人教版数学七下高频考点突破练习专题02 不等式与不等式组（2份，原卷版+解析版）

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解题技巧：不等式的性质，需要和等式的性质一起理解。，基本类似。有2个地方需要着重注意： = 1 \* GB3 ①若不等式两边同时乘或除负数，则不等号需要变号； = 2 \* GB3 ②不等号两边同乘0，不等式不再成立；同除0，无意义。
1．（2021·浙江杭州市·八年级期末）若4≤x≤6，则( )
A．2x－1>8B．2x+1≥9C．x+5≤9D．3－x>－2
2．（2022·湖南新邵·八年级期末）已知，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·重庆南开中学八年级开学考试）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·绵阳南山中学双语学校七年级阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若a＜b，则3a＜2b B．若a＞b，则ac2＞bc2 C．若﹣2a＞2b，则a＜b D．若ac2＜bc2，则a＜b
5．（2021·山西·太原市外国语学校八年级阶段练习）利用不等式的性质，解答下列问题．
（1）①如果a﹣b＜0，那么a b；②如果a﹣b＝0，那么a b；③如果a﹣b＞0，那么a b；
（2）比较2a与a的大小．（3）若a＞b，c＞d．①比较a+c与b+d的大小；②比较a﹣d与b﹣c的大小．
6．（2021·广东龙华·七年级期中）（1）若a＜0，则a 2a；（用“＞”“＜”“＝”填空）
（2）若a＜c＜b＜0，则abc 0；（用“＞”“＜”“＝”填空）
（3）若a＜c＜0＜b，化简：4（c﹣a）﹣2（2c﹣b），并判断化简结果的正负．
题型2. 利用不等式（组）的概念求参数
解题技巧：1）一元一次不等式需同时满足3个条件： = 1 \* GB3 ①1个未知数（一元），且未知数前面的系数不为0； = 2 \* GB3 ②未知数的次数为1（一次），且是整数（未知数不能出现在字母中）； = 3 \* GB3 ③含有不等符号
2）一元一次不等式组的判定需要抓住几点： = 1 \* GB3 ①每个不等式都是一元一次不等式； = 2 \* GB3 ②由多个不等式组成； = 3 \* GB3 ③多个不等式中的未知数是同一个未知数
1．（2021·黑龙江·肇源县超等蒙古族乡学校八年级期中）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为______________．
2．（2021·全国·七年级课时练习）已知不等式是一元一次不等式，则____．
3．（2021·江苏·南通市启秀中学七年级阶段练习）若是关于x的一元一次不等式，则m=_______．
4．（2021·广西上思·七年级期末）若（m﹣1）x|m|+3＞0是关于x的一元一次不等式，则m＝_____．
5．（2021·江苏·镇江市索普初级中学七年级阶段练习）已知是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为_____．
6．（2022·全国·七年级）若(m-2)-2≥7是关于x的一元一次不等式，求m的值．
题型3. 不等式（组）的解（集）
解题技巧：注意区分，不等式（组）的解和解集是两个不同的概念。
解：只要x的值满足不等式，这个值就是不等式（组）的解；
解集：必须是所有满足不等式（组）的值的集合。
即解集通常是一个取值范围，解可以是单个的值，且不唯一。
求解集方法：按照不等式的性质，解不等式（组）获得；
求解的方法：方法一：将结果代入不等式（组），若不等式（组）成立，则这个值时不等式（组）的解；
方法二：求解出不等式（组）的解集，若这个数再解集的范围内，则这个值是不等式（组）的解。
1．（2021·湖南龙山·七年级期末）①a是正数，用不等式表示为：a≥0；②2不是不等式x+3＞6的解；③如果a＞b，则﹣4a＞﹣4b；④不等式x+3＞﹣1的解集是x＞2．以上四个说法正确的是（ ）
A．①②③④B．①③④C．②D．①②
2．（2022·浙江义乌·八年级期末）是不等式的一个解，则的值不可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2021·全国·八年级课时练习）在0，，3，，，，4，中，_______是方程的解；_____是不等式的解；_____是不等式的解．
4．（2022·北京顺义·七年级期中）x=3是下列不等式（ ）的一个解．
A．x+14 D．不等式2x>7的解集是x>
题型4 不等式（组）的解集在数轴上的表示
1．（2022·浙江柯桥·八年级期末）不等式的解在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·湖南洪江·八年级期末）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·浙江西湖·八年级期末）如图，该数轴表示的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·重庆南开中学八年级期末）某天，孟孟与欢欢在讨论攀攀的年龄，欢欢说：“攀攀至多3岁．”而孟孟说：“攀攀的年龄一定大于1岁．”则攀攀年龄的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·上海九年级专题练习）不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·上海市进才中学北校期中）根据数轴上的表示，写出解集：x _________________
7．（2022·吉林省第二实验学校九年级期末）关于x的不等式的解集如图所示，则a的值是（ ）
A．－1 B．1 C．2 D．3
题型5 一元一次不等式（组）的解法
解题技巧：1）一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，主要步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。这些步骤中，不等式乘除负数时需要变号，这是唯一一点与解一元一次方程不同地方，其余地方完全相同。
还需要注意的点： = 1 \* GB3 ①移项要变号； = 2 \* GB3 ②去分母需要所有项都乘最小公倍数； = 3 \* GB3 ③去括号，若括号前有系数，括号中每一项都要乘系数；若括号前时负号，括号中每一项都要变号。
2）首先分别求多个不等式的解集；然后将各个不等式的解集表示在数轴上；最后读取数轴上重叠部分，作为不等式组的最终解集。
口诀： = 1 \* GB3 ①同大取大； = 2 \* GB3 ②同小取小； = 3 \* GB3 ③大小小大中间夹； = 4 \* GB3 ④大大小小无解答
在确定不等式组的解集时，建议根据数轴来确定，即在数轴上标出各个不等式的解集，不等式组的解集即各个不等式解集的公共部分。
注：可取得等号时，用实心点表示；不能取等号时，用空心点表示。
1．（2021·上海·期中）解不等式：，并把它解集在数轴上表示出来．
2．（2021·上海·期中）解不等式，并把解集在数轴上表示出来：
3．（2021·北京市第十三中学分校七年级期中）以下是一位同学所做的解不等式第一步的过程：
他在分析错因时写道：单独一个数或字母，在“去分母”时，自己总是漏乘，应该在“1”下面标注“?”，提醒自己注意．请你帮他分析，“去分母”这步，依据的不等式基本性质是 ___．（请写明定理的具体内容）
4．（2021·浙江杭州市·八年级期末）解关于x的不等式组：
5．（2022·重庆南开中学八年级开学考试）解不等式（组）：
(1)；(2)
6．（2021·广东宝安·一模）解不等式组，并利用数轴确定不等式组的解集．
题型5 一元一次不等式（组）与框图程序
1．（2022·全国·八年级）如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算，若运算进行了3次才停止，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·湖北黄陂·七年级期末）如图是一个数据转换器，按该程序进行运算，若输入，则该程序需要运行________次才停止；若该程序只运行了次就停止了，则的取值范围是________．
3．（2021·全国八年级）一个进行数值转换的运行程序如图所示，从“输入有理数x”到“结果是否大于0”称为“一次操作”
（1）下面命题是真命题有
①当输入x＝3后，程序操作仅进行一次就停止．
②当输入x＝﹣1后，程序操作仅进行一次就停止．
③当输入x为负数时，无论x取何负数，输出的结果总比输入数大．
④当输入x3，程序操作仅进行一次就停止．
（2）探究：是否存在正整数x，使程序只能进行两次操作，并且输出结果小于12？若存在，请求出所有符合条件的x的值；若不存在，请说明理由．
4．（2021·全国七年级）如图所示为一个计算程序；
（1）若输入的x＝3，则输出的结果为 ；
（2）若开始输入的x为正整数，最后输出的结果为40，则满足条件的x的不同值最多有 ；
（3）规定：程序运行到“判断结果是否大于30”为一次运算．若运算进行了三次才输出，求x的取值范围．
5．（2021·福建省泉州实验中学七年级期中）如图是一个运算程序：
例如：根据所给的运算程序可知，当时，，再把代入，得，则输出的结果为．（1）当时，输出的结果为_________；当时，输出结果为_________；
（2）若需要经过两次运算才能输出结果，的取值范围．
6．（2021·武汉六中上智中学七年级月考）如图，是一个运算流程．
（1）分别计算：当x=150时，输出值为 ，当x=17时，输出值为 ；
（2）若需要经过两次运算流程，才能运算输出y，求x的取值范围；
（3）请给出一个x的值，使之无论运算多少次都不能输出，并请说明理由．
题型6 一元一次不等式（组）的整数解问题
解题技巧：先求出不等式的解集，再根据解集确定整数解
1．（2021·广东深圳市·九年级模拟）不等式组的最小整数解是（ ）
A．5B．0C．-1D．-2
2．（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级阶段练习）不等式的非负整数解有______．
3．（2021·河南宛城·七年级期末）对于任意有理数、，定义一种运算：．例如，．根据上述定义可知：不等式的最大整数解是______．
4．（2021·全国·七年级单元测试）不等式的最大整数解是__________．
5．（2021·河北保定市·九年级模拟）已知不等式：①；②；③；④，从这四个不等式中取两个，能构成正整数解是2的不等式组的是（ ）
A．①与②B．②与③C．③与④D．①与④
6．（2021·上海外国语大学附属双语学校期中）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来，再写出最大负整数解．
题型7 含绝对值的不等式的解法
解题技巧：去绝对值：若a>0，则≤a-a≤x≤a， a；
方法一：采用“零点分段法”，去绝对值，具体见例1；
方法二：“数形结合”， 表示x与a点的距离，具体见例2.
1．（2021·全国·七年级课时练习）解下列不等式：（1）（2）
2．（2021·全国·七年级专题练习）阅读：我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法：
解：（1）当，即时： 解这个不等式，得：
由条件，有：
（2）当，即时， 解这个不等式，得：
由条件，有：
∴如图，综合（1）、（2）原不等式的解为
根据以上思想，请探究完成下列2个小题：（1）； （2）．
3．（2021·河南·淮阳第一高级中学七年级期中）（1）【阅读理解】“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于，则：
①“”可理解为 ；②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为 和 ．
我们定义：形如“，，，”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．
（2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．
由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或，
绝对值不等式的解集是．
则：①不等式的解集是 ．②不等式的解集是 ．
（3）【拓展应用】解不等式，并画图说明．
4．（2021·重庆市渝北中学校七年级月考）阅读：我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法：
解：（1）当，即时：
解这个不等式，得： 由条件，有：
（2）当，即时，
解这个不等式，得： 由条件，有：
∴如图，综合（1）、（2）原不等式的解为
根据以上思想，请探究完成下列2个小题：
（1）； （2）．
5．（2021·云南昆明市·七年级期末）阅读下面材料：
小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：
如果一个不等式（含有不等号的式子）中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式.
求绝对值不等式的解集（满足不等式的所有解）.
小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出恰好是3时的值，并在数轴上表示为点，，如图所示.观察数轴发现，
以点，为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于3；
点，之间的点表示的数的绝对值小于3；点B右边的点表示的数的绝对值大于3.
因此，小明得出结论，绝对值不等式的解集为：或.
参照小明的思路，解决下列问题：
（1）请你直接写出下列绝对值不等式的解集.①的解集是 ；②的解集是 .
（2）求绝对值不等式的解集.（3）直接写出不等式的解集是 ．
6．（2021·眉山市东坡区苏洵初级中学七年级月考）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．
⑴. 发现问题：代数式的最小值是多少？
⑵. 探究问题：如图，点分别表示的是 ，．
∵的几何意义是线段与的长度之和
∴当点在线段上时，;当点点在点的左侧或点的右侧时
∴的最小值是3．
⑶.解决问题：①.的最小值是 ；
②.利用上述思想方法解不等式：
③.当为何值时，代数式的最小值是2．
题型8 高次不等式的解法
1．（2021·江西南昌·九年级月考）阅读下面的材料，回答问题：如果，求的取值范围．
解：根据“两数相乘，同号得正，异号得负”，得或，分别解这两个不等式组，得第一个不等式组的解集为，第二个不等式组的解集为．故当或时，．
（1）试利用上述方法，求不等式的解集．
（2）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，根据图象，请你直接写出关于的不等式的解集．
2．（2021·宁夏·石嘴山市第八中学七年级阶段练习）阅读下面材料：分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．
小亮在解分式不等式时，是这样思考的：根据两数相除，同号得正，异号得负．原分式不等式可转化为下面两个不等式组：
①或②
解不等式组①得，
解不等式组②得．
所以原不等式的解集为或．
请你参考小亮思考问题的方法，解分式不等式．
3．（2021·福建梅列·八年级期中）阅读理解题：
（1）原理：对于任意两个实数、，
若，则和同号，即：或
若，则和异号，即：或
（2）分析：对不等式来说，把和看成两个数和，所以按照上述原理可知：（Ⅰ）或（Ⅱ），所以不等式的求解就转化求解不等式组（Ⅰ）和（Ⅱ）．
（3）应用：解不等式：①；②
4．（2020·渠县崇德实验学校八年级期末）阅读以下例题：解不等式：(x  4) (x 1)  0
解：①当 x  4  0 ，则 x 1  0
即可以写成：
解不等式组得：
②当若 x  4  0 ，则 x 1  0
即可以写成：
解不等式组得：
综合以上两种情况：不等式解集： x  1或.
（以上解法依据：若ab  0 ，则a，b 同号）请你模仿例题的解法，解不等式：
（1） (x 1)(x  2)  0；（2） (x  2)(x  3)  0．
5．（2020·湖南八年级期末）先阅读理解下面的例题，再按要求解答：
例题：解不等式
解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，
得①或②
解不等式组①得，解不等式组②得，
所以不等式的解集为或．
问题：求不等式的解集．
6．（2020·四川七年级期末）先阅读理解下列例题：
例题：解一元二次不等式
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得有：①或 ②
解不等式组①得；解不等式组②得
∴一元二次不等式的解集是或
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）求不等式的解集； （2）求不等式的解集．
题型9 利用不等式（组）解的情况求参数
解题技巧：不等式组的解集通常是一个取值范围，可以在利用数轴进行表示。利用数形结合思想分析解集，能够更清晰表达解集之间的关系。最终结果能否取到等号，需要注重注意分析。
1．（2021·成都市·八年级专题练习）如果不等式的解集是，那么a必须满足___________．
2．（2022·全国·八年级）若不等式－1≤2－x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3（x－1）＋5＞5x＋2（m＋x）成立，则m的取值范围是（ ）
A．m＞－B．m＜－C．m＜－D．m＞－
3．（2022·江苏·七年级专题练习）已知关于x的不等式组的解集是3≤x≤4，则a+b的值为（ ）
A．5B．8C．11D．9
4．（2021·上海市嘉定区金鹤学校期末）如果不等式组的解集是，那么a的值可能是（ ）
A．-2B．0C．-0.7D．
5．（2022·全国·九年级专题练习）已知关于x的不等式组有解，则a的取值不可能是（ ）
A．0B．1C．2D．3
6．（2021·黑龙江勃利·七年级期末）关于的不等式组无解，那么的取值范围是 （ ）
A．≤－1B．＜1C．－1＜≤0D．－1≤＜0
7．（2021·安徽阜南·七年级期末）不等式组的整数解有4个，则a的取值范围是（ ）
A．－2≤a＜－1 B．－2＜a＜－1 C．－2≤a≤－1 D．－2＜a≤－1
题型10 一元一次不等式（组）的中的新定义问题
1．（2021·北京大兴·七年级期末）我们定义，例如．若，是整数，且满足，则的最小值是__________．
2．（2021·湖北·武汉一初慧泉中学七年级阶段练习）对于任意实数m，n，我们把这两个中较小的数记作min{m，n}，如min{1，2}＝1．若关于x的不等式min{1－2x，－3}＞m无解，则m的取值范围是（ ）．
A．m≤－3．B．m≤2．C． m≥－3．D．m≥2．
3．（2021·湖北武汉·七年级期末）定义：把的值叫做不等式组的“长度”若关于的一元一次不等式组解集的“长度”为3，则该不等式组的整数解之和为______．
4．（2021·福建省泉州第一中学七年级阶段练习）设[x]表示不大于x的最大整数，{x}表示不小于x的最小整数，＜x＞表示最接近x的整数（x≠n＋0.5，n为整数）．例如[3.4]＝3，{3.4}＝4，＜3.4＞＝3，则方程3[x]＋2{x}＋＜x＞＝20（ ）
A．没有解 B．恰好有1个解 C．有限个解 D．有无数个解
5．（2022·重庆八中九年级开学考试）若定义一种新的取整符号[ ]，即[x]表示不超过x的最大整数．例如：，．则下列结论正确的是（ ）
①； ②；③方程的解有无数多个；④若，则x的取值范围是；⑤当时，则的值为0、1或2．
A．①②③B．①②④C．①③⑤D．①③④
6．（2021·河南济源·七年级期末）对x，y定义一种新的运算G，规定：G（x，y）＝例如：G（2，1）＝2﹣2×1＝0，若关于p（p＞0）的不等式组恰好有两个整数解，则a的取值范围是____
题型11 用不等式（组）解决实际问题
1．（2020·山东济宁市·八年级期末）某人要完成2.1千米的路程，并要在不超过18分钟的时间内到达，已知他每分钟走90米．若跑步每分钟可跑210米，问这人完成这段路程，至少要跑( )
A．3分钟B．4分钟C．4.5分钟D．5分钟
2．（2021·广东佛山市·八年级期末）某电信公司推出两种手机收费方案．方案A：月租费30元，本地通话话费0.15元/分；方案B：不收月租费，本地通话话费为0.3元/分．设婷婷的爸爸一个月通话时间为x分钟，婷婷的爸爸一个月通话时间为多少时，选择方案A比方案B优惠？（ ）
A．100分钟B．150分钟C．200分钟D．250分钟
3．（2020·射阳县第二初级中学八年级期中）有学生若干人，住若干间宿舍，若每间住5人，则有14人无法安排住宿，若每间住8人，则最后有一间宿舍不满也不空，则学生人数为_____．
4．（2020·宁波市鄞州区姜山镇实验中学八年级期中）一次生活常识知识竞赛一共有20道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分，小聪有1道题没答，竞赛成绩超过80分，则小聪至少答对了_______道题．
5．（2020·石家庄市第二十七中学七年级期中）甲乙两队进行篮球对抗赛，比赛规则规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，两队一共比赛了10场，甲队保持不败，得分不低于24分，甲队至少胜了___________场．
6．（2020·浙江绍兴市·八年级其他模拟）某家庭投资3.5万元资金建造屋顶光伏发电结，遇到晴天平均每天可发电30度，其他天气平均每天可发电5度，已知某月（按30天计）共发电600度．
（1）求这个月晴天的天数；（2）已知该家庭每月平均用电150度，若按每月发电600度计算，问至少需要几年才能收回成本？（不计其他费用，结果取整数）
7．（2020·湖南邵阳市·）一群女生住间宿舍，每间住4人，剩下18人无房住，每间住6人，有一间宿舍住不满，但有学生住．（1）用含的代数式表示女生人数．（2）根据题意，列出关于的不等式组，并求不等式组的解集．（3）根据（2）的结论，问一共可能有多少间宿舍，多少名女生？
信息链接：根据国家相关规定，凡是屋顶光伏发电站生产的电，家庭用电后剩余部分可以0.45元/度卖给电力公可，同时可获得政府补贴0.52元/度．