2025年高考数学一轮复习考点突破和专题练习专题03不等式（Word版附解析）

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1．不等式的性质
（1）对称性：a>b⇔bb，b>c⇒a>c．
（3）可加性：a>b⇔a＋c>b＋c．
（4）可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，cd⇒a＋c>b＋d．
（6）同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd．
（7）同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．
2．两个实数比较大小的方法
作差法eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b>0⇔a>b，,a－b＝0⇔a＝b，,a－b0．
（3）等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．
（4）其中eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．
4．几个重要的不等式
（1）a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
（2）eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)．
（3）ab≤ (a，b∈R)．
（4）eq \f(a2＋b2,2)≥(a，b∈R)．
5．三个“二次”的关系
6．分式不等式与绝对值不等式
（1）eq \f(fx,gx)>0(0(a(a>0)的解集为(－∞,－a)∪(a,＋∞)，|x|0)的解集为(－a,a)．
一、单选题
1．（2024高一上·吉林延边·期末）已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（ ）．
A．B．
C．D．
3．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知x，y都是正数，且，则下列选项不恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024高二上·宁夏·期中）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（ ）
已知，求的最小值；解答过程：；
求函数的最小值；解答过程：可化得；
设，求的最小值；解答过程：，
当且仅当即时等号成立，把代入得最小值为4．
A．0个B．1个C．2个D．3个
5．（2024高三下·重庆渝中·阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．2B．C．D．6
6．（2024高三下·浙江·期中）设，，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024高三上·河北承德·阶段练习）已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·全国·模拟预测）若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2024高一下·浙江湖州·开学考试）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．B．不等式的解集为
C．D．不等式的解集为
10．（2024高一上·上海浦东新·期中）已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是( )
A．B．
C．D．
安徽省合肥一六八中学2023-2024学年高一上学期期末数学试题）关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
12．（2024·北京海淀·模拟预测）已知关于x的不等式的解集是，则下列四个结论中错误的是（ ）
A．
B．
C．若关于x的不等式的解集为，则
D．若关于x的不等式的解集为，且，则
13．（2024高三上·江苏南通·期中）已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A．－2B．1C．2D．8
14．（2024·山东）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
15．（2024·全国）已知集合，则
A．B．
C．D．
16．（2024·四川成都·三模）设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
17．（2024·北京房山·二模）下列函数中，是偶函数且有最小值的是（ ）
A．B．
C．D．
18．（2024·海南海口·模拟预测）若正实数，满足．则的最小值为（ ）
A．12B．25C．27D．36
19．（2024·湖北荆门·模拟预测）已知实数满足，则的最小值是（ ）
A．5B．9C．13D．18
20．（2024·湖南长沙·一模）已知，则m，n不可能满足的关系是（ ）
A．B．
C．D．
21．（2024·浙江杭州·二模）已知，，且，则ab的最小值为（ ）
A．4B．8C．16D．32
22．（2024·河南安阳·三模）已知，则下列命题错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最小值为4
C．若，则的最大值为2
D．若，则的最大值为
23．（2024·广东湛江·二模）当，时，恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
24．（2024·重庆·模拟预测）已知，，则下列关系式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
25．（2024·山东·二模）已知实数满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
26．（2024高三上·山东泰安·期末）若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
27．（2024高三上·江苏·阶段练习）已知实数x，y满足则（ ）
A．的取值范围为B．的取值范围为
C．的取值范围为D．的取值范围为
28．（2024高三下·河北衡水·阶段练习）已知，，且满足，．则的取值可以为（ ）
A．10B．11C．12D．20
29．（2024高三·重庆沙坪坝·阶段练习）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
30．（2024·全国·模拟预测）已知实数a，b满足，则（ ）
A．B．
C．D．的最小值为1
31．（2024·江苏·模拟预测）已知糖水中含有糖()，若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
32．（2024·全国）若x，y满足，则（ ）
A．B．
C．D．
33．（2024·重庆·模拟预测）若实数，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
34．（2024高三下·湖北·阶段练习）已知，且，则（ ）
A．的最小值为4B．的最小值为
C．的最大值为D．的最小值为
35．（2024·云南红河·一模）已知，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
36．（2024·山西·一模）设，，，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最小值为9D．的最小值为
37．（2024·山东）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A．B．
C．D．
38．（2024·全国·模拟预测）已知实数a，b满足，则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．若，则D．
39．（2024高一上·浙江温州·期中）已知，且则下列结论一定正确的有（ ）
A．B．
C．ab有最大值4D．有最小值9
40．（2024高一上·江苏苏州·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若且，则，至少有一个大于2
B．，
C．若，，则
D．的最小值为2
41．（2024·云南曲靖·模拟预测）若实数满足，则（ ）
A．且B．的最大值为
C．的最小值为7D．
三、填空题
42．（2024高一·全国·单元测试）若,则将从小到大排列为 .
43．（2024高二·全国·单元测试）如果a>b，给出下列不等式：
①；②a3>b3；③；④2ac2>2bc2；⑤>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.
其中一定成立的不等式的序号是 ．
44．（2024高三上·上海普陀·期中）已知三个实数a、b、c，当时，且，则的取值范围是 ．
45．（2024·浙江）已知实数、、满足，，则的最大值为 .
46．（2024·山西·一模）我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜．这句话用数学符号可表示为：，其中，且a，b，．据此可以判断两个分数的大小关系，比如 （填“＞”“＜”）．
47．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式(，)数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出 (用“”或“”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式 .
48．（2024高三上·天津南开·阶段练习）若，，且，则的最小值是 ．
49．（2024·重庆·模拟预测）已知，则的最小值为 .
50．（2024高三·全国·专题练习）若，则的最小值为
51．（2024高三下·上海浦东新·阶段练习）若关于x的不等式的解集为，则的最小值为 ．
52．（2024高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）若，，则的最小值为 .
53．（2024高二下·浙江·期中）已知，，满足，则的最小值是 ．
54．（2024·天津·一模）若，，，，则的最小值为 ．
55．（2024高三上·浙江宁波·期中）已知，，，则取到最小值为 ．
56．（2024·安徽蚌埠·二模）若直线过点，则的最小值为 ．
57．（2024高三下·河北·阶段练习）已知，则的最小值为 .
58．（2024高一上·山东烟台·阶段练习）已知，，且，则的最小值为 .
59．（2024高三下·浙江·开学考试）已知正实数a，b，c，，则的最小值为 ．
60．（2024·天津滨海新·模拟预测）已知，则的最大值是 .
61．（2024·上海金山·二模）若实数满足不等式，则的取值范围是 .
62．（2024高三·全国·课后作业）不等式的解集为 ．
63．（2024高一下·湖北省直辖县级单位·期末）函数的定义域为 ．
64．（2024高三·全国·课后作业）不等式的解集为 ．
65．（2024高一上·上海松江·阶段练习）不等式的解集为 ．
66．（2024·江西）不等式的 的解集是
67．（2024·上海崇明·二模）若不等式，则x的取值范围是 ．
68．（2024·上海浦东新·三模）不等式的解集是 ．
69．（2024高三下·上海杨浦·阶段练习）已知集合，则 ．
70．（2024高一上·全国·专题练习）方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为 ．
71．（2024高一·全国·专题练习）若方程有两个不相等的实根，则可取的最大整数值是 .
72．（2024高三·全国·专题练习）已知，，则的取值范围为 .
73．（2024高三·全国·专题练习）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
74．（2024高三·江苏·专题练习）利用基本不等式证明：已知都是正数，求证：
75．（2024高三下·河南·阶段练习）已知x，y，z为正数，证明：
(1)若，则；
(2)若，则．
76．（2024·四川绵阳·二模）已知函数，若的解集为.
(1)求实数，的值；
(2)已知，均为正数，且满足，求证：.
77．（2024高二下·江苏·期末）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本 (元)与月处理量 (吨)之间的函数关系可近似的表示为 ，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？
78．（2024高一上·贵州安顺·期末）某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为100吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为．
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低？月处理成本最低是多少元？
(2)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？每吨的平均处理成本最低是多少元？
79．（2024高一下·湖北孝感·开学考试）截至年月日，全国新型冠状病毒的感染人数突破人疫情严峻，请同学们利用数学模型解决生活中的实际问题.
(1)我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段已知这种新药在注射停止后的血药含量（单位：）随着时间（单位：）.的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，求该新药对病人有疗效的时长大约为多少小时？（精确到，参考数据：，）
(2)为了抗击新冠，需要建造隔离房间.如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面积为平方米，侧面长为米，且不超过，房高为米.房屋正面造价元平方米，侧面造价元平方米.如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，则侧面长为多少时，总价最低？
判别式Δ
Δ>0
Δ＝0
Δb⇔eq \f(1,a)b>0，m>0⇒eq \f(b,a)a>0，m>0⇒eq \f(b,a)>eq \f(b＋m,a＋m)．
2．判断不等式的常用方法．
（1）利用不等式的性质逐个验证．
（2）利用特殊值法排除错误选项．
（3）作差法．
（4）构造函数，利用函数的单调性．
题型1：不等式的性质
1-1．（2024高三上·广东·期末）已知，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
1-2．（2024·全国）若a>b，则
A．ln(a−b)>0B．3a0D．│a│>│b│
1-3．（2024·山东）若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
（二）
比较大小
1．不等式大小比较的常用方法
（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果．
（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）．
（3）分析法．
（4）平方法．
（5）分子（或分母）有理化．
（6）利用函数的单调性．
（7）寻找中间量或放缩法．
（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．
题型2：比较大小
2-1．（2024·全国）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2-2．（2024高三·全国·课后作业）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：；
（2）设x，，比较与的大小.
2-3．（2024高一上·江苏南京·阶段练习）（1）试比较与的大小；
（2）已知，，求证：．
（三）
基本不等式
1．基本不等式
（1）基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)( a>0，b>0)．
（2）等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．
2．几个重要的不等式
（1）a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
（2）eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)．
（3）ab≤ (a，b∈R)．
（4）eq \f(a2＋b2,2)≥(a，b∈R)．
3．基本不等式求最值
（1）前提：“一正”“二定”“三相等”．
（2）要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
（3）条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．
题型3：基本不等式
3-1．（2024高一下·广西柳州·期末）若，则的最小值为 .
3-2．（2024高三·河北·学业考试）若，，且，则的最大值为 ．
3-3．（2024高三上·湖南娄底·期末）已知a，b为正实数，且，则的最小值为 ．
3-4．（2024·天津南开·一模）已知实数，则的最小值为 .
3-5．（2024高三上·江苏常州·开学考试）已知正实数满足，则的最小值为 .
3-6．（2024·上海浦东新·二模）函数在区间上的最小值为 ．
3-7．（2024·上海长宁·二模）某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围城一个2平方米的矩形植物种植园，矩形的一条边为围墙，如图．则至少需要 米栅栏．
（四）
不等式的求解
1．含参一元二次不等式的解法
（1）根据二次项系数为正、负及零进行分类．
（2）根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
（3）有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
2．一元二次不等式恒成立问题
（1）弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
（2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
题型4：不等式的求解
4-1．（2024·全国）已知集合则（ ）
A．B．
C．D．
4-2．（2024高一下·广东阳江·期末）不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
4-3．（2024高三·全国·专题练习）解下列关于的不等式．
4-4．（2024高三·全国·专题练习）若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是 .
4-5．（2024高二下·吉林·期末）若使关于的不等式成立，则实数的取值范围是 ．
4-6．（2024·广西·模拟预测）若不等式对恒成立，则a的取值范围是 ．
4-7．（2024高三上·北京·期中）若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是 .