，
在中，，，
的值为或或
故答案为：或或
三、解答题（本题共8个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤）
21. 尺规作图，不写作法，保留作图痕迹：
如图，在中，．
（1）在的边上求作一点，使得；
（2）在的边上求作一点，使得点到，的距离相等；
（3）若，，则______．（直接写出结果）
解：（1）如图，作线段的垂直平分线，交于点，
则点即为所求；
（2）如图，作的平分线，交于点，则点即为所求；
（3）过点作于点，
∵点到，的距离相等，，
，
由（1）可得，点为的中点，
，
在中，由勾股定理得，
；
设，
，
，
解得，
，
．
22. 如图，，，．

（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
解：（1）证明：，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：由（1）得，
，
，
，
的度数是．
23. 图①，图②都是边长为1的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点、、均为格点，按下列要求画图：
（1）在图①中，画一条不与线段重合的线段，使与关于某条直线对称（、的对应点分别为、），且、均为格点．
（2）在图②中，画一个，使与关于直线对称（、、的对应点分别为、、且、、均为格点），再求出的面积．
解：（1）如图，线段即为所求（答案不唯一），
（2）如图，即为所求，
，
故答案为：的面积为．
24. 如图，在中，点是的中点，，连接，为上一点，，交于点，若，，求的长度．
解：点是的中点，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
25. 如图，居民楼与马路是平行的，在一楼的点A处测得它到马路的距离为9m，已知在距离载重汽车41m处就可受到噪声影响．
（1）试求在马路上以4m/s速度行驶的载重汽车，能给一楼A处的居民带来多长时间的噪音影响？
（2）若时间超过25秒，则此路禁止该车通行，你认为载重汽车可以在这条路上通行吗？
解：（1）∵由题意得AC=9，AB=AD=41，AC⊥BD，
∴Rt△ACB中，BC=，
Rt△ACD中，DC=，
∴BD=80，
∴80÷4=20（s），
∴受影响时间为20s；
（2）∵20＜25，
∴可以通行．
26. 如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A，B两村输送水．
（1）在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．（只需作图，不需要证明）
（2）经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元．
解：（1）如图，作点A关于直线的对称点，连接，交于M点，即M为所求.
（2）如图，连接交于H点，过点B作，
由题意可知：，，，
∴，
∴在中，，
∴在中，，
由对称性质可知：，
水管长，
完成这项工程乡政府投入的资金至少为（万元）
27. 如图，，平分，平分，点在上，且，．
（1）与垂直吗？说明你的理由；
（2）若，，试求出四边形的面积．
解：（1）结论：；
理由：，
，
又平分，平分，
，，
，
，
，
；
（2），，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
．
28. 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．
【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
（1）如图1，延长至点，使，连接．根据______，可以判定，得出．这样就能把线段、、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围______．
【模型构建】
当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“倍长中线”法．
【类比应用】
（2）如图2，在中，是边上的中点，，，，则______；
【拓展提升】
（3）如图3，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：．
解：（1）如图1，延长至点，使，连接，
是的中点，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，即，
，
，
故答案为：，；
（2）如图2，延长至点，使，连接，
是的中点，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案：；
（3）如图3，延长至点，使得，连接，
是的中点，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
垂直平分，
，
在中，，
．方案Ⅰ：如图，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，并使，连接，最后测出的长即可；
方案Ⅱ：如图，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，最后测量的长即可．