北师大版数学七下高频考点突破练习专题02 变量之间的关系（2份，原卷版+解析版）

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【解题技巧】常量：一个变化过程中数值始终保持不变的量叫做常量.
变量：在某一过程中发生变化的量，其中包括自变量与因变量。
自变量是最初变动的量，它在研究对象反应形式、特征、目的上是独立的；
因变量是由于自变量变动而引起变动的量，它“依赖于”自变量的改变。
1．（2021•成华区期末）汽车以每小时100千米的速度匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而变化，在这个变化过程中，自变量是
A．汽车B．路程C．速度D．时间
【分析】根据自变量的定义判断．
【解析】匀速行驶，速度不变，速度是常量，时间是自变量，路程是因变量，故选：．
2．（2021•高州市月考）正方形的面积随边长的变化而变化，其中 是因变量， 是自变量．
【分析】根据在一个变化过程中，有两个变量，，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量，可得答案．
【解析】由题意，得面积是，其中自变量是，因变量是，是的函数，故答案为：，．
3．（2022·安徽宣城·八年级期末）寒冷的冬天里我们在利用空调制热调控室内温度的过程中，空调的每小时用电量随开机设置温度的高低而变化，这个问题中自变量是（ ）
A．每小时用电量B．室内温度C．设置温度D．用电时间
【答案】C
【分析】根据题意分析，自变量是设置温度，因变量是空调的每小时用电量，据此分析即可．
【详解】解：空调的每小时用电量随开机设置温度的高低而变化，这个问题中自变量是设置温度，故选：C．
【点睛】本题考查了自变量与函数关系，理解题意是解题的关键．
4．（2021·湖南长沙·八年级期中）把15本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本，则下列判断错误的是（ ）
A．15是常量B．15是变量C．x是变量D．y是变量
【答案】B
【分析】一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量，据此判断即可．
【详解】解：把15本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本．则x和y分别是变量，15是常量．故选：B．
【点睛】本题考查函数的基础：常量与变量，熟练掌握常量与变量的定义是解题关键．
5．（2021·天津津南·八年级期中）在圆的周长计算公式C＝2πR中，对于变量和常量的说法正确的是（ ）
A．2是常量，C，π，R是变量B．2，π是常量，C，R是变量
C．2，C，π是常量，R是变量D．2，π，R是常量，C是变量
【答案】B
【分析】常量就是在某个过程中不变的量，变量是指在变化过程中随时可以发生变化的量．
【详解】解：在圆的周长计算公式C＝2πR中，C和R是变量，2、π是常量，故选：B．
【点睛】本题考查了变量与常量的知识，属于基础题，正确理解变量与常量的概念是解题的关键．
6．（2021·山东·七年级专题练习）（多选题）笔记本每本a元，买3本笔记本共支出y元，下列选项判断正确的有（ ）
A．a是常量时，y是变量B．a是变量时，y是常量
C．a是变量时，y也是变量D．a、y可以都是常量或都是变量
【答案】CD
【分析】根据题意列出函数解析式，再根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可得答案．
【详解】解：由题意得：y=3a，A、a是常量时，y也是常量，该选项错误；
B、a是变量时，y也是变量，该选项错误；C、a是变量时，y也是变量，该选项正确；
D、a、y可以都是常量或都是变量，该选项正确；故选：CD．
【点睛】本题主要考查了常量和变量，关键是掌握变量和常量的定义．
7．（2021·浙江杭州·八年级阶段练习）如果用总长为60m的篱笆围成一个长方形场地，设长方形的面积为S（m2），周长为p（m），一边长为a（m），那么在，，中是变量的是______．
【答案】和
【分析】由题意根据篱笆的总长确定，即可得到周长、一边长及面积中的变量．
【详解】解：篱笆的总长为60米，周长是定值，而面积和一边长是变量，故答案为：和．
【点睛】本题考查常量与变量的知识，解题的关键是能够根据篱笆总长不变确定定值，然后确定变量．
题型2、列表法表示变量之间的关系
【解题技巧】采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系。列表时要选取能代表自变量的一些数据，并按从小到大的顺序列出，再分别求出因变量的对应值。列表法最大的特点是直观，可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值，但缺点是具有局限性，只能表示因变量的一部分。
1．（2021•秦都区期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的质量间有下面的关系（弹簧的弹性范围
下列说法不正确的是
A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为
C．所挂物体质量为时，弹簧长度增加了D．所挂物体质量为时，弹簧长度增加到
【分析】根据给出的表格中的数据进行分析，可以确定自变量和因变量以及弹簧伸长的长度，得到答案．
【解析】．与都是变量，且是自变量，是因变量，故不符合题意；
．弹簧不挂重物时的长度为，故不符合题意；
．所挂物体质量为时，弹簧长度增加了，故不符合题意；
．所挂物体质量为时，弹簧长度增加到，故符合题意．故选：．
2．（2021春•莱阳市期末）已知声音在空气中的传播速度与空气的温度有关，在一定范围内其关系如表所示：
则下列说法错误的是
A．自变量是传播速度，因变量是温度 B．温度越高，传播速度越快
C．当温度为时，声音可以传播D．温度每升高，传播速度增加
【分析】根据所给表格，结合变量和自变量定义可得答案．
【解析】、自变量是温度，因变量是传播速度，故原题说法错误；
、温度越高，传播速度越快，故原题说法正确；
、当温度为时，声音可以传播，故原题说法正确；
、温度每升高，传播速度增加，故原题说法正确；故选：．
3．（2021•临清市期末）一个学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据：
下列说法正确的是
A．当时， B．每增加，减小1.23
C．随着逐渐变大，也逐渐变大D．随着逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快
【分析】根据函数的表示方法，可得答案．
【解答】解；．由表格可知，当时，，故不符合题意；
．由表格可知，由增加，减小1.23；由增加，减小0.15，故不符合题意；
．随着逐渐升高，逐渐变小，故不符合题意；
．随着逐渐升高，小车的时间减少，小车的速度逐渐加快，故正确；故选：．
4．（2021•肇源县期末）河北给武汉运送抗疫物资，某汽车油箱内剩余油量（升与汽车行驶路程（千米）有如下关系：
则该汽车每行驶100千米的耗油量为 升．
【分析】根据表格中两个变量的变化关系得出函数关系式即可．
【解析】根据表格中两个变量的变化关系可知，行驶路程每增加50千米，剩余油量就减少5升，
所以行驶路程每增加100千米，剩余油量就减少10升，故答案为：10．
5．（2021·重庆一中七年级阶段练习）在弹簧限度内，弹簧挂上物体后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如表：
在弹簧限度内，弹簧的长度是13cm时，所挂重物的质量是______kg．
【答案】2
【详解】从表格中找到当弹簧的长度是13cm时，所挂物体的质量为2kg．
【解答】解：从表格中找到当弹簧的长度是13cm时，所挂物体的质量为2kg．故答案为：2．
【点评】本题考查了函数的概念，函数的表示方法，知道了函数值为13，找到自变量为2是解题的关键．
6．（2022·河南·镇平县侯集镇第一初级中学七年级期末）综合与实践：制作一个无盖长方形盒子．
用一张正方形的纸片制成一个如图的无盖长方体纸盒．如果我们按照如图所示的方式，将正方形的四个角减掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子．
(1)如果原正方形纸片的边长为a cm，剪去的正方形的边长为b cm，则折成的无盖长方体盒子的高为_______cm，底面积为_____cm2，请你用含a，b的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积______cm3；
(2)如果a=20cm，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取1cm，2cm，3cm，4cm，5cm，6cm，7cm，8cm，9cm，10cm时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将计算的结果填入下表；
(3)观察绘制的统计表，你发现，随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？（ ）
A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大
(4)分析猜想当剪去图形的边长为____时，所得的无盖长方体的容积最大，此时无盖长方体的容积是____cm3．
(5)对（2）中的结果，你觉得表格中的数据还有什么要改进的地方吗？
【答案】(1)b；(a-2b)2；b(a-2b)2 (2)588；576 (3)C (4)3；588
(5)表格中正方形的边长数据可以再精确一些，可以精确到小数点后一位或两位
【分析】（1）根据截去的小正方形边长，得出无盖长方体盒子的高为bcm，然后求出底面边长，再求底面积，和体积即可；（2）根据截去的边长，求出底面边长，再求出无盖的长方体盒子的体积即可；
（3）根据表格的信息可得随着减去的小正方形的边长的增大，得出无盖长方体盒子的容积变化规律；
（4）根据表格得出截去小正方形边长为整数3时，体积最大，计算即可；
（5）根据精确度要求越高，无盖长方体盒子的容积会更大些．
(1)解：无盖长方体盒子的高就是截去的小正方形边长，无盖长方体盒子的高为bcm，底面边长（a-2b）cm,底面面积为（a-2b）2cm2, 做成一个无盖的长方体盒子的体积为b（a-2b）2cm3，
故答案为：b；（a-2b）2；b（a-2b）2．
(2)解：当b=3cm， a-2b=20-6=14cm，b（a-2b）2=3×142=588cm3，
当b=4，a-2b=20,8=12cm，b（a-2b）2=4×122=576cm3，故答案为：588；576．
(3)解：随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积先变大，再变小．故选择C．
(4)根据无盖长方体盒子的容积的变化，截去的正方形边长在3cm时，无盖长方体盒子的容积最大588cm3．
故答案为3,588．
(5)根据无盖长方体盒子的容积的变化，截去的正方形边长在3与4之间时，无盖长方体盒子的容积最大；
当x=3,5时，b（a-2b）2=3.5×（20-2×3.5）2=591.5cm3,
当时，b（a-2b）2=3.25×（20-2×3.25）2=592.3125cm3,
当时，b（a-2b）2=3.375×（20-2×3.375）2=592.5234375cm3,
当剪去图形的边长为3.3cm时，所得的无盖长方体的容积最大，此时无盖长方体的容积是592.548cm3．
因此表格中正方形的边长数据可以再精确一些，可以精确到小数点后一位或两位．
【点睛】本题考查无盖盒子的边长与体积关系探究，列代数式，从表格获取信息处理信息，应用信息解决问题，掌握无盖盒子的边长与体积关系探究，列代数式，从表格获取信息处理信息，应用信息解决问题是解题关键．
题型3 关系式表示变量之间的关系
【解题技巧】关系式是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，利用关系式，可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值，也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值
1．（2021·河南中原·七年级期末）一辆汽车油箱中原有汽油90升，若汽车匀速行使100km耗油9升，则该汽车油箱中的剩余油量Q（升）与汽车匀速行驶的距离s（km）之间的关系式是____________．
【答案】
【分析】剩余的油量等于油箱中原有的油量减去总消耗的油量，由匀速行驶100km耗油9升可得出均速行驶1km消耗的油量为0.09升，再乘以路程就是总消耗的油量．
【详解】解：∵汽车匀速行驶100km耗油9升，∴每千米消耗9÷100＝0.09升，∴Q＝90﹣0.09s，
故答案为：Q＝90﹣0.09s．
【点睛】本题主要考查列关系式，关键是要知道剩余的油量等于原有的油量减去消耗的油量，然后才能列出关系式．
2．（2021•密云区·七年级期末）如图，一个矩形的长比宽多3cm，矩形的面积是Scm2．设矩形的宽为xcm，当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是（ ）
A．S＝4x+6B．S＝4x﹣6C．S＝x2+3xD．S＝x2﹣3x
【分析】根据已知可得矩形的长为x+3，然后利用矩形的面积公式进行计算即可．
【解析】由题意得：S＝x（x+3）＝x2+3x，∴S与x满足的函数关系是：S＝x2+3x，故选：C．
3．（2021•无锡·七年级期末）某商场为了增加销售额，推出“七月销售大酬宾”活动，其活动内容为：“凡七月份在该商场一次性购物超过100元以上者，超过100元的部分按9折优惠．”在大酬宾活动中，小王到该商场为单位购买单价为60元的办公用品x件（x＞2），则应付货款y（元）与商品件数x的函数关系式是（ ）
A．y＝54x（x＞2） B．y＝54x+10（x＞2）C．y＝54x+90（x＞2） D．y＝54x+100（x＞2）
【分析】容易知道y大于100，所以应付货款分成两部分，一部分原价付款，一部分按9折优惠．应付货款y（元）＝100+超过100的部分．
【解析】∵x＞2，∴销售价超过100元，超过部分为60x﹣100，
∴y＝100+（60x﹣100）×0.9＝54x+10（x＞2，且x为整数），故选：B．
4．（2021秋•成都·七年级期末）现有一小树苗高100cm，以后平均每年长高50cm．x年后树苗的总高度y（cm）与年份x（年）的关系式是 ．
【分析】根据树苗的总高度与生长速度的关系进行计算即可．
【解析】由题意得，y＝100+50x，故答案为：y＝50x+100．
5．（2021·四川金牛·七年级期末）某客运公司的行李托运收费标准为：行李是千克，收费为元（不足千克的按千克计），以后每增加千克需要增加相同的费用．
（1）完成上面表格；（2）写出行李托运费（元）与行李质量（千克）的关系式．
【答案】（1）5.6；6.4；11.2；（2）
【分析】（1）由表格可知每增加1千克需增加费用为0.8元，由此可完成表格；
（2）根据表格及（1）可直接进行求解．
【详解】解：（1）由表格得每增加1千克需增加费用为（4.8-4）÷（2-1）=0.8元，
∴当x=3时，y=（3-1）×0.8+4=5.6；当x=4时，y=（4-1）×0.8+4=6.4；当x=10时，y=（10-1）×0.8+4=11.2；
故答案为5.6；6.4；11.2；
（2）由（1）可得：行李托运费（元）与行李质量（千克）的关系式为．
【点睛】本题主要考查函数的表示，熟练掌握函数的相关概念及表示是解题的关键．
6．（2021·浙江温岭·八年级期末）滑车以1.5米/分钟的速度匀速地从轨道的一端滑向另一端，已知轨道的长为6米，滑车滑行分钟时离终点的路程为米．（1）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）滑行多长时间时，滑车离终点1米?
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先求得的范围，根据题意，列出关于的函数关系式，
（2）根据（1）的关系式，将代入求解即可．
【详解】解：（1）由题意，得；
关于的函数关系式为
（2）当时，，解得，答：滑行分钟时，滑车离终点1米．
【点睛】本题考查了变量与关系式，理解题意，列出关系式是解题的关键．
题型4 根据实际信息判断函数图象
【解题技巧】首先应理解函数图象的横轴和纵轴表示的量，再根据实际情况来判断函数图象是解题的关键．
1．（2022·全国·八年级）小明带了2元钱去买笔，每支笔的价格是0.5元，那么小明买完笔后剩下的钱数y（元）与买到的笔的数量x（支）之间的函数图象大致是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意列出函数解析式，进而根据实际意义求得函数图像，注意自变量的取值范围．
【详解】依题意，（为正整数）; 可以取得，对应的的值为，故选D
【点睛】本题考查了根据实际问题列出函数关系式，变量与函数图像，结合实际是解题的关键．
2．（2021·全国·七年级单元测试）是饮水机的图片．饮水桶中的水由图1的位置下降到图2的位置的过程中，如果水减少的体积是y，水位下降的高度是x，那么能够表示y与x之间函数关系的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】水位随着水减少而下降，且饮水机是圆柱形，是同等变化的下降．
【详解】根据图片位置分析：水减少的体积随着水位下降的高度而增加，且饮水机是圆柱形，所以均匀增加,故答案选：C
【点睛】本题考查用图象法表示变量之间的关系，掌握变量之间的变化关系解题关键．
3．（2021·全国·八年级专题练习）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了 一觉. 当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终 点……. 用 s1 、s2 分别表示乌龟和兔子所行的路程， t 为时间，则下列图像中与故事情节相吻合的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，兔子的路程随时间的变化分为3个阶段，由此即可求出答案．
【详解】解：根据题意：s1一直增加；s2有三个阶段，第一阶段：s2增加；
第二阶段，由于睡了一觉，所以s2不变；
第三阶段，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，s2增加；
∵乌龟先到达终点，即s1在s2的上方．故选：A．
【点睛】本题考查变量之间的关系．能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小，通过图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢．
4．（2022·全国·八年级课前预习）小慧今天到学校参加初中毕业会考，从家里出发走10分钟到离家500米的地方吃早餐，吃早餐用了20分钟；再用10分钟赶到离家1000米的学校参加考试．下列图象中，能反映这一过程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据小慧离家的距离是增加还是不变的关系看图象，进而做出判断.
【详解】解：小慧从家里出发走10分钟到离家500米的地方吃早餐，离家的距离在增加，吃早餐用了20分钟，离家的距离不变，再用10分钟赶到离家1000米的学校，离家的距离又在增加，且与开始快慢相同，参加考试后离家的距离不变，故D项符合题意.
【点睛】本题考查了用图象法表示变量之间的关系，正确理解题意与对应图象的关系是解题的关键.
5．（2021·黑龙江齐齐哈尔·一模）星期日早晨，小明从家匀速跑到公园，在公园某处停留了一段时间，再沿原路匀速步行回家，小明离公园的路程与时间的关系的大致图象是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】根据在每段中，离公园的距离随时间的变化情况即可进行判断．
【详解】解：图像分为三个阶段，
第一个阶段：匀速跑步到公园，在这个阶段，离公园的距离随时间的增加而减小；
第二个阶段：在公园停留一段时间，这一阶段离家的距离不随时间的变化而变化；
第三个阶段：沿原路匀速步行回家，离公园的距离随时间的增大而增大，且这段的速度小于第一阶段的速度；故选：B．
【点睛】本题考查了函数的图像，理解每阶段中，离家的距离与时间的关系，根据图像的纵坐标判断离公园的距离及运动的速度是解题的关键．
6．（2021·河北·八年级专题练习）小明早上步行去车站，然后坐车去学校．如图象中，能近似的刻画小明离学校的距离随时间变化关系的图象是_____．（填序号）
【答案】④
【分析】根据上学，可得离学校的距离越来越小，根据开始步行，可得距离变化慢，后来坐车，可得距离变化快．
【详解】①距离越来越大，选项错误；②距离越来越小，但前后变化快慢一样，选项错误；
③距离越来越大，选项错误；④距离越来越小，且距离先变化慢，后变化快，选项正确；故答案为：④．
【点睛】本题考查了函数图象，观察距离随时间的变化是解题关键．
题型5 行程问题中的变量关系
【解题技巧】1）用图象解决问题时，要理清图象的含义，即会识图。
2）在实际问题中，要注意图象与横轴(x轴)、纵轴(y轴)的交点所代表的具体意义。
3）重点命题方向为：时间-路程图，时间-速度图。
1．（2021•莱阳市期末）周末，小明骑车从家前往公园，中途休息了一段时间．他从家出发后所用时间为t（分钟），所走的路程为s（米），s与t之间的函数关系如图所示．对于下列说法：①小明中途休息了2分钟；②小明休息前的骑车速度为每分钟400米；③小明所走的路程为4400米；④小明休息前的骑车速度小于休息后的骑车速度．其中正确结论的序号是 ．
【分析】根据函数图象可知，小依4分钟所走的路程为1600米，4～6分钟休息，6～10分钟骑车（2800﹣1600）米，骑车的总路程为2800米，根据路程、速度、时间的关系进行解答即可．
【解析】①根据图象可知，在4～6分钟，路程没有发生变化，所以小依中途休息的时间为：6﹣4＝2分钟，故①正确；②根据图象可知，当t＝4时，s＝1600，所以小依休息前骑车的平均速度为：1600÷4＝400（米/分钟），故②正确；③根据图象可知，小依在上述过程中所走的路程为2800米，故③错误；
④小依休息后的骑车的平均速度为：（2800﹣1600）÷（10﹣6）＝300（米/分），小依休息前骑车的平均速度为：1600÷4＝400（米/分钟），
400＞300，所以小依休息前骑车的平均速度大于休息后骑车的平均速度，故④错误；
综上所述，正确的有①②2个．故答案为：①②．
2．（2021•台州期末）小亮从家骑车上学，先经过一段平路到达A地后，再上坡到达B地，最后下坡到达学校，所行驶路程s（千米）与时间t（分钟）的关系如图所示．如果返回时，上坡、下坡、平路的速度仍然保持不变，那么他从学校回到家需要的时间是 分钟．
【分析】据图象知：小明从家骑车上学，平路路程是1千米，用3分钟；上坡的路程是1千米，用6分钟，则上坡速度是千米/分钟；下坡路程是2千米，用3分钟，因而速度是千米/分钟，由此即可求出答案．
【解析】根据图象可知：小明从家骑车上学，上坡的路程是1千米，用6分钟，
则上坡速度是千米/分钟；下坡路长是2千米，用3分钟，则速度是千米/分钟，
他从学校回到家需要的时间为：2÷+1÷+3＝16.5（分钟）．故答案为：16.5．
3．（2021 •光明区期末）小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图．
根据图中提供的信息回答下列问题：（1）小明家到学校的路程是 米．（2）本次上学途中，小明一共行驶了 米．一共用了 分钟．（3）在整个上学的途中最快的速度是 米/分．（4）小明当出发
分钟离家1200米．
【分析】（1）根据函数图象可以解答本题；（2）根据函数图象可以解答本题；（3）由函数图象可以得到哪段的速度最快，进而求得相应的速度；（4）根据函数图象和图象中的数据，可以解答本题．
【解析】（1）由图象可得，小明家到学校的路程是1500米，故答案为：1500；
（2）本次上学途中，小明一共行驶了：1500+（1200﹣600）×2＝2700（米），一共用了14（分钟），
故答案为：2700，14；
（3）由图象可知，在整个上学的途中，12分钟至14分钟小明骑车速度最快，最快的速度为：（1500﹣600）÷（14﹣12）＝450米/分钟，故答案为：450；
（4）设t分钟时，小明离家1200米，则t＝6或t﹣12＝（1200﹣600）÷450，得t＝13，
即小明出发6分钟或13分钟离家1200米．故6或13．
4．（2021•叶县期末）新能源纯电动汽车的不断普及让很多人感受到了它的好处，其中最重要的一点就是对环境的保护．如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶路程x（千米）之间关系的图象．（1）图中点A表示的实际意义是什么？求当0≤x≤150时，行驶1千米的平均耗电量是多少？当150≤x≤200时，行驶1千米的平均耗电量是多少？（2）当行驶了120千米时，求蓄电池的剩余电量；（3）求行驶多少千米时，剩余电量降至20千瓦时？
【分析】（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米，进而解答即可；
（2）根据（1）中当0≤x≤150时，行驶1千米的平均耗电量，即可求解；
（3）根据（1）中当150≤x≤200时，行驶1千米的平均耗电量，即可求解．
【解析】（1）由图象可知，A点表示充满电后行驶150千米时，剩余电量为35千瓦时；
当0≤x≤150时，行驶1千米的平均耗电量是＝（千瓦时）；
当150≤x≤200时，行驶1千米的平均耗电量是＝（千瓦时）；
答：A点表示充满电后行驶150千米时，剩余电量为35千瓦时；求当0≤x≤150时，行驶1千米的平均耗电量是千瓦时；当150≤x≤200时，行驶1千米的平均耗电量是千瓦时；
（2）60﹣×120＝40（千瓦时），答：当行驶了120千米时，蓄电池的剩余电量是40千瓦时；
（3）+150＝180（千米），
答：汽车已行驶180千米时，剩余电量降至20千瓦时．
5．（2021 •龙凤区校级期末）如图是一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的图象，两地间的距离是80km，请你根据图象解决下面的问题．（1）谁出发较早？早多长时间？谁到达乙地较早？早到多长时间？（2）两人在途中行驶的速度分别是多少？（3）若用y表示自行车行驶过的路程，用x表示自行车行驶过的时间，写出y与x的关系．
【分析】（1）观察图象解答即可；（2）根据图中信息找出路程，时间，再求出速度；
（3）根据“路程＝速度×时间”可得结果．
【解析】（1）由图象可知，骑自行车者出发较早，早3小时，骑摩托者到达乙地较早，早3小时；
（2）骑自行车者速度：80÷8＝10（km/h），骑摩托者速度：80÷2＝40（km/h），
答：自行车的速度是10 km/h，摩托车的速度是40 km/h；
（3）由自行车的速度是10 km/h可得，y＝10x．
6．（2021·河北保定·七年级期中）巴蜀中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，朱老师先跑．当小明出发时，朱老师已经距起点200米了．他们距起点的距离s(米)与小明出发的时间t(秒)之间的关系如图所示(不完整)．据图中给出的信息，解答下列问题：
(1)在上述变化过程中，自变量是______，因变量是______；(2)朱老师的速度为_____米/秒，小明的速度为______米/秒；(3)当小明第一次追上朱老师时，求小明距起点的距离是多少米？
【答案】(1)t，s；(2)2，6；(3)小明距起点的距离为300米．
【分析】(1)观察函数图象即可找出谁是自变量谁是因变
(2)根据速度=路程÷时间,即可分别算出朱老师以及小明的速度;
(3)设t秒时，小明第一次追上朱老师,列出关系式即可解答
【详解】解：(1)在上述变化过程中，自变量是t，因变量是s；
(2)朱老师的速度＝2(米/秒)，小明的速度为＝6(米/秒)；故答案为t，s；2，6；
(3)设t秒时，小明第一次追上朱老师根据题意得6t＝200+2t，解得t＝50(s)，则50×6＝300(米)，
所以当小明第一次追上朱老师时，小明距起点的距离为300米．
【点睛】此题考查一次函数的应用，解题关键在于看懂图中数据
7．（2020·全国七年级课时练习）如图，分别表示甲步行与乙骑自行车(在同一路上)行走的路程s甲，s乙与时间t的关系，观察图象并回答下列问题：(1)乙出发时，乙与甲相距 千米；
(2)走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修车的时间为 小时；
(3)乙从出发起，经过 小时与甲相遇；
(4)乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度一样吗？为什么？
【答案】（1)10；(2)1；（3）3；（4）不一样，理由见解析；
【分析】（1）根据t=0时甲乙两人的路程差即为两人的距离解答即可；（2）根据s不变的时间即为修车时间解答即可；（3）根据两人的函数图象的交点即为相遇，写出时间即可；（4）利用速度与时间路程的关系解答即可；
【解析】解：（1）由图象可知，乙出发时，乙与甲相距10千米．故答案为10．
（2）由图象可知，走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修车的时间为=1.5-0.5=1小时，
故答案为1．
（3）图图象可知，乙从出发起，经过3小时与甲相遇．故答案为3
（4）乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度不一样.理由如下：
乙骑自行车出故障前的速度=15千米/小时．与修车后的速度=10千米/小时．
因为15＞10，所以乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度不一样.
【点睛】此题主要考查了学生从图象中读取信息的能力，以及路程、速度、时间的关系等知识，解题的关键是灵活运用图中信息解决问题，所以中考常考题型．
题型6 打折销售、水电费等类型中的变量关系
【解题技巧】根据各变量之间的关系列出表达式即可解决相关问题。
1．（2021•硚口区期末）某种瓜苗早期在农科所温室中生长，长到20cm时，移至村庄的大棚内沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗的平均高度y（cm）与生长时间x（天）的函数关系的图象如图所示．当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花，则这种瓜苗移至大棚后，继续生长至开始开花所用的时间是（ ）
A．33天B．18天C．35天D．20天
【分析】利用图象求出15＜x≤60时y与x之间的关系式，再把y＝80代入计算即可求解．
【解析】当15＜x≤60时， ∴y＝x﹣30，
当y＝80时，x﹣30＝80，解得x＝33，33﹣15＝18（天），
∴这种瓜苗移至大棚后，继续生长至开始开花所用的时间是是18天．故选：B．
2．（2021春•烟台期末）某通讯公司就上宽带网推出A，B，C三种月收费方式，这三种收费方式每月所需的费用y（元）与上网时间x（h）的函数关系如图所示，则下列判断错误的是（ ）
A．每月上网时间不足25h时，选择A方式最省钱
B．每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A方式多
C．每月上网时间为50h时，选择A方式最省钱
D．每月上网费用为120元时，选择C方式上网的时间最长
【分析】A、观察函数图象，可得出：每月上网时间不足25 h时，选择A方式最省钱，结论A正确；
B、观察函数图象，可得出：当每月上网费用≥50元时，B方式可上网的时间比A方式多，结论B正确；
C、利用待定系数法求出：当x≥25时，yA与x之间的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当x＝50时yA的值，将其与50比较后即可得出结论C不正确；D、由图可知：当y＝120时，A方式可上网55h，B方式可上网h，而C方式上网任意小时，即可判断D正确．
【解析】A、观察函数图象，可知：每月上网时间不足25 h时，选择A方式最省钱，结论A正确，不符合题意；B、观察函数图象，可知：当每月上网费用≥50元时，B方式可上网的时间比A方式多，结论B正确，不符合题意；
C、设当x≥25时，根据图象得yA＝3x﹣45（x≥25），当x＝50时，yA＝3x﹣45＝105＞50，
∴每月上网时间为50h时，选择B方式最省钱，结论C不正确，符合题意；
D、由图可知：当y＝120时，A方式可上网55h，B方式可上网h，而C方式上网任意小时，
∴结论D正确，不符合题意．故选：C．
3．（2021 •雁塔区校级期末）为增强居民的节水意识，某市自来水公司采用以户为单位分段计费的方式：即每月用水量不超过10吨时，每吨收费a元；若超过10吨，则10吨水按每吨a元收费，超过10吨的部分按每吨b元收费．如图是自来水公司绘制的水费y（元）与当月用水量x（吨）之间的图象，则下列结论不正确的是（ ）
A．a＝1.5
B．b＝2
C．若小明家当月用水量为14吨，则应缴水费23元
D．若小红家6月份缴水费30元，则当月用水量为18.5吨
【分析】利用（10，15），（20，35）两点求出a，b的值即可．
【解析】由图象可知，a＝15÷10＝1.5；b＝＝2；
用水14吨，则应缴水费：1.5×10+2×（14﹣10）＝15+8＝23（元）；
缴水费30元，则该用户当月用水为：10+（30﹣15）÷2＝17.5（吨）．故结论错误的是选项D．故选：D．
4．（2022•沙坪坝区校级开学）春节前，某加工厂接到面粉加工任务，要求5天内加工完220吨面粉．加工厂安排甲、乙两组共同完成加工任务．乙组加工中途停工一段时间维修设备，然后提高加工效率继续加工，直到与甲队同时完成加工任务为止．设甲、乙两组各自加工面粉数量y（吨）与甲组加工时间x（天）之间的关系如图所示，结合图象，下列结论错误的是（ ）
A．乙组中途休息了1天 B．甲组每天加工面粉20吨
C．加工3天后完成总任务的一半D．3.5天后甲乙两组加工面粉数量相等
【分析】根据图象的横纵坐标表示的意义，进行计算即可得出答案．
【解析】由图象可得：2﹣1＝1，即乙组加工中途停工1天，故选项A是正确的，
甲组每天加工面粉数量为：＝20（吨），故选项B是正确的，
甲组加工3天的面粉数量为20×3＝60（吨），
乙组第一天加工15吨，第三天加工面粉数量为：＝35（吨），
∴加工3天后面粉数量为：60+15+35＝110（吨），完成总任务的一半，故C选项正确，
3.5天后甲组加工面粉数量为20×3.5＝70（吨），乙组加工面粉数量为15+35×1.5＝67.5（吨），D选项错误，故选：D．
5．（2021秋•徐汇区校级期末）某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油箱余油量为Q2吨，加油时间为t（分），Q1、Q2与t之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：
（1）加油之前，加油飞机的加油油箱中装载了 吨油；运输飞机的油箱有余油量 吨油；
（2）这些油全部加给运输飞机需 分钟；（3）运输飞机的飞行油耗为每分钟 吨油；
（4）运输飞机加完油后，以原速继续飞行，如果每分钟油耗相同，最多能飞行 小时．
【分析】（1）通过观察线段Q1，Q2段图象，不难得到加油飞机的加油油箱中装载了30吨油，运输飞机的油箱有余油量为40吨油．（2）将这些油全部加给运输飞机中需10分钟．
（3）首先根据运输飞机在10分钟时间内，加油29吨，但加油飞机消耗了30吨，求出每小时耗油量．
（4）根据（3）中的耗油量，可直接得出最多飞行时间．
【解析】（1）由题意及图象得
加油飞机的加油油箱中装载了30吨油，运输飞机的油箱有余油量为40吨油．故答案为：30；40．
（2）将这些油全部加给运输飞机中需10分钟；故答案为：10；
（3）∵运输飞机在10分钟时间内，加油29吨，但加油飞机消耗了30吨，
所以说10分钟内运输飞机耗油量为1吨，∴运输飞机每分钟耗油量为0.1吨；故答案为：0.1；
（4）由（3）知运输飞机每小时耗油量为＝6（吨），∴69÷6＝11.5（小时），故答案为：11.5．
6．（2021·山东济阳·七年级期中）一辆汽车油箱内有油a升，从某地出发，每行驶1小时耗油6升，若设剩余油量为Q升，行驶时间为t/小时，根据以上信息回答下列问题：
（1）开始时，汽车的油量______升；
（2）在行驶了______小时汽车加油，加了______升，写出加油前Q与t之间的关系式______；
（3）当这辆汽车行驶了9小时，剩余油量多少升？
【答案】（1）42；（2）5 ， 24 ，；（3）当这辆汽车行驶9小时，剩余油量12升．
【分析】（1）直接由图象中的数据得出即可；（2）由加油前汽车每小时的耗油量，即可得出关系式；
（3）先求出加油后3小时的耗油量即可求得剩余量．
【详解】解：（1）由图象可知，开始时，汽车的油量42升，故答案为：42；
（2）由图象可知，在行驶了5小时汽车加油，加了36﹣12=24升，
∵加油前汽车每小时的耗油6升，∴加油前汽车剩余油量Q=42﹣6t，
故答案为：5 ，24 ， ；
（3）由题意，加油后汽车每小时的耗油6升，∴加油后剩余油量Q=（升），
故当这辆汽车行驶了9小时，剩余油量12升．
【点睛】本题考查用图象表示变量间的关系、有理数的混合运算，理解题意，能从图象中获取有效信息是解答的关键．
题型7几何图形中动态问题的变量关系
【解题技巧】根据几何图形中动点的运动形式，找出各种变量之间的关系。
1．（2021·山东淄博市·九年级一模）如图①．在正方形ABCD的边BC上有一点E，连接AE．点P从正方形的顶点A出发，沿A→D→C以1cm/s的速度匀速运动到点C．图②是点P运动时，△APE的面积y（cm2）随时间x（s）变化的函数图象．当x＝7时，y的值为（ ）
A．7B．6C．D．
【答案】C
【分析】依题意可得当点P在点D时，与当点P在点C时，分别三角形的面积公式求出正方形的边长，EP,EC,BE的长，再根据当x＝7时，P点在CD上，根据y＝S正方形ABCD−（S△ABE＋S△ECP＋S△APD），即可求解．
【详解】解：设正方形的边长为a，①当点P在点D时，y＝AB×AD＝×a×a＝8，解得：a＝4，
②当点P在点C时，y＝EP×AB＝×EP×4＝6，解得：EP＝3，即EC＝3，BE＝1，
③当x＝7时，如下图所示：此时，PC＝1，PD＝7−4＝3，
当x＝7时，y＝S正方形ABCD−（S△ABE＋S△ECP＋S△APD）＝4×4− （4×1＋1×3＋4×3）＝，故选：C．
【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
2．（2021·江苏徐州市·八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意求出不同时间段的解析式，依据解析式判断即可．
【详解】解：当点P沿AD运动，即时，y的值为0，故排除A、C选项；
当点P沿DC运动，即时，，图象由左到右上升；
当点P沿CB运动，即时，，图象平行于x轴；
当点P沿BA运动，即时，，图象由左到右下降；故选B．
【点睛】本题考查了函数的图象，根据题意列出函数解析式是解题关键．
3．（2021·安徽滁州市·八年级期末）如图①，在长方形中，动点从点出发，沿着方向运动至点处停止．设点运动的路程为的面积为，如果关于的函数图象如图②所示，那么下列说法错误的是（ ）
A． B．长方形的周长是 C．当时， D．当时，
【答案】D
【分析】
本题通过右侧的图象可以判断出长方形的边长，然后选项计算，选项A、B、C都可证正确，选项D，面积为8时，对应x值不为10，所以错误．
【详解】
解：由图2可知，长方形MNPQ的边长，MN=9-4=5，NP=4，故选项A正确；
选项B，长方形周长为2×（4+5）=18，正确；
选项C，x=6时，点R在QP上，△MNR的面积y=×5×4=10，正确；
选项D，y=8时，即，解得，
或，解得，
所以，当y=8时，x=3.2或9.8，故选项D错误；
故选：D．
【点睛】
本题考查了动点问题分类讨论，对运动中的点R的三种位置都设置了问题，是一道很好的动点问题，读懂函数图象是解题关键．
4．（2020·河北保定市·八年级期末）如图，矩形中，对角线、相交于点，、分别是边、的中点，，，一动点从点出发，沿着的方向在矩形的边上运动，运动到点停止．点为图1中的某个定点，设点运动的路程为，的面积为，表示与的函数关系的图象大致如图2所示．那么，点的位置可能是图1中的（ ）
A．点B．点C．点D．点
【答案】D
【分析】从图2中可看出当x=6时，此时△BPM的面积为0，说明点M一定在BD上，选项中只有点G在BD上，所以点M的位置可能是图1中的点O．
【详解】解：∵AB=2，BC=4，四边形ABCD是矩形，

∴当x=6时，点P到达D点，此时△BPM的面积为0，说明点M一定在BD上，
∴从选项中可得只有G点符合，所以点M的位置可能是图1中的点G．故选：D．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是找出当x=6时，此时△BPM的面积为0，说明点M一定在BD上这一信息．
5．（2020·山东青岛市·七年级期末）如图，在长方形中，动点从出发，以相同的速度，沿方向运动到点处停止．设点运动的路程为的面积为，如果与之间的关系如图所示，那么长方形的面积为（ ）
A．12B．24C．20D．48
【答案】B
【分析】根据题意结合图象得出AB、BC的长度，再求出面积即可．
【详解】由题意可知，当点P从点A运动到点B时，△PCD的面积不变，结合图象可知AB=6，
当点P从点B运动到点C时，△PCD的面积逐渐变小直到为0，结合图象可知BC=4，
∴长方形ABCD的面积为：AB•BC=6×4=24．故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质和动点问题的函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．
6．（2021•鞍山模拟）如图，边长为2的正方形ABCD中，点P从点A出发沿路线A→B→C→D匀速运动至点D停止，已知点P的速度为1，运动时间为t，以P、A、B为顶点的三角形面积为S，则S与t之间的函数图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【分析】分点P在AB上运动、点P在BC上运动、点P在CD上运动三种情况，逐次求出函数表达式，即可求解．
【解析】①当点P在AB上运动时（0≤t≤2），∵点P、A、B在一条直线上，故S＝0；
②当点P在BC上运动时（2＜t≤4），见题干图，
S＝AB×PB＝×2×（t﹣2）＝t﹣2，为一次函数，当t＝4时，S＝2；
③当点P在CD上运动时（4＜t≤6），同理可得：S＝×AB×BC＝×2×2＝2，为常数；故选：C．
7．（2020·福建厦门市·八年级月考）如图，在直角坐标系中，有一矩形，长，宽轴，轴．点坐标为，该矩形边上有一动点，沿运动一周，则点的纵坐标与点走过的路程之间的函数关系用图象表示大致是( )
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】根据则点P的纵坐标y随点P走过的路程s之间的函数关系图象可以分为4部分，当P点在AB上，当P点在BC上，当P点在CD上，点P在AD上即可得出图象．
【详解】∵矩形，长，宽矩形边上有一动点，沿运动一周，∴点P的纵坐标y随点P走过的路程s之间的函数关系图象可以分为4部分，
∴P点在AB上，此时纵坐标越来越大，最小值是1，最大值为2，
P点在BC上，此时纵坐标为定值2．
当P点在CD上，此时纵坐标越来越小，最大值是2，最小值为1，
P点在AD上，此时纵坐标为定值1．故选：D．
【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象问题，解决问题的关键是分解函数得出不同位置时的函数关系，进而得出图象．
8．（2020·江苏宿迁市·泗阳致远中学八年级月考）已知动点P以每秒2cm的速度沿如图1所示的边框（相邻两边互相垂直）按从B→CD→E→F→A的路径移动，相应的△ABP的面积S（cm2）与点P的运动时间t(s)的函数图像如图2所示，且AB=6cm，
（1）动点P在线段______________上运动的过程中△ABP的面积S保持不变；
（2）BC=______；CD=_______；DE=_______；EF=______；
（3）求出图2中的a与b的值；
（4）在上述运动过程中，求出△ABP的最大面积．
【答案】（1）CD和EF；（2）8cm、4cm、6cm、2cm；（3）a=24，b=17；（4）42cm2．
【分析】（1）结合图甲可直接解答；（2）根据函数图象即可确定BC、CD、DE、EF的长度；
（3）根据三角形的面积计算公式进行计算即可；（4）根据题意可得，当点P移动到点E时面积达到最大值，然后确定三角形的底和高，最后根据三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：（1）如图1所示，当动点P在线段CD和EF上运动时，△ABP的面积S保持不变
故答案是：CD和EF；
（2）当P在BC上时，以AB为底的高在不断增大，到达点C时，开始不变，
由图2可得得， P在BC上移动了4秒，则BC=4×2=8cm，
在CD上移动了2秒，CD=2×2=4cm 在DE上移动了3秒，DE=3×2=6cm，
由AB=6cm那么EF=AB-CD=2cm 故答案是：8cm、4cm、6cm、2cm；
（3）由图2得，当a是点P运行4秒时△ABP的面积，则a=S△ABP=×6×8=24
b为点P走完全程的时间为：t=9+1+7=17s ∴a=24，b=17；
（4）∵点P移动到点E时面积达到最大值a,
∴S=AB（BC+DE）=×66×（8+6）=42cm2．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象和从函数图像上获取有用的信息，从函数图象获取有用的信息解决实际问题是成为解答本题的关键．
9．（2020·北京市第一六一中学九年级其他模拟）如图1，荧光屏上的甲、乙两个光斑（可看作点）分别从相距8cm的A，B两点同时开始沿线段AB运动，运动工程中甲光斑与点A的距离S1（cm）与时间t（s）的函数关系图象如图2，乙光斑与点B的距离S2（cm）与时间t（s）的函数关系图象如图3，已知甲光斑全程的平均速度为1.5cm/s，且两图象中△P1O1Q1≌P2Q2O2，下列叙述正确的是（ ）
A．甲光斑从点A到点B的运动速度是从点B到点A的运动速度的4倍
B．乙光斑从点A到B的运动速度小于1.5cm/s
C．甲乙两光斑全程的平均速度一样
D．甲乙两光斑在运动过程中共相遇3次
【答案】C
【分析】甲乙两个光斑的运动距离与时间的图象，因为起始点不同，因而不易判断，如果图象将两个点运到的基准点变为同一个点，再根据题意，问题即可解决.
【详解】∵甲到B所用时间为t0s，从B回到A所用时间为4t0﹣t0=3t0，
∵路程不变，∴甲光斑从A到B的速度是从B到A运动速度的3倍，∴A错误；
由于，△O1P1Q1≌△O2P2Q2，∵甲光斑全程平均速度1.5cm/s，∴乙光斑全程平均速度也为1.5cm/s，
∵乙由B到A时间为其由A到B时间三倍，
∴乙由B到A速度低于平均速度，则乙由A到B速度大于平均速度，∴B错误；
由已知，两个光斑往返总时间，及总路程相等，则两个光斑全程的平均速度相同，∴C正确；
根据题意，分别将甲、乙光斑与点A的距离与时间的函数图象画在下图中，两个函数图象交点即为两个光斑相遇位置，故可知，两个光斑相遇两次，故D错误，故选C．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，正确理解，分析两个图象纵坐标所代表的实际意义，将图象的意义转化为动点实际运动的状态是解题的关键.
0
2
4
6
8
10
10
10.5
11
11.5
12
12.5
温度
0
10
20
30
传播速度
318
324
330
336
342
348
支撑物的高度
10
20
30
40
50
60
70
小车下滑的时间
4.23
3.00
2.45
2.13
1.89
1.71
1.59
行驶路程（千米）
0
50
100
150
200
剩余油量（升
40
35
30
25
20
所挂物体的质量/kg
0
1
2
3
4
5
6
7
8
弹簧的长度/cm
12
12.5
13
13.5
14
14.5
15
15.5
16
剪去正方形的边长/cm
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
容积/cm3
324
512
_____
_____
500
384
252
128
36
0
行李质量/千克
托运费/元