2024-2025学年江西省“三新协同教研共同体”高二上学期12月联考数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年江西省“三新协同教研共同体”高二上学期12月联考数学试题（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知抛物线C:y=ax2(a>0)，则抛物线C的焦点到准线的距离为( )
A. 14aB. 12aC. 2aD. 4a
2.已知直线l:sin20∘⋅x+cs20∘⋅y+1=0，则直线l的倾斜角为( )
A. 20∘B. 70∘C. 160∘D. 110∘
3.已知向量a=(1,2,−2)，b=(2,y,1)，且b在a上的投影数量为4 55，则实数y的值为( )
A. 6 55B. −2 5C. 2 5或−2 5D. 2 5
4.三名同学每人均从江西井冈山、庐山、三清山和龙虎山四大名山中任选一个旅游，则这四大名山中仅有庐山未被选中的概率为( )
A. 34B. 827C. 49D. 332
5.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AP=λAB+λAD+μAA1，其中λ，μ∈(0,1]，则直线AB1与平面PAC所成角的大小为( )
A. 90∘B. 45∘C. 60∘D. 30∘
6.已知直线l:sin2α⋅x+y+cs2α=0(α∈R)与圆C:x2+y2=8相交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
A. 2B. 2 7C. 2 6D. 6
7.已知O为坐标原点，点P在双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上，点A，B分别在双曲线C的两条渐近线上，且|OA|=4|OB|=4，若△OAP与△OBP的面积之积为25ab，则双曲线C的离心率为( )
A. 5或 52B. 2C. 5D. 2或 52
8.在等腰直角△ABC中，AC=BC=2 2，M是△ABC所在平面内的一点，满足|MA+MB+MC|=3，则|CM|的最小值为( )
A. 1B. 13C. 2 3−1D. 43
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某单位安排7名员工周一到周日为期一周的值日表，每名员工值日一天且不重复值班，其中甲不排在周一，乙不排在周三，则不同的安排方案种数为( )
A. A77−2A66+A55B. A66+A51A51A55C. A61A66−A51A55D. A66+A44A55
10.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，A为y轴上一点，且|AF|=6，线段AF与抛物线C相交于点B，AB=BF，则下列结论正确的有( )
A. |OA|=8 2B. p=4
C. 直线AF的方程为4x+ 2y−8=0D. 以线段BF为直径的圆与y轴相切
11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，动点M满足AM=xAB+yAD+zAA1(x≥0,y≥0,z≥0)，则下列说法正确的是( )
A. 当y=x，z=1时，三棱锥B−CDM的体积为43
B. 当x+y+z=1，且|C1M|= 573时，点M的轨迹的长度为2π
C. 当x∈[0,1]，y=z=1时，|B1M|+|MD|的最小值为 5
D. 当x=z=1，y=12时，过点B，D，M的截面面积为92
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知e=(2,−4,z)是直线l的一个方向向量，n=(−1,y,−12)是平面α的一个法向量，若l⊥α，则y+z= ．
13.若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如360，253等都是“凸数”.用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的三位数，则在组成的三位数中“凸数”的个数为 .(用数字作答)
14.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，左、右顶点分别为A，B，过点F且与x轴垂直的直线交椭圆C于点P，若PQ=2QF，直线AP与直线BQ的交点在y轴上，则椭圆C的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知双曲线C的中心为坐标原点O，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为 62，且过点A(2 2,0)．
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)过点A作直线与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为B，求△OAB的面积．
16.(本小题12分)
按要求完成下列问题：
(1)从n个不同的小球中取出m个有A种方法，从n个不同的小球中取出m−1个有B种方法，从n+1个不同的小球中取出m个有D种方法，试判断A+B与D的大小关系，并证明你的结论;
(2)若C30+C41+C52+C63+⋯+C20242021=C2025b，求b的值．
17.(本小题12分)
如图1，等腰直角△ABC的斜边BC=4，D为BC的中点，沿BC上的高AD折叠，使得二面角B−AD−C为60∘，如图2，M为CD的中点．
(1)证明：BM⊥AC．
(2)求二面角M−AB−D的余弦值．
(3)试问在线段AC上是否存在点Q，使得直线MQ与平面ABM所成角的正弦值为 210?若存在，求出线段AQ的长度;若不存在，请说明理由．
18.(本小题12分)
已知抛物线C:y2=2px(p>0)上一点P(1,2)，过点P作圆M:(x−2)2+y2=r2(r>0)的两条切线，与抛物线C分别交于A，B两点．
(1)当r=1时，求△MAB的面积;
(2)证明：直线AB过定点．
19.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，定义：d(A,B)=|x1−x2|+|y1−y2|为A(x1,y1)，B(x2,y2)两点间的“曼哈顿距离”．
(1)已知A(2,0)，d(A,B)=2，求|AB|的取值范围．
(2)我们把到两定点F1(−1,0)，F2(1,0)的“曼哈顿距离”之和为4的点的轨迹记为Γ．
①求轨迹Γ上的动点M与直线2x−y+8=0上的动点P的“曼哈顿距离”的最小值．
②若多边形的顶点都在同一个椭圆上，我们将这个椭圆称为该多边形的外接椭圆，轨迹Γ的外接椭圆为C.若H，N，K，Q这四个点均在椭圆C上，直线HN过椭圆C的右焦点，且满足HQ=NK，求四边形HNKQ面积的最大值．
参考答案
1.B
2.C
3.A
4.D
5.D
6.B
7.A
8.B
9.ABC
10.BD
11.AD
12.3
13.14
14.12
15.解：(1)由双曲线C过点A(2 2,0)，可设方程为x28−y2b2=1(b>0)，
则e2=1+b28=( 62)2，得b2=4，
∴双曲线C的标准方程为x28−y24=1．
(2)根据双曲线的对称性，不妨取一条渐近线y= 22x，
有|AB|= 22×2 2 12+1=2 63，|OB|= 8−83=4 33，
∴△OAB的面积S△OAB=12×|OB|×|AB|=12×4 33×2 63=4 23．
16.解：(1)A+B=D，
证明如下：易知A=Cnm，B=Cnm−1，D=Cn+1m，
A+ B=Cnm+Cnm−1=n!(n−m)!m!+n!(n−m+1)!(m−1)!
=n!×(n−m+1)(n−m)!m!×(n−m+1)+n!×m(n−m+1)!(m−1)!×m
=n!×(n+1)(n−m+1)!m!
=Cn+1m
=D．
(2)原式=C40+C41+C52+C63+⋯+C20242021
=C51+C52+C63+⋯+C20242021
=C62+C63+⋯+C20242021
=⋯
=C20242020+C20242021
=C20252021
=C20254，
所以b=4或2021．
17.解：(1)在图1的等腰直角△ABC中，D为BC的中点，则AD⊥BC，
所以在图2中，有AD⊥BD，AD⊥CD，
又BD∩CD=D，BD、CD⊂平面BCD，
所以AD⊥平面BCD，
因为BM⊂平面BCD，
所以AD⊥BM．
因为AD⊥平面BCD，所以∠BDC是二面角B−AD−C的平面角，
即∠BDC=60∘，所以△BCD为正三角形，
因为M为CD的中点，所以CD⊥BM，
因为AD∩CD=D，AD、CD⊂平面ACD，
所以BM⊥平面ACD，
因为AC⊂平面ACD，
所以BM⊥AC．
(2)以D为原点，DC，DA所在直线分别为y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
易知A(0,0,2)，B( 3,1,0)，C(0,2,0)，M(0,1,0)，
所以AB=( 3,1,−2)，BM=(− 3,0,0)．
设平面ABM的法向量为n1=(x,y,z)，
则 3x+y−2z=0,− 3x=0,所以平面ABM的一个法向量为n1=(0,2,1)．
同理平面ABD的个法向量为n2=(−1, 3,0)，
所以cs=n1⋅n2|n1||n2|=2 32 5= 155，
所以二面角M−AB−D的余弦值为 155．
(3)假设在线段AC上存在点Q，使得直线MQ与平面ABM所成角的正弦值为 210．
MA=(0,−1,2)，AC=(0,2,−2)，设AQ=λAC=(0,2λ,−2λ)，
则MQ=MA+AQ=(0,2λ−1,2−2λ)，λ∈[0,1]，
依题意可得 210=|2(2λ−1)+2−2λ| 5× (2λ−1)2+(2−2λ)2，解得λ=14或λ=−58(舍去)，
所以存在点Q，使得直线MQ与平面ABM所成角的正弦值为 210，此时|AQ|= 22．

18.解：(1)因为点P(1,2)在抛物线C:y2=2px上，
所以4=2p，解得p=2，则抛物线C:y2=4x．
当r=1时，直线x=1为圆M的一条切线，
不妨设直线x=1为直线PA，则A(1,−2)．
设直线PB的方程为y−2=k(x−1)，即kx−y−k+2=0．
因为直线PB为圆M的切线，所以d=r，即|2k−k+2| k2+1=1，解得k=−34，
则PB的方程为y=−34x+114．
由y=−34x+114,y2=4x,得9x2−130x+121=0．
设B(x0,y0)，则1⋅x0=1219，解得x0=1219，
所以y0=−223，则B(1219,−223).
又因为A(1,−2)，所以直线AB的方程为y=−37x−117，
则|AB|= 1+(−37)2|x0−xA|=16 589，
又点M到直线AB的距离为17 5858，
所以S△MAB=12|AB|⋅d=1369．
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，若直线PA的斜率存在，则斜率为y1−2x1−1=y1−2y124−1=4y1+2，
所以直线PA的方程为y−2=4y1+2(x−1)，化简得4x−(y1+2)y+2y1=0． ①
直线PA的斜率不存在时也满足 ①式.
因为直线PA为圆M的切线，所以|8+2y1| 16+(y1+2)2=r．
两边平方展开化简得y12(4−r2)+y1(32−4r2)+64−20r2=0． ②
又因为点A在抛物线C上，所以y12=4x1，
代入 ②式化简得x1(4−r2)+y1(8−r2)+16−5r2=0，
同理可得x2(4−r2)+y2(8−r2)+16−5r2=0，
所以直线AB的方程为x(4−r2)+y(8−r2)+16−5r2=0，
整理得r2(−x−y−5)+4x+8y+16=0．
由−x−y−5=0,4x+8y+16=0,，得x=−6,y=1,
所以直线AB过定点(−6,1)．
19.解：(1)设点B(x,y)，则d(A,B)=|x−2|+|y|=2，
则当x≥2，y≥0时，有x+y=4;
当x